2
ลักษณะทั่วไปอย่างต่อเนื่องของการแจกแจงทวินามลบ
การแจกแจงลบทวินาม (NB)ถูกกำหนดในจำนวนเต็มไม่เป็นลบและมีฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นf(k;r,p)=(k+r−1k)pk(1−p)r.f(k;r,p)=(k+r−1k)pk(1−p)r.f(k;r,p)={\binom {k+r-1}{k}}p^{k}(1-p)^{r}.มันสมเหตุสมผลหรือไม่ที่จะต้องพิจารณาการกระจายอย่างต่อเนื่องบน reals ที่ไม่เป็นลบซึ่งกำหนดโดยสูตรเดียวกัน (แทนที่k∈N0k∈N0k\in \mathbb N_0โดยx∈R≥0x∈R≥0x\in\mathbb R_{\ge 0} )? ค่าสัมประสิทธิ์ทวินามสามารถเขียนเป็นผลิตภัณฑ์ของ(k+1)⋅…⋅(k+r−1)(k+1)⋅…⋅(k+r−1)(k+1)\cdot\ldots\cdot(k+r-1)ซึ่งเป็นที่ที่ดีที่กำหนดจริงใด ๆkkkkดังนั้นเราจะมี PDF f(x;r,p)∝∏i=1r−1(x+i)⋅px(1−p)r.f(x;r,p)∝∏i=1r−1(x+i)⋅px(1−p)r.f(x;r,p)\propto\prod_{i=1}^{r-1}(x+i)\cdot p^{x}(1-p)^{r}. โดยทั่วไปเราสามารถแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ทวินามด้วยฟังก์ชันแกมมาทำให้ค่าrไม่ใช่จำนวนเต็มrrr: f(x;r,p)∝Γ(x+r)Γ(x+1)Γ(r)⋅px(1−p)r.f(x;r,p)∝Γ(x+r)Γ(x+1)Γ(r)⋅px(1−p)r.f(x;r,p)\propto\frac{\Gamma(x+r)}{\Gamma(x+1)\Gamma(r)}\cdot p^{x}(1-p)^{r}. เป็นการกระจายที่ถูกต้องหรือไม่ มันมีชื่อหรือไม่? มันมีประโยชน์อะไรบ้าง? มันอาจจะเป็นสารประกอบหรือส่วนผสมบางอย่าง? มีสูตรปิดสำหรับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน (และค่าคงที่สัดส่วนใน PDF) หรือไม่ (ขณะนี้ฉันกำลังศึกษากระดาษที่ใช้แบบผสม NB (ที่มีค่าคงที่r=2r=2r=2 ) และเหมาะกับมันผ่านทาง EM อย่างไรก็ตามข้อมูลเป็นจำนวนเต็มหลังจากการทำให้เป็นมาตรฐานบางอย่างเช่นไม่ใช่จำนวนเต็มอย่างไรก็ตามผู้เขียนใช้สูตร NB มาตรฐานเพื่อคำนวณ ความเป็นไปได้และผลลัพธ์ที่สมเหตุสมผลดังนั้นทุกอย่างดูเหมือนจะใช้ได้ดีฉันพบว่ามันน่างงมากโปรดทราบว่าคำถามนี้ไม่เกี่ยวกับ NB GLM)