คำถามติดแท็ก maximum-likelihood

คำถามจริงของฉันอยู่ในสองย่อหน้าสุดท้าย แต่จะกระตุ้นพวกเขา: ถ้าฉันพยายามที่จะประมาณค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มที่ตามหลังการแจกแจงปกติที่มีความแปรปรวนที่รู้จักกันฉันได้อ่านว่าการใส่เครื่องแบบก่อนหน้าค่าเฉลี่ยจะส่งผลให้มีการแจกแจงด้านหลังซึ่งเป็นสัดส่วนกับฟังก์ชันความน่าจะเป็น ในสถานการณ์เหล่านี้ช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือแบบเบย์คาบเกี่ยวกันอย่างสมบูรณ์แบบกับช่วงความเชื่อมั่นที่พบบ่อยและค่าสูงสุดหลังเบย์ที่ประมาณการหลังเท่ากับความเป็นไปได้สูงสุดที่เกิดขึ้นบ่อยครั้ง ในการตั้งค่าการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย Y= X β+ ϵ ,ϵ ∼ N( 0 , σ2)Y=Xβ+ϵ,ϵ∼N(0,σ2)Y = \textbf{X}\beta+\epsilon, \hspace{1cm} \epsilon\sim N(0,\sigma^2) ใส่เครื่องแบบไว้ก่อนหน้าและ inverse-gamma ก่อนหน้าด้วยค่าพารามิเตอร์เล็ก ๆ ส่งผลให้หลังที่จะคล้ายกันมากกับบ่อยครั้งและช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือสำหรับการกระจายหลังของที่จะคล้ายกับช่วงความเชื่อมั่นมากที่สุดโดยประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุด พวกเขาจะไม่เหมือนเดิมเพราะก่อนหน้านี้มีอิทธิพลเล็กน้อยและหากการประเมินหลังถูกดำเนินการผ่านการจำลอง MCMC ที่จะแนะนำแหล่งที่มาของความคลาดเคลื่อนอื่น แต่ช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือของ Bayesian รอบσ 2 β M P β M L E β | X σ 2 β M Pββ\betaσ2σ2\sigma^2β^MA Pβ^MAP\hat\beta^{MAP}β^ML Eβ^MLE\hat\beta^{MLE}β| Xβ|X\beta|Xσ2σ2\sigma^2β^MA …

11 bayesian  maximum-likelihood  posterior  frequentist 

สมมติว่าเรามีตัวอย่างแบบสุ่มจากการแจกแจงปกติแบบ bivariate ซึ่งมีค่าศูนย์เป็นค่ากลางและค่าความแปรปรวนดังนั้นพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักเพียงค่าเดียวคือความแปรปรวนร่วม MLE ของความแปรปรวนร่วมคืออะไร? ฉันรู้ว่ามันควรจะเป็น1n∑nj=1xjyj1n∑j=1nxjyj\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n}x_j y_jแต่เราจะรู้ได้อย่างไร

11 normal-distribution  mathematical-statistics  maximum-likelihood  bivariate 

พารามิเตอร์ formulaic มีการประมาณการสำหรับ skew-normal หรือไม่ ถ้าคุณทำได้มาจาก MLE หรือ Mom ก็ยอดเยี่ยมเช่นกัน ขอบคุณ แก้ไข ฉันมีชุดข้อมูลที่ฉันสามารถบอกได้ด้วยตาเปล่าโดยการแปลงจะเอียงไปทางซ้ายเล็กน้อย ฉันต้องการประเมินค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนจากนั้นทำการทดสอบความเหมาะสม (ซึ่งเป็นสาเหตุที่ฉันต้องการค่าประมาณพารามิเตอร์) ฉันคิดถูกหรือไม่ว่าฉันแค่ต้องเดาความเบ้ (อัลฟา) (อาจจะทำแบบทดสอบหลายอย่างและแบบทดสอบที่ดีที่สุด?) ฉันต้องการ MLE ที่ได้มาเพื่อความเข้าใจของฉันเอง - ต้องการ MLE มากกว่า MoM เนื่องจากฉันคุ้นเคยกับมันมากกว่า ฉันไม่แน่ใจว่ามีการเอียงทั่วไปมากกว่าหนึ่งแบบปกติ - ฉันแค่หมายถึงค่าเฉลี่ยที่เอียงเล็กน้อย! หากเป็นไปได้การประมาณค่าพารามิเตอร์พลังงานแบบเลขชี้กำลังของเบ้จะเป็นประโยชน์เช่นกัน!

11 normal-distribution  maximum-likelihood  skewness  skew-normal 

ฉันพยายามวางแผนแผนการเรียนรู้เพื่อการเรียนรู้ MLE ในการทำเช่นนี้ฉันกำลังพยายามหาแคลคูลัสระดับต่ำสุดที่จำเป็นต้องเข้าใจ MLE มันเพียงพอที่จะเข้าใจพื้นฐานของแคลคูลัส (เช่นการค้นหาฟังก์ชันขั้นต่ำและสูงสุด) เพื่อที่จะเข้าใจ MLE หรือไม่?

11 estimation  mathematical-statistics  maximum-likelihood 

พิจารณาโมเดลAR ( ) (สมมติว่าค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์สำหรับความเรียบง่าย):ppp xt=φ1xt−1+…+φpxt−p+εtxt=φ1xt−1+…+φpxt−p+εt x_t = \varphi_1 x_{t-1} + \dotsc + \varphi_p x_{t-p} + \varepsilon_t OLS ประมาณการ (เทียบเท่ากับเงื่อนไขประมาณการโอกาสสูงสุด) สำหรับเป็นที่รู้จักกันจะลำเอียงตามที่ระบุไว้ในหัวข้อที่ผ่านมาφ:=(φ1,…,φp)φ:=(φ1,…,φp)\mathbf{\varphi} := (\varphi_1,\dotsc,\varphi_p) (อยากรู้อยากเห็นฉันไม่สามารถหาอคติที่กล่าวถึงในแฮมิลตัน"การวิเคราะห์อนุกรมเวลา"หรือในตำราอนุกรมเวลาอื่น ๆ ไม่กี่อย่างไรก็ตามมันสามารถพบได้ในบันทึกการบรรยายต่างๆและบทความทางวิชาการเช่นนี้ ) ผมไม่สามารถที่จะหาไม่ว่าจะเป็นที่แน่นอนประมาณการความน่าจะเป็นสูงสุดของ AR ( ) จะลำเอียงหรือไม่ ดังนั้นคำถามแรกของฉันppp คำถามที่ 1:เป็นที่แน่นอนประมาณการความน่าจะเป็นสูงสุดของ AR ( ) รูปแบบของพารามิเตอร์อัตลำเอียง? (ให้เราสมมติว่ากระบวนการ AR ( ) เป็นแบบนิ่งมิฉะนั้นตัวประมาณจะไม่สอดคล้องกันเนื่องจากมันถูก จำกัด ในภูมิภาคที่อยู่นิ่ง; ดูเช่น"การวิเคราะห์อนุกรมเวลา"แฮมิลตัน, หน้า 123)pppφ1,…,φpφ1,…,φp\varphi_1,\dotsc,\varphi_pppp นอกจากนี้ คำถามที่ …

11 time-series  maximum-likelihood  autoregressive  unbiased-estimator 

คำถามดังต่อไปนี้: ตัวอย่างแบบสุ่มของค่า n ถูกรวบรวมจากการแจกแจงแบบทวินามลบด้วยพารามิเตอร์ k = 3 ค้นหาตัวประมาณความน่าจะเป็นสูงสุดของพารามิเตอร์π ค้นหาสูตร asymptotic สำหรับข้อผิดพลาดมาตรฐานของตัวประมาณค่านี้ อธิบายว่าเหตุใดการแจกแจงทวินามลบจะประมาณปกติถ้าพารามิเตอร์ k ใหญ่พอ พารามิเตอร์ของการประมาณปกตินี้มีอะไรบ้าง การทำงานของฉันมีดังต่อไปนี้: 1. ฉันรู้สึกว่านี่เป็นสิ่งที่ต้องการ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าฉันถูกต้องหรือไม่หรือถ้าฉันสามารถรับข้อมูลนี้เพิ่มเติมได้ p(x)=(x−1k−1)πk(1−π)x−kL(π)=Πnip(xn|π)ℓ(π)=Σniln(p(xn|π))ℓ‘(π)=Σnikπ−(x−k)(1−π)p(x)=(x−1k−1)πk(1−π)x−kL(π)=Πinp(xn|π)ℓ(π)=Σinln⁡(p(xn|π))ℓ‘(π)=Σinkπ−(x−k)(1−π)p(x) = {x-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x-k}\\ L(\pi) = \Pi_i^n p(x_n|\pi)\\ \ell(\pi) = \Sigma_i^n\ln(p(x_n|\pi))\\ \ell`(\pi) = \Sigma_i^n\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{(x-k)}{(1-\pi)} ฉันคิดว่าต่อไปนี้เป็นสิ่งที่ขอ ในส่วนสุดท้ายฉันรู้สึกว่าฉันต้องการแทนที่π^π^\hat{\pi}ด้วยkxkx\dfrac{k}{x} ℓ‘‘(π^)=−kπ^2+x(1−π^)2se(π^)=−1ℓ‘‘(π^)−−−−−−−√se(π^)=π^2k−(1−π^)2x−−−−−−−−−−−−√ℓ‘‘(π^)=−kπ^2+x(1−π^)2se(π^)=−1ℓ‘‘(π^)se(π^)=π^2k−(1−π^)2x\ell``(\hat{\pi}) = -\dfrac{k}{\hat{\pi}^2} + \dfrac{x}{(1-\hat{\pi})^2}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{-\dfrac{1}{\ell``(\hat{\pi})}}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{\dfrac{\hat{\pi}^2}{k} - \dfrac{(1-\hat{\pi})^2}{x}}\\ ฉันไม่แน่ใจจริงๆว่าจะพิสูจน์ได้อย่างไรและยังคงค้นคว้าอยู่ …

11 self-study  maximum-likelihood  negative-binomial 

ชื่อกล่าวมันทั้งหมด ฉันเข้าใจว่ากำลังสองน้อยที่สุดและโอกาสสูงสุดจะให้ผลเหมือนกันสำหรับสัมประสิทธิ์การถดถอยหากข้อผิดพลาดของโมเดลกระจายตามปกติ แต่จะเกิดอะไรขึ้นหากข้อผิดพลาดไม่ได้รับการแจกจ่ายตามปกติ ทำไมทั้งสองวิธีจึงไม่เท่ากันอีกต่อไป?

10 regression  normal-distribution  maximum-likelihood  least-squares  error 

สมมติว่ามี pdf(X,Y)(X,Y)(X,Y) fθ(x,y)=e−(x/θ+θy)1x>0,y>0,θ>0fθ(x,y)=e−(x/θ+θy)1x>0,y>0,θ>0f_{\theta}(x,y)=e^{-(x/\theta+\theta y)}\mathbf1_{x>0,y>0}\quad,\,\theta>0 ความหนาแน่นของตัวอย่างดึงมาจากประชากรนี้จึงเป็น(X,Y)=(Xi,Yi)1≤i≤n(X,Y)=(Xi,Yi)1≤i≤n(\mathbf X,\mathbf Y)=(X_i,Y_i)_{1\le i\le n} gθ(x,y)=∏i=1nfθ(xi,yi)=exp[−∑i=1n(xiθ+θyi)]1x1,…,xn,y1,…,yn>0=exp[−nx¯θ−θny¯]1x(1),y(1)>0,θ>0gθ(x,y)=∏i=1nfθ(xi,yi)=exp⁡[−∑i=1n(xiθ+θyi)]1x1,…,xn,y1,…,yn>0=exp⁡[−nx¯θ−θny¯]1x(1),y(1)>0,θ>0\begin{align} g_{\theta}(\mathbf x,\mathbf y)&=\prod_{i=1}^n f_{\theta}(x_i,y_i) \\&=\exp\left[{-\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i}{\theta}+\theta y_i\right)}\right]\mathbf1_{x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n>0} \\&=\exp\left[-\frac{n\bar x}{\theta}-\theta n\bar y\right]\mathbf1_{x_{(1)},y_{(1)}>0}\quad,\,\theta>0 \end{align} ตัวประมาณโอกาสสูงสุดของสามารถได้รับเป็นθθ\theta θ^(X,Y)=X¯¯¯¯Y¯¯¯¯−−−√θ^(X,Y)=X¯Y¯\hat\theta(\mathbf X,\mathbf Y)=\sqrt\frac{\overline X}{\overline Y} ฉันต้องการทราบว่าการ จำกัด การกระจายของ MLE นี้เป็นปกติหรือไม่ เป็นที่ชัดเจนว่าเป็นสถิติที่เพียงพอสำหรับตามกลุ่มตัวอย่างคือY)θθ\theta(X¯¯¯¯,Y¯¯¯¯)(X¯,Y¯)(\overline X,\overline Y) ตอนนี้ฉันจะได้กล่าวว่า MLE เป็นอาการปกติโดยไม่ต้องสงสัยถ้ามันเป็นสมาชิกของตระกูลเลขชี้กำลังหนึ่งพารามิเตอร์แบบปกติ ฉันไม่คิดว่าเป็นเช่นนั้นส่วนหนึ่งเป็นเพราะเรามีสถิติเพียงพอสองมิติสำหรับพารามิเตอร์หนึ่งมิติ (เช่นในการแจกแจง )N(θ,θ2)N(θ,θ2)N(\theta,\theta^2) การใช้ความจริงที่ว่าและเป็นตัวแปรเอกซ์โปเนนเชียลที่เป็นอิสระฉันสามารถแสดงให้เห็นว่าการกระจายที่แน่นอนของเป็นเช่นนั้นXXXYYYθθ^θ^\hat\theta θ^θ=dF−−√, where F∼F2n,2nθ^θ=dF, where F∼F2n,2n\frac{\hat\theta}{\theta}\stackrel{d}{=} \sqrt F\quad,\text{ where …

10 maximum-likelihood  convergence  exponential  asymptotics  central-limit-theorem 

ฉันกำลังอ่านหนังสือเกี่ยวกับ sabermetrics โดยเฉพาะ Mathletics ของ Wayne Winston และในบทแรกเขาแนะนำปริมาณที่สามารถใช้ในการทำนายอัตราการชนะของทีม: และดูเหมือนว่าเขาจะบอกใบ้ว่าครึ่งทางของฤดูกาลมันสามารถใช้ทำนายอัตราการชนะได้ดีกว่า อัตราการชนะในครึ่งแรกของฤดูกาล เขาวางสูตรไว้ที่ ที่คืออัตราส่วนของคะแนนที่ทำแต้มได้ จากนั้นเขาก็พบว่าเลขชี้กำลังเหมาะสมที่สุดในการทำนาย% ของเกมที่ชนะสำหรับ 3 กีฬาและหา Points Scored2Points Scored2+Points Against2≈% Games Won,Points Scored2Points Scored2+Points Against2≈% Games Won,\frac{\text{Points Scored}^2 }{\text{Points Scored}^2 + \text{Points Against}^2} \approx \text{% Games Won},RexpRexp+1,RexpRexp+1, \frac{R^{\text{exp}}}{R^{\text{exp}} + 1}, RRRBaseball: exp≈2,Baseball: exp≈2, \text{Baseball: exp} \approx 2 , Football: exp≈2.7,Football: …

10 maximum-likelihood  inference 

คำถามนี้มาจากปัญหาเบื้องต้นทางคณิตศาสตร์รุ่นที่ 6 ของ Robert Hogg 7.4.9 ที่หน้า 388 Let X1,...,XnX1,...,XnX_1,...,X_nจะ IID กับไฟล์ PDF f(x;θ)=1/3θ,−θ<x<2θ,f(x;θ)=1/3θ,−θ<x<2θ,f(x;\theta)=1/3\theta,-\theta0 0 (ก) การค้นหา MLE θของθθ^θ^\hat{\theta}θθ\theta (ข) คือθสถิติเพียงพอสำหรับθ ? ทำไมθ^θ^\hat{\theta}θθ\theta (ค) คือ(n+1)θ^/n(n+1)θ^/n(n+1)\hat{\theta}/n MVUE เอกลักษณ์ของθθ\theta ? ทำไม ฉันคิดว่าฉันสามารถแก้ไข (a) และ (b) ได้ แต่ฉันสับสนโดย (c) สำหรับ): Let Y1<Y2<...YnY1<Y2<...YnY_10, เราจะเห็นอนุพันธ์นี้เป็นลบ, ดังนั้นฟังก์ชันความน่าจะเป็นจึงลดลงL(θ;x)L(θ;x)L(\theta;x) จากและปีn < 2 θ ) , ⇒ ( θ …

10 self-study  maximum-likelihood  order-statistics  sufficient-statistics  umvue 

ดังนั้นฉันจึงมีรูปแบบไบนารี่โดยที่เป็นตัวแปรที่ไม่ซ่อนเร้นและข้อสังเกต กำหนดและจึงเป็นเครื่องมือของฉัน ดังนั้นในระยะสั้นรูปแบบคือ เนื่องจากข้อกำหนดข้อผิดพลาดไม่ขึ้นกับ แต่ ฉันใช้ประโยชน์จากรุ่น IV-probity∗1y1∗y_1^*y1∈{0,1}y1∈{0,1}y_1 \in \{0,1\}y2y2y_2y1y1y_1z2z2z_2y∗1y2y1===δ1z1+α1y2+u1δ21z1+δ22z2+v2=zδ+v21[y∗>0]y1∗=δ1z1+α1y2+u1y2=δ21z1+δ22z2+v2=zδ+v2y1=1[y∗>0]\begin{eqnarray} y_1^*&=& \delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + u_1 \\ y_2 &=& \delta_{21} z_1 + \delta_{22}z_2 + v_2 = \textbf{z}\delta + v_2 \\ y_1 &=& \text{1}[y^*>0] \end{eqnarray}(u1v2)∼N(0,[1ηητ2]).(u1v2)∼N(0,[1ηητ2]).\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \sim \mathcal{N} \left(\textbf{0} \; , \begin{bmatrix} 1 &\eta \\ \eta …

10 maximum-likelihood  econometrics  probit 

ฉันติดอยู่กับวิธีการแก้ไขปัญหานี้ ดังนั้นเรามีสองลำดับของตัวแปรสุ่มและY ฉันสำหรับฉัน= 1 , . . , n . ตอนนี้XและYมีการกระจายชี้แจงอิสระที่มีพารามิเตอร์λและμ แต่แทนที่จะสังเกตXและY , เราสังเกตแทนZและWXผมXiX_iYผมYiY_iฉัน= 1 , . . , ni=1,...,ni=1,...,nXXXYYYλλ\lambdaμμ\muXXXYYYZZZWWW และ W = 1ถ้า Z ฉัน = X ฉันและ 0 ถ้า Z ฉัน = Yฉัน ฉันต้องไปหารูปแบบปิดสำหรับประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดของ λและ μบนพื้นฐานของ ZและW นอกจากนี้เราต้องแสดงให้เห็นว่าสิ่งเหล่านี้เป็น maxima ระดับโลกZ=min(Xi,Yi)Z=min(Xi,Yi)Z=\min(X_i,Y_i)W=1W=1W=1Zi=XiZi=XiZ_i=X_iZi=YiZi=YiZ_i=Y_iλλ\lambdaμμ\muZZZWWW ตอนนี้ฉันรู้ว่าอย่างน้อยสอง exponentials อิสระเป็นตัวเองชี้แจงกับอัตราเท่ากับผลรวมของอัตราเพื่อให้เรารู้ว่าคือการชี้แจงกับพารามิเตอร์λ + μ ดังนั้นประมาณการโอกาสสูงสุดของเราคือ: λ + …

10 self-study  maximum-likelihood  exponential  minimum 

ฉันเข้าใจว่าถ้าฉันมีสองรุ่น A และ B และ A ซ้อนกันใน B ดังนั้นจากข้อมูลบางอย่างฉันสามารถใส่พารามิเตอร์ของ A และ B โดยใช้ MLE และใช้การทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นบันทึกทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งการกระจายของการทดสอบควรจะกับองศาอิสระที่คือความแตกต่างในจำนวนของพารามิเตอร์ที่และมีχ2χ2\chi^2nnnnnnAAABBB อย่างไรก็ตามจะเกิดอะไรขึ้นถ้าและมีจำนวนพารามิเตอร์เท่ากัน แต่โมเดลไม่ซ้อนกัน? นั่นคือพวกเขาเป็นรุ่นที่แตกต่างกันเพียง มีวิธีใดที่จะใช้การทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นหรือใครจะทำอย่างอื่นได้บ้างAAABBB

10 maximum-likelihood  model-selection  likelihood-ratio 

ฉันสนใจในการอ้างอิงที่ดีสำหรับผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติเชิงเส้นกำกับของตัวประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด พิจารณารูปแบบที่ฉn ( x | θ )เป็นnหนาแน่นมิติและθ nเป็น MLE ตามกลุ่มตัวอย่างX 1 , ... , X nจากf n ( ⋅ ∣ θ{fn(⋅∣θ):θ∈Θ,n∈N}{fn(⋅∣θ):θ∈Θ,n∈N}\{f_n(\cdot \mid \theta): \theta \in \Theta, n \in \mathbb N\}fn(x∣θ)fn(x∣θ)f_n(\mathbf x \mid \theta)nnnθ^nθ^n\hat \theta_nX1,…,XnX1,…,XnX_1, \ldots, X_nfn(⋅∣θ0)fn(⋅∣θ0)f_n(\cdot \mid \theta_0) where θ0θ0\theta_0 is the "true" value of θθ\theta. There are two irregularities …

10 maximum-likelihood  references 

ฉันกำลังทำงานกับชุดข้อมูล หลังจากใช้เทคนิคการระบุตัวแบบบางอย่างฉันก็ออกมาพร้อมกับแบบจำลอง ARIMA (0,2,1) ผมใช้detectIOฟังก์ชั่นในแพคเกจTSAในการวิจัยที่จะตรวจพบนวัตกรรมขอบเขต (IO) ที่สังเกต 48th ของชุดข้อมูลเดิมของฉัน ฉันจะรวมค่าผิดปกตินี้ไว้ในแบบจำลองของฉันเพื่อที่ฉันจะสามารถใช้เพื่อวัตถุประสงค์ในการพยากรณ์ได้อย่างไร ฉันไม่ต้องการใช้แบบจำลอง ARIMAX เนื่องจากฉันอาจไม่สามารถคาดการณ์ได้จากสิ่งนั้นใน R มีวิธีอื่นที่ฉันสามารถทำได้หรือไม่ นี่คือค่านิยมของฉันตามลำดับ: VALUE <- scan() 4.6 4.5 4.4 4.5 4.4 4.6 4.7 4.6 4.7 4.7 4.7 5.0 5.0 4.9 5.1 5.0 5.4 5.6 5.8 6.1 6.1 6.5 6.8 7.3 7.8 8.3 8.7 9.0 9.4 9.5 9.5 …

10 r  time-series  arima  outliers  hypergeometric  fishers-exact  r  time-series  intraclass-correlation  r  logistic  glmm  clogit  mixed-model  spss  repeated-measures  ancova  machine-learning  python  scikit-learn  distributions  data-transformation  stochastic-processes  web  standard-deviation  r  machine-learning  spatial  similarities  spatio-temporal  binomial  sparse  poisson-process  r  regression  nonparametric  r  regression  logistic  simulation  power-analysis  r  svm  random-forest  anova  repeated-measures  manova  regression  statistical-significance  cross-validation  group-differences  model-comparison  r  spatial  model-evaluation  parallel-computing  generalized-least-squares  r  stata  fitting  mixture  hypothesis-testing  categorical-data  hypothesis-testing  anova  statistical-significance  repeated-measures  likert  wilcoxon-mann-whitney  boxplot  statistical-significance  confidence-interval  forecasting  prediction-interval  regression  categorical-data  stata  least-squares  experiment-design  skewness  reliability  cronbachs-alpha  r  regression  splines  maximum-likelihood  modeling  likelihood-ratio  profile-likelihood  nested-models