ตัวประมาณที่ลดผลรวมถ่วงน้ำหนักของอคติกำลังสองและความแปรปรวนเข้ากับทฤษฎีการตัดสินใจได้อย่างไร
ตกลง - ข้อความต้นฉบับของฉันไม่สามารถตอบสนองได้ ขอผมใส่คำถามที่ต่างออกไป ฉันจะเริ่มต้นด้วยการอธิบายความเข้าใจของฉันเกี่ยวกับการประเมินจากมุมมองทางทฤษฎีการตัดสินใจ ฉันไม่มีการฝึกฝนอย่างเป็นทางการและจะไม่ทำให้ฉันประหลาดใจถ้าความคิดของฉันมีข้อบกพร่อง สมมติว่าเรามีบางฟังก์ชั่นการสูญเสีย(x)) การสูญเสียที่คาดหวังคือความเสี่ยง (บ่อยครั้ง):L(θ,θ^(x))L(θ,θ^(x))L(\theta,\hat\theta(x)) R(θ,θ^(x))=∫L(θ,θ^(x))L(θ,θ^(x))dx,R(θ,θ^(x))=∫L(θ,θ^(x))L(θ,θ^(x))dx,R(\theta,\hat\theta(x))=\int L(\theta,\hat\theta(x))\mathcal{L}(\theta,\hat\theta(x))dx, โดยที่คือความเป็นไปได้; และความเสี่ยงของ Bayes คือความเสี่ยงที่พบบ่อย:L(θ,θ^(x))L(θ,θ^(x))\mathcal{L}(\theta,\hat\theta(x)) r(θ,θ^(x))=∫∫R(θ,θ^(x))π(θ)dxdθ,r(θ,θ^(x))=∫∫R(θ,θ^(x))π(θ)dxdθ,r(\theta,\hat\theta(x))=\int\int R(\theta,\hat\theta(x))\pi (\theta)dxd\theta, โดยที่เป็นของเราก่อนหน้าπ(θ)π(θ)\pi (\theta) โดยทั่วไปแล้วเราพบที่ย่อและสิ่งนี้ได้ผลดี; ยิ่งกว่านั้นทฤษฎีบทของ Fubini ก็นำมาใช้และเราสามารถกลับลำดับการรวมเพื่อให้ใด ๆที่ย่อเป็นอิสระจากคนอื่นทั้งหมด วิธีนี้หลักการความน่าจะเป็นไม่ได้ถูกละเมิดและเราสามารถรู้สึกดีเกี่ยวกับการเป็นแบบเบย์เป็นต้นθ^(x)θ^(x)\hat\theta(x)rrrθ^(x)θ^(x)\hat\theta(x)rrr ตัวอย่างเช่นเนื่องจากการสูญเสียข้อผิดพลาดกำลังสองที่คุ้นเคยความเสี่ยงของเราที่พบบ่อยคือความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยหรือผลรวม ความเอนเอียงและความแปรปรวนและความเสี่ยงของเบย์คือผลรวมที่คาดหวังของความอคติกำลังสองและความแปรปรวนตามที่เราคาดไว้ก่อนหน้านั่นคือการสูญเสียด้านหลังL(θ,θ^(x))=(θ−θ^(x))2,L(θ,θ^(x))=(θ−θ^(x))2,L(\theta,\hat\theta(x))=(\theta- \hat\theta(x))^2, นี่ดูเหมือนจะสมเหตุสมผลสำหรับฉัน (แม้ว่าฉันอาจจะผิดมาก); แต่ไม่ว่าในกรณีใดสิ่งต่าง ๆ ทำให้ฉันรู้สึกไม่ถึงวัตถุประสงค์อื่น ๆ ตัวอย่างเช่นสมมติว่าแทนที่จะลดผลรวมของอคติและความแปรปรวนที่ถ่วงน้ำหนักเท่า ๆ กันฉันต้องการลดผลรวมน้ำหนักที่ไม่เท่ากันนั่นคือฉันต้องการที่ย่อเล็กสุด:θ^(x)θ^(x)\hat\theta(x) (E[θ^(x)]−θ)2+kE[(θ^(x)−E[θ^(x)])2],(E[θ^(x)]−θ)2+kE[(θ^(x)−E[θ^(x)])2],(\mathbb{E}[\hat\theta(x)]-\theta)^2+k\mathbb{E}[(\hat\theta(x)-\mathbb{E}[\hat\theta(x)])^2], โดยที่คือค่าคงที่จริงที่เป็นบวก (นอกเหนือจาก 1)kkk ฉันมักจะอ้างถึงผลรวมเช่นนี้เป็น "ฟังก์ชันวัตถุประสงค์" แม้ว่ามันอาจเป็นไปได้ว่าฉันกำลังใช้คำนั้นอย่างไม่ถูกต้อง คำถามของฉันไม่เกี่ยวกับวิธีค้นหาวิธีแก้ปัญหา - การค้นหาที่ลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์นี้ให้ทำได้เป็นตัวเลข - แต่คำถามของฉันคือสองเท่า:θ^(x)θ^(x)\hat\theta(x) …