คำถามติดแท็ก linear-algebra

สมมติว่าฉันมีระบบ linear ขนาดใหญ่แบบดั้งเดิม: Ax0=ข0Ax0=b0A\textbf{x}_0=\textbf{b}_0. ตอนนี้ฉันไม่มีA- 1A−1A^{-1} เนื่องจาก A ใหญ่เกินไปที่จะแยกตัวประกอบหรือแยกย่อยใด ๆ ของ AAAแต่สมมติว่าฉันมีทางออก x0x0\textbf{x}_0 พบกับการแก้ซ้ำ ๆ ตอนนี้ฉันต้องการใช้การอัปเดตอันดับเล็กน้อยกับเส้นทแยงมุมของ A (เปลี่ยนรายการเส้นทแยงมุมเล็กน้อย): ( A + D )x1=ข0(A+D)x1=b0(A+D)\textbf{x}_1=\textbf{b}_0 ที่ไหน DDDเป็นเมทริกซ์แนวทแยงที่มีค่า 0 ส่วนใหญ่เป็นเส้นทแยงมุมและค่าที่ไม่เป็นศูนย์ ถ้าฉันมีA- 1A−1A^{-1}ฉันจะสามารถใช้ประโยชน์จากสูตร Woodbury เพื่อใช้การอัปเดตกับสิ่งที่ตรงกันข้าม อย่างไรก็ตามฉันไม่มีสิ่งนี้ มีอะไรบ้างที่ฉันทำได้เพียงแค่แก้ไขปัญหาระบบทั้งหมดซ้ำแล้วซ้ำอีก? มีวิธีใดบ้างที่ฉันจะได้รับสิ่งที่จำเป็นก่อนMMM ซึ่งง่ายต่อการกลับด้าน \ ง่ายเช่นนั้น MA1≈A0MA1≈A0MA_1 \approx A_0ดังนั้นฉันจะต้องทำทั้งหมดถ้ามี x0x0\textbf{x}_0 ถูกนำไปใช้ M- 1M−1M^{-1} และวิธีการวนซ้ำจะมาบรรจบกันในการทำซ้ำสองสามครั้ง?

9 linear-algebra  iterative-method  sparse-matrix 

ฉันกำลังทำการวิจัยเกี่ยวกับโครงสร้างใน Schur เติมเต็มและค้นหาปรากฏการณ์ที่น่าสนใจ: สมมติว่า A มาจาก 5 - pt laplacian ถ้าฉันใช้การเรียงลำดับการผ่าแบบซ้อนและวิธีการหลายหน้าเพื่อคำนวณการแยกตัวประกอบ LU และจากนั้นตรวจสอบบล็อกเสริม Schur สุดท้ายมันมีระดับต่ำสำหรับบล็อกนอกแนวทแยงมุม แต่เมื่อฉันใช้วิธีเดียวกันเพื่อแยกตัวประกอบ A - λ ฉันA−λIA - \lambda Iที่ไหน λλ\lambda เป็นค่าบวกใกล้กับค่าลักษณะเฉพาะของ A ดังนั้นส่วนประกอบสุดท้ายของ schur จะไม่มีคุณสมบัติระดับต่ำ ฉันไม่ทราบว่าจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงโครงสร้างในส่วนประกอบ schur หรือไม่ ใครสามารถให้การอ้างอิงบางอย่างสำหรับหัวข้อนี้

9 linear-algebra 

ปล่อย VVV เป็นเวกเตอร์ปริภูมิมิติที่มีบรรทัดฐาน ∥⋅∥‖⋅‖\|\cdot\|และปล่อยให้เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นตรง มันจะได้รับเป็นกล่องดำเท่านั้นF:V→RF:V→RF : V \rightarrow \mathbb R ฉันต้องการประเมินบรรทัดฐานของ (จากด้านบนและด้านล่าง) เนื่องจากเป็นกล่องดำวิธีเดียวที่จะทำได้คือทดสอบกับเวกเตอร์หน่วยจากและตามผลลัพธ์ให้หาที่เพิ่ม.FFFFFFVVVv∈S1Vv∈S1Vv \in S^1 V|F(v)||F(v)||F(v)| คุณรู้อัลกอริธึมดังกล่าวหรือไม่? ในแอปพลิเคชันที่ฉันมีอยู่ในใจเป็นพื้นที่ จำกัด ขององค์ประกอบและเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนในพื้นที่นั้นVVVFFF แก้ไข: ความคิดแรกของฉันคือการเลือกสุ่มรบกวนมันลงไปในทิศทางหลายพูดและจากนั้นทำซ้ำขั้นตอนที่มีว่ามีที่ใหญ่ที่สุด(v_i) ฉันไม่ทราบว่าจะหาอัลกอริทึมและการวิเคราะห์ปัญหานี้ได้ที่ไหนv∈S1Vv∈S1Vv \in S^1 Vv1,…,vkv1,…,vkv_1,\dots,v_kviviv_iF(vi)F(vi)F(v_i)

9 linear-algebra  algorithms 

ฉันรู้ว่าเพื่อที่จะแก้ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะแบบสมมาตร Ax=λxAx=λxAx = \lambda xเราสามารถใช้กฎหมายความเฉื่อยของซิลเวสเตอร์นั่นคือจำนวนค่าลักษณะเฉพาะของ AAA น้อยกว่า aaa เท่ากับจำนวนรายการเชิงลบของ DDD เมทริกซ์แนวทแยง DDD มาจากการแยกตัวประกอบของ LDL A−aI=LDLTA−aI=LDLTA-aI = LDL^{T}. จากนั้นโดยวิธีการแบ่งครึ่งเราสามารถหาค่าลักษณะทั้งหมดหรือบางค่าได้ตามต้องการ ฉันต้องการที่จะรู้ว่าถ้ามีข้อสรุปทั่วไปของกฎหมายความเฉื่อยของซิลเวสเตอร์สำหรับปัญหาค่าลักษณะเฉพาะทั่วไปที่สมมาตรนั่นคือการแก้ปัญหาAx=λBxAx=λBxAx= \lambda Bxที่ไหน AAA และ BBBเป็นเมทริกซ์สมมาตร ขอบคุณ

9 linear-algebra  eigensystem 

รับเมทริกซ์กระจัดกระจายทั่วไป A ∈Rn × nA∈Rn×nA \in \mathbb{R}^{n\times n}ด้วยm << n (การแก้ไข:ม«n2ม.«n2m \ll n^2) องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ (โดยทั่วไป m ∈ O ( n )ม.∈O(n)m \in {\cal O}(n)) AAA เป็นเรื่องทั่วไปในแง่ที่ว่ามันไม่มีคุณสมบัติที่เฉพาะเจาะจง (เช่นความชัดเจนเชิงบวก) และไม่มีโครงสร้าง (เช่นความเป็นแถบสี) อะไรคือวิธีการเชิงตัวเลขที่ดีในการคำนวณทั้งพหุนามลักษณะหรือพหุนามน้อยที่สุดของAAA?

9 linear-algebra  algorithms  sparse-matrix 

มันแสดงให้เห็น (Yousef Saad, วิธีการวนซ้ำสำหรับระบบเชิงเส้นแบบกระจัดกระจาย , หน้า 260)cond(A′A)≈cond(A)2cond(A′A)≈cond(A)2cond(A'A) \approx cond(A)^2 สิ่งนี้เป็นจริงหรือ AA′AA′AA' เช่นกัน? เผื่อ AAA คือ N×MN×MN\times M กับ N≪MN≪MN \ll Mฉันสังเกตว่า cond(A′A)≫cond(AA′)cond(A′A)≫cond(AA′)cond(A'A) \gg cond(AA') นั่นหมายถึงการกำหนดในแง่ของ AA′AA′AA' จะดีกว่าในกรณีนี้

9 linear-algebra  condition-number 

สมมติว่าระบบเชิงเส้นต่อไปนี้ได้รับ Lx=c,(1)(1)Lx=c,Lx=c,\tag1 ที่ไหน LLL Laplacian เป็นน้ำหนักที่รู้จักกันว่าเป็นบวก semi−semi−semi-แน่นอนด้วยช่องว่างว่างหนึ่งมิติซึ่งถูกขยายโดย 1n=(1,…,1)∈Rn1n=(1,…,1)∈Rn1_n=(1,\dots,1)\in\mathbb{R}^nและความแปรปรวนการแปลของ x∈Rnx∈Rnx\in\mathbb{R}^{n}คือ x+a1nx+a1nx+a1_n ไม่เปลี่ยนค่าฟังก์ชัน (ซึ่งอนุพันธ์คือ (1)(1)(1)) รายการเชิงบวกเท่านั้นของLLL อยู่ในแนวทแยงมุมซึ่งเป็นผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของผลลบนอกแนวทแยงมุม ฉันพบในงานวิชาการที่อ้างถึงอย่างหนึ่งในสาขานั้นแม้ว่า LLL คือ not strictlynot strictlynot~strictly วิธีการเช่น Conjugate Gradient, Gauss-Seidl, Jacobi ยังคงสามารถนำมาใช้แก้ปัญหาได้อย่างปลอดภัย (1)(1)(1). เหตุผลก็คือเนื่องจากค่าคงที่ของการแปลมีความปลอดภัยในการแก้ไขหนึ่งจุด (เช่นลบแถวและคอลัมน์แรกของLLL และรายการแรกจาก ccc ) ดังนั้นการแปลง LLL เพื่อ strictlystrictlystrictlyเมทริกซ์ที่โดดเด่นในแนวทแยงมุม อย่างไรก็ตามระบบดั้งเดิมได้รับการแก้ไขในรูปแบบเต็มของ(1)(1)(1)กับ L∈Rn×nL∈Rn×nL\in\mathbb{R}^{n\times n}. สมมติฐานนี้ถูกต้องและถ้าเป็นเช่นนั้นเหตุผลอื่นคืออะไร ฉันพยายามที่จะเข้าใจว่าการบรรจบกันของวิธีการยังคงอยู่ หากวิธี Jacobi เป็นคอนเวอร์เจนซ์ด้วย (1)(1)(1)สิ่งหนึ่งที่สามารถระบุได้เกี่ยวกับรัศมีสเปกตรัม ρρ\rho ของเมทริกซ์การวนซ้ำ D−1(D−L)D−1(D−L)D^{-1}(D-L)ที่ไหน DDD …

9 linear-algebra  optimization  iterative-method  matrix  linear-solver 

ฉันมีคำถามสองสามข้อเกี่ยวกับสิ่งต่อไปนี้: ฉันกำลังพยายามที่จะแก้สมการชโรดิงเงอร์ใน 1D โดยใช้ข้อเหวี่ยงนิโคลสันข้อเหวี่ยงตามด้วยการแปลงเมทริกซ์กลับด้านที่เกิดขึ้น ขณะนี้ปัญหาของฉันได้รับการพัฒนาเป็นปัญหาเกี่ยวกับเงื่อนไขขอบเขตเป็นระยะดังนั้นฉันจึงแก้ไขโค้ดของฉันเพื่อใช้อัลกอริทึม Sherman Morrison สมมติว่าvเป็น RHS ของฉันในแต่ละขั้นตอนเมื่อฉันต้องการกลับเมทริกซ์ไตรภาคี ขนาดของvคือจำนวนจุดกริดที่ฉันมีมากกว่าพื้นที่ เมื่อฉันตั้งค่าv[0]และv[-1]ในแง่ของกันและกันตามที่จำเป็นในสถานการณ์ของฉันเป็นระยะสมการของฉันระเบิดขึ้น ฉันไม่สามารถบอกได้ว่าทำไมสิ่งนี้จึงเกิดขึ้น ฉันใช้ python2.7 และ inbuilt ของ scipy เพื่อแก้ไขสมการ สิ่งนี้ทำให้ฉันถึงคำถามที่สองของฉัน: ฉันใช้หลามเพราะเป็นภาษาที่ฉันรู้จักดีที่สุด แต่ฉันคิดว่ามันค่อนข้างช้า (แม้จะมีการเพิ่มประสิทธิภาพที่เสนอโดย numpy และ scipy) ฉันได้ลองใช้ C ++ เพราะฉันคุ้นเคยกับมันอย่างสมเหตุสมผล ฉันคิดว่าฉันใช้ GSL ซึ่งจะเป็นการเพิ่มประสิทธิภาพ BLAS แต่ไม่พบเอกสารประกอบในการสร้างเวกเตอร์ที่ซับซ้อนหรือแก้เมทริกซ์ tridiagonal ด้วยเวกเตอร์ที่มีค่าที่ซับซ้อนเช่นนั้น ฉันต้องการวัตถุในโปรแกรมของฉันเนื่องจากฉันรู้สึกว่ามันเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดสำหรับฉันที่จะพูดคุยในภายหลังเพื่อรวมการมีเพศสัมพันธ์ระหว่าง wavefunctions ดังนั้นฉันจึงติดกับภาษาเชิงวัตถุ ฉันลองเขียนตัวแก้เมทริกซ์ tridiagonal matrix ด้วยมือ แต่ฉันพบปัญหาเมื่อฉันทำเช่นนั้นในไพ ธ อน ในขณะที่ฉันมีการพัฒนาในช่วงเวลาที่มากขึ้นด้วยขั้นตอนที่ดีกว่าและดีกว่าข้อผิดพลาดที่สะสมและทำให้ฉันไร้สาระ เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ฉันตัดสินใจใช้วิธีการที่สร้างขึ้น …

9 pde  linear-algebra  boundary-conditions 

เมื่อทำการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นหร็อมแหร็มโดยใช้วิธีการแยกตัวประกอบโดยตรงกลยุทธ์การสั่งซื้อที่ใช้ส่งผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญต่อปัจจัยการเติมขององค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ในปัจจัย หนึ่งในกลยุทธ์การสั่งซื้อคือการคัดแยกที่ซ้อนกัน ฉันสงสัยว่ามันเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นกับการผ่าที่ซ้อนกันสั่งล่วงหน้าก่อนเวลาที่กำหนดเพียงพารามิเตอร์กริด (สมมติว่าเป็นตารางความแตกต่างแน่นอน M x N สแควร์ที่มีความแตกต่างลำดับแรก) แก้ไข ฉันเพิ่งพบว่ามีรหัสที่ทำสิ่งนี้: http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/meshnd/

9 linear-algebra 

ระบบที่ไม่แน่นอนของเมทริกซ์จะปรากฏขึ้นเช่นในการแยกแยะปัญหาของจุดอานโดยองค์ประกอบ จำกัด เมทริกซ์ระบบสามารถใส่ในแบบฟอร์มได้ (ABBเสื้อค)(ABเสื้อBค)\begin{pmatrix} A & B^t \\ B & C\end{pmatrix} โดยที่คือลบ (กึ่ง) - ไม่มีขีด จำกัด ,เป็นบวก (กึ่ง -) แน่นอนและเป็นกฎเกณฑ์ แน่นอนขึ้นอยู่กับการประชุมคุณอาจใช้เงื่อนไขที่แน่นอน แต่นี่เป็นโครงสร้างของเมทริกซ์เหล่านั้นAAAคคCBBB สำหรับวิธีการเหล่านี้สามารถใช้วิธีของอุซาวะได้ซึ่งเป็นเพียง "กลอุบาย" เพื่อแปลงระบบให้เป็นระบบกึ่งแน่นอนที่เทียบเท่าซึ่งสามารถแก้ไขได้โดย Conjugate Gradient, Gradient Descent และอื่น ๆ ฉันเผชิญกับระบบไม่ จำกัด ซึ่งไม่มีโครงสร้างบล็อกดังกล่าว วิธีการประเภทอุซวะวะไม่ได้ใช้ในกรณีนั้น ฉันรับรู้ถึงวิธีการตกค้างขั้นต่ำ (MINRES) ที่ได้รับการแนะนำโดย Paige & Saunders ซึ่งเป็นเพียงการสอบถามซ้ำสามครั้งและดูเหมือนว่าจะใช้งานได้ง่าย คำถาม:โดยทั่วไปแล้ว MINRES เป็นตัวเลือกที่ดีพูดทำต้นแบบหรือไม่ มันเกี่ยวข้องกับภาคปฏิบัติหรือไม่? การปรับสภาพล่วงหน้าไม่ใช่ประเด็นสำคัญในขณะนี้

9 linear-algebra  iterative-method