เงื่อนไขที่เพียงพอและจำเป็นสำหรับศูนย์ค่าเฉพาะของเมทริกซ์สหสัมพันธ์
ได้รับตัวแปรสุ่มกับการกระจายความน่าจะเป็น , เมทริกซ์สหสัมพันธ์เป็นบวกกึ่งแน่นอนเช่นค่าลักษณะเฉพาะของมัน เป็นบวกหรือเป็นศูนย์nnnXiXiX_iP(X1,…,Xn)P(X1,…,Xn)P(X_1,\ldots,X_n)Cij=E[XiXj]−E[Xi]E[Xj]Cij=E[XiXj]−E[Xi]E[Xj]C_{ij}=E[X_i X_j]-E[X_i]E[X_j] ฉันสนใจในเงื่อนไขเกี่ยวกับที่จำเป็นและ / หรือเพียงพอสำหรับC ที่จะมี ค่าลักษณะเฉพาะศูนย์m ยกตัวอย่างเช่นเงื่อนไขที่เพียงพอคือการที่ตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นอิสระ: \ sum_i u_i x_i = 0สำหรับจำนวนจริงบางu_i ตัวอย่างเช่นถ้าP (X_1, \ ldots, X_n) = \ delta (X_1-X_2) p (X_2, \ ldots, X_n)ดังนั้น\ vec u = (1, -1,0, \ ldots, 0)คือ eigenvector ของC ที่มีค่าศูนย์ eigenvalue หากเรามีข้อ จำกัด เชิงเส้นอิสระเอ็มบนX_iของประเภทนี้มันจะแปลว่าค่าศูนย์เป็นค่าmPPPCCCmmm∑iuiXi=0∑iuiXi=0\sum_i u_i X_i=0uiuiu_iP(X1,…,Xn)=δ(X1−X2)p(X2,…,Xn)P(X1,…,Xn)=δ(X1−X2)p(X2,…,Xn)P(X_1,\ldots,X_n)=\delta(X_1-X_2)p(X_2,\ldots,X_n)u⃗ =(1,−1,0,…,0)u→=(1,−1,0,…,0)\vec u=(1,-1,0,\ldots,0)CCCmmmXiXiX_immm …