3
ค่าสูงสุดของสัมประสิทธิ์การแปรผันสำหรับชุดข้อมูลที่มีขอบเขต
ในการอภิปรายทำตามคำถามล่าสุดเกี่ยวกับว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถสูงกว่าค่าเฉลี่ยได้หรือไม่คำถามหนึ่งถูกยกให้สั้น ๆ แต่ไม่เคยตอบอย่างสมบูรณ์ ดังนั้นฉันถามมันที่นี่ พิจารณาชุดของnnnตัวเลขไม่ติดลบ xixix_iที่0≤xi≤c0≤xi≤c0 \leq x_i \leq cสำหรับ1≤i≤n1≤i≤n1 \leq i \leq n n ไม่จำเป็นต้องให้xixix_iแตกต่างนั่นคือเซตอาจเป็นหลายเซ็ต ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของชุดถูกกำหนดเป็น x¯=1n∑i=1nxi, σ2x=1n∑i=1n(xi−x¯)2=(1n∑i=1nx2i)−x¯2x¯=1n∑i=1nxi, σx2=1n∑i=1n(xi−x¯)2=(1n∑i=1nxi2)−x¯2\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, ~~ \sigma_x^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2\right) - \bar{x}^2 และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือσxσx\sigma_xx โปรดทราบว่าชุดของตัวเลขไม่ใช่ตัวอย่างจากประชากรและเราไม่ได้ประมาณค่าเฉลี่ยประชากรหรือความแปรปรวนของประชากร คำถามคือ: ค่าสูงสุดของσ xคืออะไรσxx¯σxx¯\dfrac{\sigma_x}{\bar{x}}สัมประสิทธิ์ของการเปลี่ยนแปลงมากกว่าตัวเลือกทั้งหมดของxixix_i's ในช่วง[0,c][0,c][0,c]? ค่าสูงสุดที่ฉันสามารถหาได้สำหรับσxx¯σxx¯\frac{\sigma_x}{\bar{x}}คือn−1−−−−−√n−1\sqrt{n-1} ซึ่งทำได้เมื่อn−1n−1n-1ของxixix_iมีค่า000และส่วนที่เหลือ (นอก)xixix_i มีค่าccc, ให้ แต่นี่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับcเลยและฉันสงสัยว่าถ้าค่าที่มากขึ้นอาจขึ้นอยู่กับทั้งnและcสามารถทำได้x¯=cn, 1n∑x2i=c2n⇒σx=c2n−c2n2−−−−−−−√=cnn−1−−−−−√.x¯=cn, 1n∑xi2=c2n⇒σx=c2n−c2n2=cnn−1.\bar{x} = …