5
การสลายตัวของจอร์แดน
หมายเหตุสำคัญ : เนื่องจากความท้าทายนี้ใช้กับเมทริกซ์จตุรัสทุกครั้งที่ฉันใช้คำว่า "เมทริกซ์" ดังนั้นจึงถือว่าฉันกำลังอ้างถึงเมทริกซ์จตุรัส ฉันกำลังออกจากคำอธิบาย "สี่เหลี่ยม" เพื่อประโยชน์ของความกะทัดรัด พื้นหลัง การดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์จำนวนมากเช่นการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์การแก้ระบบเชิงเส้นหรือการขยายฟังก์ชันสเกลาร์ที่มีค่าให้กับเมทริกซ์ทำได้ง่ายขึ้นโดยใช้เมทริกซ์ทแยงมุม (หนึ่งองค์ประกอบที่ไม่ เมทริกซ์ดั้งเดิม (หมายถึงสำหรับเมทริกซ์อินพุตAและเมทริกซ์แนวทแยงDมีเมทริกซ์กลับด้านบางส่วนPเช่นD = P^(-1) * A * Pนั้นด้วยDและAแบ่งปันคุณสมบัติที่สำคัญบางอย่างเช่นค่าลักษณะเฉพาะดีเทอร์มิแนนต์และร่องรอย) สำหรับการฝึกอบรมที่มีลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน (รากพหุนามลักษณะเมทริกซ์ที่ได้รับจากการแก้det(A-λI) = 0สำหรับλที่Iเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีขนาดเดียวกับที่A) diagonalization ง่ายๆคือ:Dเป็นเมทริกซ์ที่มีค่าลักษณะเฉพาะบนเส้นทแยงมุมหลักและPเป็นเมทริกซ์ที่สร้างขึ้นจากค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะเหล่านั้น (ตามลำดับเดียวกัน) กระบวนการนี้เรียกว่าeigendecomposition อย่างไรก็ตามเมทริกซ์ที่มีค่าลักษณะเฉพาะซ้ำ ๆ ไม่สามารถทำให้เป็นเส้นทแยงมุมได้ในลักษณะนี้ โชคดีที่รูปแบบเมทริกซ์ใด ๆ ของจอร์แดนสามารถคำนวณได้ง่ายและไม่ยากที่จะทำงานกับเมทริกซ์แนวทแยงทั่วไป นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติที่ดีที่หากค่าลักษณะเฉพาะไม่ซ้ำกันการสลายตัวของจอร์แดนจะเหมือนกับ eigendecomposition จอร์แดนอธิบายการสลายตัว สำหรับเมทริกซ์จตุรัสAที่มีค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดมีเรขาคณิตหลายหลากของ 1 กระบวนการของการสลายตัวของจอร์แดนสามารถอธิบายได้ดังนี้: อนุญาตλ = {λ_1, λ_2, ... λ_n}เป็นรายการของค่าลักษณะเฉพาะของA, ที่มีหลายหลาก, กับค่าลักษณะเฉพาะที่ซ้ำกันปรากฏขึ้นอย่างต่อเนื่อง สร้างเมทริกซ์ทแยงมุมJที่มีองค์ประกอบเป็นองค์ประกอบλในลำดับเดียวกัน สำหรับแต่ละค่าลักษณะเฉพาะที่มีหลายหลากมากกว่า 1 …