สถิติการสั่งซื้อ (เช่นขั้นต่ำ) ของการรวบรวมตัวแปรไคสแควร์ไม่สิ้นสุด?
นี่เป็นครั้งแรกของฉันที่นี่ดังนั้นโปรดแจ้งให้เราทราบหากฉันสามารถชี้แจงคำถามของฉันไม่ว่าทางใดทางหนึ่ง (รวมถึงการจัดรูปแบบแท็ก ฯลฯ ) (และหวังว่าฉันจะสามารถแก้ไขได้ในภายหลัง!) ฉันพยายามค้นหาการอ้างอิงและพยายามแก้ไขตัวเองโดยใช้การเหนี่ยวนำ แต่ล้มเหลวทั้งสองอย่าง ฉันพยายามทำให้การกระจายง่ายขึ้นซึ่งดูเหมือนว่าจะลดลงเป็นสถิติการเรียงลำดับของตัวแปรสุ่มอิสระไม่มีที่สิ้นสุดพร้อมด้วยองศาอิสระที่แตกต่างกัน โดยเฉพาะการกระจายตัวของค่าที่เล็กที่สุดในคืออะไรระหว่าง\ chi ^ 2_2, \ chi ^ 2_4, \ chi ^ 2_6, \ chi ^ 2_8, \ ldots ?χ2χ2\chi^2mmmχ22,χ24,χ26,χ28,…χ22,χ42,χ62,χ82,…\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\chi^2_8,\ldots ฉันสนใจกรณีพิเศษm=1m=1m=1 : การกระจายขั้นต่ำของ (อิสระ) χ22,χ24,χ26,…χ22,χ42,χ62,…\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\ldotsคืออะไร? สำหรับกรณีที่น้อยที่สุดฉันสามารถเขียนฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) เป็นผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่ไม่สามารถทำให้มันง่ายขึ้นอีก ฉันใช้ข้อเท็จจริงว่า CDF ของχ22mχ2m2\chi^2_{2m}คือF2m(x)=γ(m,x/2)/Γ(m)=γ(m,x/2)/(m−1)!=1−e−x/2∑k=0m−1xk/(2kk!).F2m(x)=γ(m,x/2)/Γ(m)=γ(m,x/2)/(m−1)!=1−e−x/2∑k=0m−1xk/(2kk!).F_{2m}(x)=\gamma(m,x/2)/\Gamma(m)=\gamma(m,x/2)/(m-1)!=1-e^{-x/2}\sum_{k=0}^{m-1}x^k/(2^k k!). (ด้วยm=1m=1m=1นี่เป็นการยืนยันความคิดเห็นที่สองด้านล่างเกี่ยวกับความเท่าเทียมกับการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลโดยมีความคาดหวัง 2) CDF ของขั้นต่ำสามารถเขียนเป็นFmin(x)=1−(1−F2(x))(1−F4(x))…=1−∏m=1∞(1−F2m(x))Fmin(x)=1−(1−F2(x))(1−F4(x))…=1−∏m=1∞(1−F2m(x))F_{min}(x) = 1-(1-F_2(x))(1-F_4(x))\ldots = 1-\prod_{m=1}^\infty (1-F_{2m}(x)) =1−∏m=1∞(e−x/2∑k=0m−1xk2kk!).=1−∏m=1∞(e−x/2∑k=0m−1xk2kk!).= …