คำถามติดแท็ก gr.group-theory

ฉันสนใจอัลกอริทึมสำหรับกลุ่ม จำกัด ตามที่ใช้ในแพ็คเกจ GAP ดูเหมือนว่าอัลกอริทึมที่รู้จักทั้งหมดในฟิลด์นี้จะจัดการกับกลุ่มการเปลี่ยนแปลง / กลุ่มเมทริกซ์ พื้นฐานสองประการคือ Schreier-Sims [1970] และ Butler [1979], ดูตัวอย่าง 'อัลกอริทึมสำหรับกลุ่มการเปลี่ยนแปลง' โดย Alice Niemeyer เพื่อเป็นข้อมูลอ้างอิง (?) ดังนั้นฉันสงสัยว่ามีความคืบหน้าสำคัญในสนามในช่วง 50 ปีที่ผ่านมาหรือไม่ ฉันเคยเห็นผู้ใช้ NisaiVloot ถามคำถามบางอย่างเกี่ยวกับกลุ่มถักเปียที่อาจเป็นส่วนขยายที่น่าสนใจของผลลัพธ์ที่ทราบเกี่ยวกับกลุ่มการเปลี่ยนแปลงแม้ว่ามันจะไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่าสถานะการวิจัยปัจจุบันในสาขานี้เป็นอย่างไรเมื่อชุมชนคณิตศาสตร์ / อัลกอริทึม -of-sync ทุกวันนี้

10 permutations  gr.group-theory 

อัลกอริทึมเวลาพหุนามเป็นที่รู้จักกันในการค้นหาชุดการเปลี่ยนแปลงกลุ่มซึ่งน่าสนใจเนื่องจากเราสามารถเป็นตัวแทนของกลุ่มเหล่านั้นได้อย่างกระชับโดยไม่ละทิ้งอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับการตอบคำถามที่น่าสนใจมากมายที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มเหล่านี้ อย่างไรก็ตามบางครั้งเราอาจสนใจเซ็ตของการเรียงสับเปลี่ยนที่ไม่ได้จัดกลุ่มดังนั้นชุดนั้นจะถูกแทนด้วยR = ⟨ S ⟩ ∖ Tโดยที่⟨ S ⟩เป็นกลุ่มที่สร้างโดยชุดSของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าและTคือชุดของพีชคณิตที่มีไม่ได้ในRแทนเพียง⟨ S ⟩RRRR = ⟨ S⟩ ∖ TR=⟨S⟩∖TR=\langle S\rangle \setminus T⟨ S⟩⟨S⟩\langle S\rangleSSSTTTRRR⟨S⟩⟨S⟩\langle S\rangle มีงานใด ๆ ในการคำนวณเช่นการเข้ารหัสในรูปแบบของคู่ซึ่งอาจเป็นไปตามเป้าหมายเพิ่มเติมที่เป็นธรรมชาติของการย่อขนาด| S | + | T | ?{S,T}{S,T}\{S,T\}|S|+|T||S|+|T||S|+|T|

10 permutations  gr.group-theory 

กำหนดฟังก์ชั่นแบบบูลเรามีกลุ่ม automorphism\}fffAut(f)={σ∈Sn ∣∀x,f(σ(x))=f(x)}Aut(f)={σ∈Sn ∣∀x,f(σ(x))=f(x)}Aut(f) = \{\sigma \in S_n\ \mid \forall x, f(\sigma(x)) = f(x) \} มีขอบเขตที่รู้จักในหรือไม่ มีอะไรเป็นที่รู้จักกันในปริมาณของแบบฟอร์มสำหรับกลุ่มหรือไม่?Prf(Aut(f)≠1)Prf(Aut(f)≠1)Pr_f(Aut(f) \neq 1)Prf(G≤Aut(f))Prf(G≤Aut(f))Pr_f(G \leq Aut(f))GGG

9 boolean-functions  randomness  gr.group-theory  symmetry 

ให้กำเนิดที่แข็งแกร่งสำหรับกลุ่มทำหน้าที่บน bitstrings ของความยาวและองค์ประกอบ , มันยากแค่ไหนที่จะคำนวณองค์ประกอบน้อยที่สุดของ , วงโคจรของใน ?(G≤Sn,∗)(G≤Sn,∗)(G \leq S_n, *)nnns∈{0,1}ns∈{0,1}ns \in \{0, 1\}^nG.sG.sG.ssssGGG

9 permutations  gr.group-theory  complexity 

ให้และมีสอง -regular กราฟที่เกี่ยวโยงกันของขนาดnให้เป็นชุดของพีชคณิตดังกล่าวว่า H หากแล้วคือชุดของ automorphisms ของGGGGHHHrrrnnnAAAPPPPGP−1=HPGP−1=HPGP^{-1}=HG=HG=HG=HAAAGGG ขอบเขตบนที่รู้จักกันดีที่สุดเกี่ยวกับขนาดของคืออะไร มีผลลัพธ์ใด ๆ สำหรับคลาสกราฟที่เฉพาะเจาะจง (ไม่มีกราฟสมบูรณ์ / รอบ) หรือไม่?AAA หมายเหตุ: การสร้างกลุ่มออโตมอร์ฟิสอย่างน้อยเป็นเรื่องยาก (ในแง่ของความซับซ้อนในการคำนวณ) เป็นการแก้ปัญหากราฟมอร์ฟิซึม ในความเป็นจริงการนับออโตมอร์ฟิซึมเพียงอย่างเดียวคือพหุนามเท่ากับกราฟมอร์ฟิซึ่ม cf R. Mathon "โน้ตบนกราฟมอร์ฟิซึ่มปัญหาการนับ"

9 reference-request  graph-theory  co.combinatorics  graph-isomorphism  gr.group-theory 

มีตระกูลของการกระทำกลุ่มที่รู้จักพร้อมองค์ประกอบที่กำหนด ในชุดที่กำลังดำเนินการอยู่หรือไม่ \: ตัวอย่าง (อย่างสม่ำเสมอเหมือนกัน) จากกลุ่มคำนวณการผกผัน \: คำนวณการดำเนินงานของกลุ่มและคำนวณการกระทำของกลุ่ม และไม่มีอัลกอริทึมควอนตัมที่มีประสิทธิภาพที่รู้จักกัน สำหรับการประสบความสำเร็จกับความน่าจะเป็นที่ไม่สำคัญ \: ได้รับเป็นอินพุตดัชนีของการกระทำของกลุ่มและผลของ \: องค์ประกอบกลุ่มตัวอย่างที่ทำหน้าที่กับองค์ประกอบที่กำหนด \: ค้นหาองค์ประกอบกลุ่มที่มีการดำเนินการกับองค์ประกอบที่กำหนดเป็นอินพุตที่สอง ? เท่าที่ฉันทราบผู้ให้การสร้างที่รู้จักเท่านั้นของการไม่เชิงสถิติการซ่อนภาระผูกพันที่ความรู้ของกับดักประตูช่วยให้การแยกตัวออกจากกันอย่างมีประสิทธิภาพและไม่สามารถตรวจจับได้คุณสมบัติที่มีประโยชน์สำหรับศูนย์ความรู้ ตระกูลของกลุ่มโฮโมมอร์ฟิซึมแบบทางเดียวที่มีคุณสมบัติสามประการแรก (จากบรรทัดที่สามและสี่ของโพสต์นี้) สามารถแปลงเป็นสิ่งนั้นได้โดยให้โดเมนทำหน้าที่บนโคโดเมนผ่าน ⟨ , b ⟩ ↦ ชั่วโมง( ) ⋅ ข⟨a,b⟩↦h(a)⋅b\: \langle a,b\rangle \mapsto h(a)\cdot b \:, \: ด้วยองค์ประกอบตัวตนเป็นองค์ประกอบที่แตกต่าง เวอร์ชันที่ จำกัด ของโครงการความมุ่งมั่นของPedersenสามารถรับได้เป็นกรณีพิเศษของการใช้การแปลงข้างต้นกับกลุ่ม homomorphism แบบเอกซ์โพเนนเชียลซึ่งมีความเป็นทางเดียวเทียบเท่ากับความแข็งของปัญหาลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่องแม้ว่าจะไม่ยาก (ดูอัลกอริธึมของ Shorและส่วนของหน้าในลอการิทึมแบบแยก)

9 cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory