ไม่อนุรักษ์เครื่องทัวริง

อ่านกระทู้ที่ผ่านมาบางอย่างเกี่ยวกับควอนตัมคอมพิวเตอร์ ( นี่ , ที่นี่และที่นี่ ) ทำให้ผมจำได้ว่าคำถามที่น่าสนใจเกี่ยวกับอำนาจของชนิดของบาง -norm เครื่องรักษา$\ell_p$

สำหรับคนที่ทำงานในทฤษฎีความซับซ้อนจะซับซ้อนควอนตัมข้อความเกริ่นนำที่ดีคือกระดาษ Fortnow ซึ่งเชื่อมโยงถูกโพสต์โดยโจชัว Grochow ที่นี่ ในกระดาษนั้นเครื่องทัวริงควอนตัมถูกนำเสนอเป็นเครื่องทัวริงน่าจะเป็นทั่วไป โดยทั่วไปเครื่องน่าจะมีรัฐปกติภายใต้ -norm คือ 1 เวลาวิวัฒนาการของเครื่องจักรได้รับจากแอพพลิเคชั่นของstochastic matrixที่ ,คือเก็บรักษาปกติ ดังนั้นสถานะ ณ เวลาคือℓ 1 ∥ s ∥ 1 = $s$$\ell_1$$\parallel s\parallel_1=1$∥ P s ∥ 1 = 1 P ℓ 1 t P t$P$$\parallel Ps\parallel_1=1$$P$$\ell_1$$t$$P^ts$(สัญกรณ์อาจไม่แม่นยำเนื่องจากการคูณทางซ้ายหรือขวาขึ้นอยู่กับว่าเป็นเวกเตอร์แถวหรือคอลัมน์หรือแถวหรือคอลัมน์ของเป็น subspaces รักษาบรรทัดฐาน) ดังนั้นในแง่นี้เครื่องทัวริงน่าจะเป็นเครื่อง -norm รักษาชี้แนะell_1}s P ℓ 1 M ℓ $P$$s$$P$$\ell_1$$M^{\ell_1}$

จากนั้นควอนตัมเครื่องทัวริงสามารถมองเห็นได้ว่ามีรัฐกับและรวมเมทริกซ์ (ที่รักษา -norms) เช่นที่เป็นรัฐในเวลาที่ 1 นี่คือเครื่อง -norm รักษาชี้แนะell_2}∥ s ∥ 2 = $s$$\parallel s\parallel_2=1$ℓ 2 P t s t ∥ P t s ∥ 2 = 1 ℓ 2 M ℓ $P$$\ell_2$$P^ts$$t$$\parallel P^ts\parallel_2=1$$\ell_2$$M^{\ell_2}$

เซ้งในทั่วไป -norm เครื่องรักษาถูกระบุด้วยell_p}M ℓ $\ell_p$$M^{\ell_p}$

ดังนั้นคำถามของฉันคือ:

(1) อะไรคือพลังของไม่รักษาเครื่องเพื่อ จำกัด ? อย่างเป็นทางการมากขึ้นเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าสำหรับและใดก็ตามหากดังนั้นจะมีภาษาและเครื่องที่ตัดสินใจได้อย่างมีประสิทธิภาพและไม่มีเครื่องที่ตัดสินใจได้อย่างมีประสิทธิภาพ ตัวอย่างเช่นนี่อาจเป็นลักษณะทั่วไปของคำถามคือ ? p p q q > p L M ℓ q M ℓ q L M ℓ p L N P ⊆ B Q $\ell_p$$p$$p$$q$$q>p$$L$$M^{\ell_q}$$M^{\ell_q}$$L$$M^{\ell_p}$$L$$NP \subseteq BQP$

(2) แล้วล่ะ? นี่คือค่าสูงสุดของส่วนประกอบของเวกเตอร์สถานะคือ 1$p=\infty$

(3) คำถามเหล่านี้มีมากกว่าหน่วยระดับเดียวกันดังนั้นจึงไม่คาดว่าจะเห็นด้วยกับกลไกควอนตัม โดยทั่วไปแล้วจะเกิดอะไรขึ้นกับการคำนวณหากคุณผ่อนคลายข้อ จำกัด ของหน่วยในการดำเนินการ มีงานเกี่ยวกับการอนุญาตโอเปอเรเตอร์ที่ไม่ใช่เชิงเส้น (ดูAaronson 2005 )

(4) บางทีสิ่งที่สำคัญที่สุดมันเป็นสากลหรือไม่? ฉันคิดว่านี่ชัดเจนเพราะสำหรับบางกรณีมันเป็นสากล แต่จะเกิดอะไรขึ้นกับความเป็นสากลเมื่อ ?$p=\infty$

นี่ไม่ใช่คำตอบที่สมบูรณ์ของคำถาม แต่มันยาวเกินไปที่จะเขียนเป็นความคิดเห็น มันขยายความคิดเห็นก่อนหน้าของฉัน

คำถาม“ จะเกิดอะไรขึ้นกับการคำนวณถ้าสัจพจน์ของกลศาสตร์ควอนตัมมีการปรับเปลี่ยนเล็กน้อย?” ได้รับการกล่าวถึงในรายละเอียดอย่างมากจากกระดาษสนุก [Aar04] โดย Scott Aaronson ฉันเชื่อว่าคำถามของคุณจะได้รับคำตอบในครึ่งแรกของส่วนที่ 2 ของ [Aar04]

Aaronson แสดงให้เห็นว่าถ้า p> 0 และ p ≠ 2 แล้วเมทริกซ์ที่เก็บรักษา p-norm สำหรับเวกเตอร์ทั้งหมดนั้นจำเป็นต้องมีเมทริกซ์การเปลี่ยนรูปแบบทั่วไป (ผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์การเปลี่ยนรูปและเมทริกซ์ทแยงมุม) เขากล่าวว่าการถือครองเดียวกันในกรณี p = ∞ ทั้งหมดนี้มีไว้สำหรับทั้ง over และมากกว่าℂ โปรดทราบว่าสิ่งนี้รวมถึงกรณีของ p = 1: เมทริกซ์สุ่มเก็บรักษา 1- บรรทัดฐานสำหรับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เชิงลบ แต่ไม่ใช่สำหรับเวกเตอร์ทั้งหมดโดยทั่วไป

ฉันเดาว่าเครื่องทัวริงน่าจะเป็นแบบทั่วไปใน [For00] มีเมทริกซ์การเปลี่ยนรูปแบบทั่วไปเป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงทั่วโลกเฉพาะในกรณีที่มันเป็นเครื่องทัวริงที่กำหนดขึ้น แต่ฉันไม่ได้พิสูจน์ที่มือ

Aaronson กล่าวถึงการปรับเปลี่ยนอื่น ๆ ของสัจพจน์ของกลศาสตร์ควอนตัมในกระดาษ ตัวอย่างเช่นหากเราเปลี่ยนกฎการวัด (แทนชุดของประตูที่อนุญาต) เพื่อให้ผลลัพธ์ x เกิดขึ้นกับความน่าจะเป็น | α _x | ^p / ∑ _y | α _y | ^p , โดยที่α _yเป็นแอมพลิจูดของ | y⟩, จากนั้น "คอมพิวเตอร์ควอนตัม" นี้สามารถแก้ปัญหาใด ๆ ใน PP (รวมถึงปัญหา NP-Complete) ในเวลาพหุนามยกเว้น p = 2 (ข้อเสนอ 5)

อ้างอิง

[Aar04] Scott Aaronson กลศาสตร์ควอนตัมเป็นเกาะในพื้นที่ของทฤษฎีหรือไม่? ในการประชุมVäxjö“ ทฤษฎีควอนตัม: การพิจารณาใหม่ฐานราก,” 2004. arXiv: quant-ph / 0401062 v2.

[For00] Lance Fortnow ทฤษฎีความซับซ้อนมุมมองหนึ่งของการคำนวณควอนตัม ในการคำนวณ: การประชุมเชิงทฤษฎีออสเตรเลีย (CATS 2000), หน้า 58–72, ม.ค. 2000. http://dx.doi.org/10.1016/S1571-0661(05)80330-5

มีบทความโดย Aaronson ซึ่งแสดงว่าเมื่อไม่มีเมทริกซ์รักษาบรรทัดฐาน แต่คุณสามารถพิจารณาเมทริกซ์ซึ่งไม่เพิ่มบรรทัดฐานโดยธรรมชาติแล้วคุณต้องการให้กฎของบอร์นให้ความน่าจะเป็น P ปัญหาคือว่าถ้าค่าเฉลี่ยของเวกเตอร์สเตจลดลงความน่าจะเป็นไม่เพิ่มขึ้นอีกที Aaronson พิจารณากรณีที่คุณจะปรับเวกเตอร์ให้เป็นปกติหลังจากแต่ละขั้นตอน (ดูลิงก์ในคำตอบของ @ Tsuyoshi ด้านบน) ฉันเชื่อว่าข้อสรุปคือเครื่องจักรเหล่านี้จะมีพลังอันยิ่งใหญ่ℓ p | ψ i | $p \not\in \{1,2\}$$\ell_p$$\left| \psi_i \right|^p$

อีกทางเลือกหนึ่งแทนการปรับสภาพเวกเตอร์สถานะให้เป็นปกติคุณสามารถยอมรับได้ว่าความน่าจะเป็นไม่เพิ่มขึ้น 1 และตีความความน่าจะเป็น "ซ้ายไป" ที่สอดคล้องกับผลลัพธ์ "ล้มเหลว" ในกรณีนี้คุณสามารถปรับเปลี่ยนข้อโต้แย้งในLaplante, Magniezเพื่อให้ได้รับศัตรูผูกพันสำหรับ\โดยทั่วไปคุณสามารถสอดแทรกระหว่างและกรณีที่จะได้รับในทฤษฏีของพวกเขา 1 ปรากฎว่าความซับซ้อนของการค้นหาที่ไม่มีโครงสร้าง (คิดว่าอัลกอริทึมโกรเวอร์) เป็นp}) แม้ว่าฉันจะไม่สามารถหาข้อ จำกัด ด้านบนที่ตรงกันได้ที่นี่ เพื่อตอบคำถามของคุณในฉันสามารถ (IIRC) เพื่อแสดงให้เห็นว่าพลังการคำนวณของℓ 1 ℓ 2 Ω ( N 1 / P ) ℓ ∞ ℓ พีℓ Q 1 / P + 1 / Q = 1 ℓ พี$\ell_p$$\ell_1$$\ell_2$$\Omega(N^{1/p})$$\ell_\infty$$\ell_p$วงจรสำหรับปัญหาในการตัดสินใจเทียบเท่ากับโดยที่ (โดยพื้นฐานแล้วจะทำการเปลี่ยนตำแหน่งของตัวดำเนินการทั้งหมด) ฉันคาดเดาว่าวงจรเหล่านี้มีกำลังเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดเมื่อเพิ่มจาก 1 (คลาสสิก) เป็น 2 (ควอนตัม)$\ell_q$$1/p+1/q=1$$\ell_p$$p$