คำถามติดแท็ก mathematical-statistics

ฉันพยายามเข้าใจตรรกะหลังการทดสอบไคสแควร์ การทดสอบไคสแควร์เป็น{} จะถูกเปรียบเทียบกับการแจกแจงแบบ Chi-squared เพื่อค้นหา p.value เพื่อปฏิเสธหรือไม่สมมุติฐานว่าง : การสังเกตมาจากการแจกแจงที่เราเคยสร้างค่าที่เราคาดหวัง ตัวอย่างเช่นเราสามารถทดสอบความน่าจะเป็นที่จะได้รับจากตามที่เราคาดหวัง ดังนั้นเราจึงพลิก 100 ครั้งและหาและ1เราต้องการเปรียบเทียบการค้นพบของเรากับสิ่งที่คาดหวัง ( ) เราสามารถใช้การแจกแจงทวินามได้ด้วย แต่มันก็ไม่ใช่ประเด็นของคำถาม ... คำถามคือ: χ2H0pnH1-nH100⋅pχ2=∑(obs−exp)2expχ2=∑(obs−exp)2exp\chi ^2 = \sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}χ2χ2\chi ^2H0H0H_0headpppnHnHn_H Heads1−nH1−nH1-n_H tails100⋅p100⋅p100 \cdot p คุณช่วยอธิบายได้ไหมว่าทำไมภายใต้สมมติฐานว่างตามหลังการแจกแจงแบบไคสแควร์?∑(obs−exp)2exp∑(obs−exp)2exp\sum \frac{(obs-exp)^2}{exp} สิ่งที่ฉันรู้เกี่ยวกับการกระจายตัวไคสแควร์คือการกระจายตัวไคสแควร์ของดีกรีคือผลรวมของการแจกแจงปกติกำลังสองมาตรฐานkkkkkkk

13 probability  distributions  normal-distribution  mathematical-statistics  chi-squared 

การแสดงออกสองอย่างนี้ทำให้ฉันสับสนมากเมื่อฉันเรียนรู้สถิติ ดูเหมือนว่าพวกเขาจะแตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ตัวอย่างสุ่มคือการสุ่มเก็บตัวอย่างจากประชากรในขณะที่ตัวแปรสุ่มเป็นเหมือนฟังก์ชั่นที่แมปชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดสอบเป็นจำนวนจริง อย่างไรก็ตามพูดว่าถ้าฉันวาดตัวอย่าง , ,และ , โดยที่และไม่เป็นที่รู้จักคือ , ,ตัวอย่างสุ่มหรือตัวแปรสุ่ม?X1X1X_1X2X2X_2X3X3X_3Xi∼N(μ,σ2)Xi∼N(μ,σ2)X_i \sim N(\mu,\sigma^2)μμ\muσσ\sigmaX1X1X_1X2X2X_2X3X3X_3

13 mathematical-statistics  random-variable  terminology  sample 

นิ่งงันจริงๆในอันนี้ ฉันต้องการตัวอย่างหรือสถานการณ์ที่ตัวประมาณค่า B จะสอดคล้องและลำเอียง

13 mathematical-statistics  estimation  econometrics 

สมมติว่าเกมเสนอเหตุการณ์ที่เมื่อดำเนินการเสร็จแล้วอาจให้รางวัลหรือไม่ทำอะไรเลย กลไกที่แน่ชัดในการพิจารณาว่าการให้รางวัลนั้นไม่เป็นที่รู้จักหรือไม่ แต่ฉันคิดว่าจะใช้ตัวสร้างตัวเลขแบบสุ่มและหากผลลัพธ์นั้นมีค่ามากกว่าค่าฮาร์ดโค้ดบางตัวคุณจะได้รับรางวัล ถ้าฉันต้องการวิศวกรรมย้อนกลับโดยทั่วไปแล้วโปรแกรมเมอร์ใช้ค่าอะไรในการพิจารณาความถี่ที่ได้รับรางวัล (ประมาณ 15-30%) ฉันจะคำนวณจำนวนตัวอย่างที่ฉันต้องการได้อย่างไร ฉันเริ่มต้นด้วยส่วน "เครื่องมือประมาณความน่าจะเป็นจริง" ที่นี่: Checking_whether_a_coin_is_fairแต่ฉันไม่แน่ใจว่าฉันกำลังมุ่งหน้าไปทางที่ถูกต้อง ฉันได้รับผลลัพธ์จาก ~ 1,000 ตัวอย่างที่จำเป็นสำหรับข้อผิดพลาดสูงสุด 3% ที่ความมั่นใจ 95% ท้ายที่สุดนี่คือสิ่งที่ฉันพยายามแก้ไข: กิจกรรม # 1 ให้รางวัล 1.0R, X% ของเวลา กิจกรรม # 2 ให้รางวัล 1.4R กับ Y% ของเวลา ฉันต้องการประเมิน X & Y อย่างแม่นยำพอที่จะตัดสินว่ากิจกรรมใดมีประสิทธิภาพมากกว่า ขนาดตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่เป็นปัญหาเนื่องจากฉันสามารถได้รับ 1 ตัวอย่างทุก ๆ 20 นาทีเท่านั้น

13 logistic  mathematical-statistics  sample-size  power-analysis  bernoulli-distribution 

ฉันกำลังเรียนรู้การเรียนรู้ของเครื่องและหนังสือทุกเล่มที่ฉันเปิดฉันชนกับการแจกแจงแบบไคสแควร์, ฟังก์ชันแกมม่า, การแจกแจงแบบ t, เกาส์เซียนและอื่น ๆ หนังสือทุกเล่มที่ฉันได้เปิดจนถึงเพียงกำหนดสิ่งที่การกระจายคือพวกเขาไม่ได้อธิบายหรือให้สัญชาตญาณว่าสูตรเฉพาะสำหรับฟังก์ชั่นมาจากไหน ตัวอย่างเช่นทำไมการกระจายแบบไคสแควร์ถึงเป็นแบบนั้น การแจกแจงแบบ t คืออะไร? สัญชาตญาณของการกระจายคืออะไร พิสูจน์? เป็นต้น ฉันต้องการที่จะมีความเข้าใจที่ชัดเจนและพื้นฐานของการแจกแจงที่ใช้กันมากที่สุดเพื่อให้ทุกครั้งในภายหลังเมื่อฉันเห็นพวกเขาฉันเข้าใจอย่างแท้จริงว่าการกระจายตัวทีคืออะไรการกระจายแบบเกาส์และที่สำคัญที่สุดคือทำไม พวกเขาคือ. มันจะดีถ้าหนังสือ / บทช่วยสอนสามารถอธิบายแนวคิดของคนธรรมดาเพื่อที่จะเข้าใจพวกเขาคุณไม่จำเป็นต้องเข้าใจพวกเขา x) หนังสือหลายเล่มเป็นเช่นนี้พวกเขาไม่เหมาะสำหรับผู้เริ่มต้น :(

13 probability  distributions  mathematical-statistics  references 

คำถามของฉันเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างอัลฟ่าและเบต้ากับคำจำกัดความในสถิติ alpha = type I error rate = ระดับนัยสำคัญภายใต้การพิจารณาว่าสมมติฐาน NULL นั้นถูกต้อง อัตราข้อผิดพลาด Beta = type II หากอัลฟาลดลง (ความจำเพาะเพิ่มขึ้นเมื่ออัลฟ่า = 1- เจาะจง) เบต้าจะเพิ่มขึ้น (ความไว / พลังงานลดลงเมื่อเบต้า = 1 - ความไว / พลังงาน) การเปลี่ยนแปลงในอัลฟ่าส่งผลต่อเบต้าอย่างไร มีความสัมพันธ์เชิงเส้นหรือไม่? อัตราส่วนอัลฟ่า / เบต้าจะเท่ากันเสมอหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งว่าความจำเพาะ / ความไวของอัตราส่วนจะเท่ากันเสมอหรือไม่? ถ้าใช่ก็หมายความว่าโดยใช้การแก้ไข bonferroni เราเพียงแค่เปลี่ยนเป็นความไวต่ำและความจำเพาะสูงกว่า แต่เราไม่ได้เปลี่ยนอัตราส่วนความไว / ความจำเพาะ ถูกต้องหรือไม่ที่จะพูดอย่างนั้น? อัปเดต (คำถามเฉพาะกรณี): สำหรับการออกแบบการทดลองที่กำหนดเราเรียกใช้โมเดลเชิงเส้น 5 ตัวบนข้อมูล …

13 statistical-significance  mathematical-statistics 

Y X ∼ χ 2 ( n - 1 ) Y ∼ เบต้า( nXXXและมีการกระจายตัวแปรสุ่มแบบอิสระโดยที่และขวา) การกระจายของคืออะไร?YYYX∼χ2(n−1)X∼χ(n−1)2X\sim\chi^2_{(n-1)}Y∼Beta(n2−1,n2−1)Y∼Beta(n2−1,n2−1)Y\sim\text{Beta}\left(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2}-1\right)Z=(2Y−1)X−−√Z=(2Y−1)XZ=(2Y-1)\sqrt X ความหนาแน่นรอยต่อของได้รับจาก(X,Y)(X,Y)(X,Y) fX,Y(x,y)=fX(x)fY(y)=e−x2xn−12−12n−12Γ(n−12)⋅yn2−2(1−y)n2−2B(n2−1,n2−1)1{x&gt;0,0&lt;y&lt;1}fX,Y(x,y)=fX(x)fY(y)=e−x2xn−12−12n−12Γ(n−12)⋅yn2−2(1−y)n2−2B(n2−1,n2−1)1{x&gt;0,0&lt;y&lt;1}f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=\frac{e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n-1}{2}-1}}{2^{\frac{n-1}{2}}\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}\cdot\frac{y^{\frac{n}{2}-2}(1-y)^{\frac{n}{2}-2}}{B\left(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2}-1\right)}\mathbf1_{\{x>0\,,\,00\,,\,|z|<w\}} ไฟล์ PDF ส่วนขอบของนั้นคือ ซึ่งไม่ได้นำพาฉันไปทุกที่ฉZ ( Z ) = ∫ ∞ | z | f Z , W ( z , w )ZZZfZ(z)=∫∞|z|fZ,W(z,w)dwfZ(z)=∫|z|∞fZ,W(z,w)dwf_Z(z)=\displaystyle\int_{|z|}^\infty f_{Z,W}(z,w)\,\mathrm{d}w อีกครั้งในขณะที่ค้นหาฟังก์ชันการกระจายของฟังก์ชันเบต้า / แกมม่าที่ไม่สมบูรณ์จะปรากฏขึ้น:ZZZ FZ(z)=Pr(Z≤z)FZ(z)=Pr(Z≤z)F_Z(z)=\Pr(Z\le z) =Pr((2Y−1)X−−√≤z)=∬(2y−1)x√≤zfX,Y(x,y)dxdy=Pr((2Y−1)X≤z)=∬(2y−1)x≤zfX,Y(x,y)dxdy\quad\qquad=\Pr((2Y-1)\sqrt X\le z)=\displaystyle\iint_{(2y-1)\sqrt{x}\le z}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y …

12 self-study  distributions  mathematical-statistics  random-variable 

ฉันเคยเห็นสูตรในWikipedia ที่เกี่ยวข้องกับระยะทางและ Mahalanobis Leverage: ระยะทาง Mahalanobis มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับสถิติการใช้ประโยชน์แต่มีระดับที่แตกต่าง:hhhD2=(N−1)(h−1N).D2=(N−1)(h−1N).D^2 = (N - 1)(h - \tfrac{1}{N}). ในบทความที่มีการเชื่อมโยง Wikipedia อธิบายในเงื่อนไขเหล่านี้hhh ในโมเดลการถดถอยเชิงเส้นคะแนนความสามารถในการใช้ประโยชน์สำหรับหน่วยข้อมูลถูกกำหนดเป็น:องค์ประกอบส่วนของเมทริกซ์หมวกโดยที่หมายถึงเมทริกซ์ทรานสดิวเซอร์ithithi^{th}hii=(H)ii,hii=(H)ii,h_{ii}=(H)_{ii},ithithi^{th}H=X(X⊤X)−1X⊤H=X(X⊤X)−1X⊤H=X(X^{\top}X)^{-1}X^{\top}⊤⊤^{\top} ฉันไม่สามารถหาหลักฐานได้ทุกที่ ฉันพยายามเริ่มจากคำจำกัดความ แต่ฉันไม่สามารถก้าวหน้าได้ ทุกคนสามารถให้คำใบ้ได้บ้าง

12 multiple-regression  mathematical-statistics  diagnostic  leverage 

ฉันจะแก้ปัญหานี้ได้อย่างไร ฉันต้องการสมการระดับกลาง บางทีคำตอบคือ(x)−tf(x)−tf(x)-tf(x) ddt[∫∞txf(x)dx]ddt[∫t∞xf(x)dx] \frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ] f(x)f(x)f(x)เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น กล่าวคือและ\ lim \ limit_ {x \ to \ infty} F (x) = 1limx→∞f(x)=0limx→∞f(x)=0\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0limx→∞F(x)=1limx→∞F(x)=1\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = 1 แหล่งที่มา: http://www.actuaries.jp/lib/collection/books/H22/H22A.pdf p.40 ลองใช้สมการกลางด้านล่าง: ddt[∫∞txf(x)dx]=ddt[[xF(x)]∞t−∫∞tF(x)dx]??ddt[∫t∞xf(x)dx]=ddt[[xF(x)]t∞−∫t∞F(x)dx]?? \frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ] = \frac{d}{dt} \left [\left [xF(x) …

12 probability  distributions  self-study  mathematical-statistics 

อัตราส่วนของการแจกแจงปกติสองแบบอิสระให้การแจกแจงแบบโคชี การแจกแจงแบบ t เป็นการแจกแจงแบบปกติหารด้วยการแจกแจงแบบไคสแควร์อิสระ อัตราส่วนของการแจกแจงแบบไคสแควร์อิสระสองตัวนั้นให้การกระจายแบบ F ฉันกำลังมองหาอัตราส่วนของการแจกแจงแบบต่อเนื่องอิสระที่ให้ตัวแปรสุ่มแบบกระจายที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ?μμ\muσ2σ2\sigma^2 อาจมีคำตอบที่เป็นไปได้จำนวนมาก คุณสามารถให้คำตอบที่เป็นไปได้เหล่านี้ให้ฉันได้ไหม ฉันจะซาบซึ้งเป็นพิเศษหากทั้งสองการแจกแจงอิสระซึ่งการคำนวณอัตราส่วนนั้นเหมือนกันหรืออย่างน้อยก็มีความแปรปรวนที่คล้ายกัน

12 probability  distributions  normal-distribution  mathematical-statistics 

เรื่องย่อ:มีทฤษฎีทางสถิติใดบ้างที่สนับสนุนการใช้การแจกแจงแบบ (มีองศาอิสระตามส่วนเบี่ยงเบนส่วนที่เหลือ) สำหรับการทดสอบสัมประสิทธิ์การถดถอยโลจิสติกมากกว่าการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานหรือไม่?ttt บางเวลาที่ผ่านมาฉันค้นพบว่าเมื่อปรับโมเดลการถดถอยโลจิสติกใน SAS PROC GLIMMIX ภายใต้การตั้งค่าเริ่มต้นสัมประสิทธิ์การถดถอยโลจิสติกจะถูกทดสอบโดยใช้การแจกแจงแบบแทนการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน 1นั่นคือ GLIMMIX รายงานคอลัมน์ที่มีอัตราส่วนβ 1 / √ttt11^1 (ซึ่งผมจะเรียกZในส่วนที่เหลือของคำถามนี้) แต่ยังมีรายงานว่า "องศาความเป็นอิสระ" คอลัมน์เช่นเดียวกับP-value ขึ้นอยู่กับสมมติฐานทีจัดจำหน่ายสำหรับZกับองศาอิสระ ขึ้นอยู่กับการเบี่ยงเบนที่เหลือ - นั่นคือองศาอิสระ = จำนวนการสังเกตทั้งหมดลบด้วยจำนวนพารามิเตอร์ ที่ด้านล่างของคำถามนี้ฉันให้รหัสและผลลัพธ์ใน R และ SAS สำหรับการสาธิตและการเปรียบเทียบ 2β^1/var(β^1)−−−−−−√β^1/var(β^1)\hat{\beta}_1/\sqrt{\text{var}(\hat{\beta}_1)}zzzppptttzzz22^2 สิ่งนี้ทำให้ฉันสับสนเนื่องจากฉันคิดว่าสำหรับโมเดลเชิงเส้นแบบทั่วไปเช่นการถดถอยโลจิสติกไม่มีทฤษฎีทางสถิติที่จะสนับสนุนการใช้ -distribution ในกรณีนี้ แต่ฉันคิดว่าสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับกรณีนี้คือttt คือ "ปกติ" กระจายโดยปกติ;zzz การประมาณนี้อาจไม่ดีสำหรับตัวอย่างขนาดเล็ก อย่างไรก็ตามมันไม่สามารถสันนิษฐานได้ว่ามีการแจกแจงแบบtเราสามารถสมมติในกรณีของการถดถอยปกติzzzttt zzzttttttttt zzzttt ttt โดยทั่วไปมีการสนับสนุนจริง ๆ สำหรับสิ่งที่ GLIMMIX กำลังทำที่นี่นอกเหนือจากสัญชาตญาณที่อาจสมเหตุสมผลโดยทั่วไปหรือไม่ รหัส R: summary(glm(y …

12 r  logistic  mathematical-statistics  sas  degrees-of-freedom 

ฉันคุ้นเคยกับสัญกรณ์เช่น: β0j=β0+ujyij=β0+βixij+uj+eij=β0j+βixij+eijyij=β0+βixij+uj+eij=β0j+βixij+eij\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_i x_{ij} + u_j + e_{ij}\\ &= \beta_{0j} + \beta_i x_{ij} + e_{ij} \end{align} โดยที่และβ0j=β0+ujβ0j=β0+uj\beta_{0j}=\beta_{0}+u_j yij=β0+β1xij+u0j+u1jxij+eij=β0j+β1jxij+eijyij=β0+β1xij+u0j+u1jxij+eij=β0j+β1jxij+eij\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j} + u_{1j} x_{ij} + e_{ij} \\ &= \beta_{0j} + \beta_{1j} x_{ij} + e_{ij} \end{align} โดยที่และ β 1 j = β …

12 mixed-model  mathematical-statistics 

สำหรับชุดข้อมูลที่กำหนดการแพร่กระจายมักจะคำนวณเช่นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหรือเป็น IQR (ช่วงควอไทล์ระหว่าง) ในขณะที่ a standard deviationอยู่ในเกณฑ์ปกติ (คะแนน z, ฯลฯ ) และสามารถนำมาใช้เพื่อเปรียบเทียบการแพร่กระจายจากประชากรสองกลุ่มที่แตกต่างกันนี่ไม่ใช่กรณีที่มี IQR เนื่องจากตัวอย่างจากประชากรสองคนที่แตกต่างกันอาจมีค่าในระดับที่แตกต่างกันสองระดับ e.g. Pop A: 100, 67, 89, 75, 120, ... Pop B: 19, 22, 43, 8, 12, ... สิ่งที่ฉันตามมาคือการวัดที่แข็งแกร่ง (ไม่ใช่พารามิเตอร์) ที่ฉันสามารถใช้เพื่อเปรียบเทียบการเปลี่ยนแปลงภายในประชากรที่แตกต่างกัน ทางเลือกที่ 1: IQR / Median- นี้จะเป็นโดยการเปรียบเทียบกับค่าสัมประสิทธิ์ของการเปลี่ยนแปลงคือการหมู่}σμσμ \frac{\sigma}{\mu} ตัวเลือก 2: Range / IQR คำถาม: มาตรการใดที่มีความหมายมากขึ้นสำหรับการเปรียบเทียบความแปรปรวนระหว่างประชากร? และถ้าเป็นตัวเลือกที่ 1 …

12 nonparametric  mathematical-statistics  standard-deviation  descriptive-statistics  normalization 

คุณช่วยอธิบายเกี่ยวกับการขุดข้อมูลและอัลกอริทึมปัญญาประดิษฐ์ให้ฉันได้ไหม พวกเขาใช้คณิตศาสตร์อะไร คุณช่วยบอกจุดเริ่มต้นในคณิตศาสตร์ให้ฉันเข้าใจอัลกอริธึมเหล่านี้ได้ไหม

12 mathematical-statistics  references  data-mining  algorithms  artificial-intelligence 

นี่ก็ถามวิทยาศาสตร์การคำนวณ ฉันกำลังพยายามคำนวณค่าสัมประสิทธิ์แบบเบย์ของการหาค่าสัมประสิทธิ์แบบเบส์โดยมี 11 ตัวอย่างข้อมูล: โดยที่คือ Gaussian ที่มีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน การแจกแจงก่อนหน้าบนเวกเตอร์คือ Gaussian ที่มีค่าเฉลี่ยและเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมแนวทแยง รายการแนวทแยงเท่ากับ{2}Yi=μ+α⋅Yi−1+ϵiYi=μ+α⋅Yi−1+ϵi Y_{i} = \mu + \alpha\cdot{}Y_{i-1} + \epsilon_{i} ϵiϵi\epsilon_{i}σ2eσe2\sigma_{e}^{2}(μ,α)t(μ,α)t(\mu, \alpha)^{t}(0,0)(0,0)(0,0)σ2pσp2\sigma_{p}^{2} จากสูตรการตอบโต้อัตโนมัติหมายความว่าการแจกแจงของจุดข้อมูล ( ) เป็นเรื่องปกติที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน2} ดังนั้นความหนาแน่นสำหรับทุกจุดข้อมูลร่วมกัน (สมมติว่าเป็นอิสระซึ่งเป็นสิ่งที่ดีสำหรับโปรแกรมที่ฉันเขียน) จะเป็น:YiYiY_{i}μ+α⋅Yi−1μ+α⋅Yi−1\mu + \alpha\cdot{}Y_{i-1}σ2eσe2\sigma_{e}^{2}(Y)(Y)(Y)p(Y|(μ,α)t)=∏i=21112πσ2e−−−−√exp−(Yi−μ−α⋅Yi−1)22σ2e.p(Y|(μ,α)t)=∏i=21112πσe2exp⁡−(Yi−μ−α⋅Yi−1)22σe2. p(Y \quad | (\mu, \alpha)^{t}) = \prod_{i=2}^{11}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_{e}^{2}}}\exp{\frac{-(Y_{i} - \mu - \alpha\cdot{}Y_{i-1})^{2}}{2\sigma_{e}^{2}}}. ตามทฤษฎีบทของเบย์เราสามารถนำผลคูณของความหนาแน่นข้างต้นมาใช้กับความหนาแน่นก่อนหน้านี้จากนั้นเราก็แค่ต้องการค่าคงที่ปกติ ลางสังหรณ์ของฉันอยู่ที่นี้ควรจะทำงานออกมาเป็นเสียนกระจายเพื่อให้เราสามารถกังวลเกี่ยวกับค่าคงที่ normalizing ในตอนท้ายมากกว่าอย่างชัดเจนกับการคำนวณปริพันธ์กว่าและ\μμ\muαα\alpha นี่คือส่วนที่ฉันมีปัญหากับ ฉันจะคำนวณการคูณของความหนาแน่นก่อนหน้า (ซึ่งคือหลายตัวแปร) และผลิตภัณฑ์นี้ของความหนาแน่นของข้อมูลที่ไม่เปลี่ยนแปลงได้อย่างไร …

12 bayesian  mathematical-statistics  posterior