คำถามติดแท็ก embeddings

เป็นที่ทราบกันว่าได้รับเซตย่อย point ของ (นั่นคือได้รับคะแนนในด้วยระยะทางแบบยุคลิด) มันเป็นไปได้ที่จะฝังไว้ในสามมิติ\ ell ^ {n \ select 2 }nnnℓd2ℓ2d\ell_2^dnnnRdRd{\mathbb R}^dℓ(n2)1ℓ1(n2)\ell^{n\choose 2}_1 isometry คำนวณได้หรือไม่ในเวลาที่เป็นพหุนาม เนื่องจากมีปัญหาความแม่นยำ จำกัด คำถามที่แม่นยำคือ รับชุดXXXของnnnคะแนนในRdRd{\mathbb R}^dและϵ>0ϵ>0\epsilon >0มีการแม็พf:X→R(n2)f:X→R(n2)f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}คำนวณได้ (อาจใช้การสุ่ม) พหุนามเวลาในnnnและลอการิทึมใน1/ϵ1/ϵ1/\epsilonเช่นนั้นสำหรับทุกๆx,y∈Xx,y∈Xx,y\in Xเรามี ||f(x)−f(y)||1≤||x−y||2≤(1+ϵ)⋅||f(x)−f(y)||1||f(x)−f(y)||1≤||x−y||2≤(1+ϵ)⋅||f(x)−f(y)||1|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) ||_1 (หมายเหตุ: ฉันทราบว่าการแมปที่มีการบิดเบือน(1+ϵ)(1+ϵ)(1+\epsilon)สามารถพบได้ด้วยความน่าจะเป็นสูงในเวลาพหุนามในnnnและ1/ϵ1/ϵ1/\epsilonโดยฉายบนO(ϵ−2⋅logn)O(ϵ−2⋅log⁡n)O(\epsilon^{-2} \cdot \log n)สุ่มเส้น แต่ฉันไม่แน่ใจว่าสามารถลดขนาดมิติได้อย่างสร้างสรรค์เป็น(n2)(n2)n\choose 2หรือแม้กระทั่งO(n2)O(n2)O(n^2)เมื่อ1/ϵ1/ϵ1/\epsilonมีขนาดใหญ่กว่าnnnและฉันไม่รู้ว่ามี เป็นวิธีเวลาพหุนามในการจัดการกรณีที่1/ϵ1/ϵ1/\epsilonเป็นเลขชี้กำลังเป็นnในnnn)

27 cg.comp-geom  metrics  embeddings 

ภาพถ่ายกราฟเป็นกราฟที่สามารถฝังตัวอยู่ในเครื่องบินโดยไม่ต้องข้ามขอบ ปล่อยให้เป็น -uniform-hypergraph, เช่น hypergraph ที่ hyperedges ทั้งหมดมีขนาด kkG = ( X, E)G=(X,E)G=(X,E)kkk มีงานบางอย่างในการฝังไฮเปอร์กราฟบนเครื่องบิน (ด้วยบริบทของการรวมกลุ่มหรือแอปพลิเคชันอื่น ๆ ) แต่บ่อยครั้งที่ข้อมูลไม่สามารถฝังอยู่ในเครื่องบินได้ วิธีแก้ปัญหาอาจเป็นการบังคับด้วยการสูญเสียหรือฝังในมิติที่สูงกว่าตามที่ฉันแนะนำที่นี่: ส่วนขยายตามธรรมชาติของ planarity (IMO อย่างน้อยที่สุด) คือ " -simple-embedding" (มีชื่อเรียกที่แตกต่างกันหรือไม่?) ของ : การฝังเช่นนั้นมีพื้นผิวที่เชื่อมต่อทุกจุดของไฮเปอร์มาร์เก็ตแต่ละอันและสิ่งเหล่านี้ไม่ได้ตัดกันยกเว้นจุดปลายG M : X → R kkkkGGGM :X→ RkM:X→Rk\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k (ลองนึกถึงอะนาล็อกในแบบ 2D โดยที่แต่ละพื้นผิวเป็นขอบคุณสามารถวาดได้ตามต้องการ) นี่คือตัวอย่างของการฝัง 3-simple-embage ที่ถูกต้องของ 3-uniform-hypergraph (แต่ละจุดสุดยอดจะมีสีโดยไฮเปอร์เดคที่อยู่ในนั้นและแต่ละหน้าแทนไฮเปอร์ดจ์) ตัวอย่างของกราฟ 3 ง่าย …

12 graph-theory  planar-graphs  hypergraphs  embeddings  generalizations 

พิจารณาสองพื้นที่วัดและและการฝังY การวัดพื้นที่แบบดั้งเดิม embeddings วัดคุณภาพของเป็นกรณีที่เลวร้ายที่สุดของต้นฉบับ - ระยะทางอัตราส่วน: (X,d)(X,d)(X, d)(Y,f)(Y,f)(Y, f)μ:X→Yμ:X→Y\mu : X \rightarrow Yμμ\muρ=maxp,q∈X{d(x,y)f(μ(x),μ(y)),f(μ(x),μ(y))d(x,y)}ρ=maxp,q∈X{d(x,y)f(μ(x),μ(y)),f(μ(x),μ(y))d(x,y)} \rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \} มีมาตรการอื่น ๆ ที่มีคุณภาพแม้ว่า: Dhamdhere et alศึกษาการบิดเบือน "เฉลี่ย": σ=∑d(x,y)∑f(μ(x),μ(y)).σ=∑d(x,y)∑f(μ(x),μ(y)). \sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}. อย่างไรก็ตามการวัดที่ฉันสนใจที่นี่คือวิธีการที่ใช้โดยวิธีเหมือน MDS ซึ่งดูที่ข้อผิดพลาดการเติมเฉลี่ย: ε2=∑|d(x,y)−f(μ(x),μ(y))|2ε2=∑|d(x,y)−f(μ(x),μ(y))|2 \varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2 …

11 approximation-algorithms  cg.comp-geom  embeddings 

Johnson-Lindenstrauss lemma พูดอย่างคร่าว ๆ ว่าสำหรับคอลเล็กชั่น ofจุดใด ๆในมีแผนที่โดยที่เช่นนั้นสำหรับทั้งหมด : เป็นที่ทราบกันดีว่าคำสั่งที่คล้ายกันนั้นเป็นไปไม่ได้สำหรับตัวชี้วัด แต่เป็นที่รู้กันว่ามีวิธีใดบ้าง ขอบเขตโดยการเสนอการรับประกันที่อ่อนแอกว่า? ตัวอย่างเช่นสามารถมีบทแทรกด้านบนสำหรับSSSnnnRdRd\mathbb{R}^df:Rd→Rkf:Rd→Rkf:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^kk=O(logn/ϵ2)k=O(log⁡n/ϵ2)k = O(\log n/\epsilon^2)x,y∈Sx,y∈Sx, y \in Sℓ 1 ℓ 1(1−ϵ)||f(x)−f(y)||2≤||x−y||2≤(1+ϵ)||f(x)−f(y)||2(1−ϵ)||f(x)−f(y)||2≤||x−y||2≤(1+ϵ)||f(x)−f(y)||2(1-\epsilon)||f(x)-f(y)||_2 \leq ||x-y||_2 \leq (1+\epsilon)||f(x)-f(y)||_2ℓ1ℓ1\ell_1ℓ1ℓ1\ell_1ตัวชี้วัดที่สัญญาว่าจะรักษาระยะห่างของคะแนนส่วนใหญ่ไว้ แต่อาจทำให้มีการบิดเบือนโดยพลการ ที่ไม่รับประกันการคูณสำหรับจุดที่ "ใกล้เกินไป"?

11 ds.algorithms  approximation-algorithms  cg.comp-geom  metrics  embeddings