2
ความเบ้ของลอการิทึมของตัวแปรสุ่มแกมม่า
พิจารณาแกมมาตัวแปรสุ่ม X∼Γ(α,θ)X∼Γ(α,θ)X\sim\Gamma(\alpha, \theta) ) มีสูตรเรียบร้อยสำหรับค่าเฉลี่ยความแปรปรวนและความเบ้: E[X]Var[X]Skewness[X]=αθ=αθ2=1/α⋅E[X]2=2/α−−√E[X]=αθVar[X]=αθ2=1/α⋅E[X]2Skewness[X]=2/α\begin{align} \mathbb E[X]&=\alpha\theta\\ \operatorname{Var}[X]&=\alpha\theta^2=1/\alpha\cdot\mathbb E[X]^2\\ \operatorname{Skewness}[X]&=2/\sqrt{\alpha} \end{align} พิจารณาในขณะนี้เข้าสู่ระบบเปลี่ยนตัวแปรสุ่มY=log(X)Y=log(X)Y=\log(X) ) Wikipedia ให้สูตรสำหรับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน: E[Y]Var[Y]=ψ(α)+log(θ)=ψ1(α)E[Y]=ψ(α)+log(θ)Var[Y]=ψ1(α)\begin{align} \mathbb E[Y]&=\psi(\alpha)+\log(\theta)\\ \operatorname{Var}[Y]&=\psi_1(\alpha)\\ \end{align} ผ่านฟังก์ชัน digamma และ trigamma ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองของลอการิทึมของฟังก์ชันแกมมา สูตรสำหรับความเบ้คืออะไร? ฟังก์ชัน tetragamma จะปรากฏขึ้นหรือไม่ (สิ่งที่ทำให้ฉันสงสัยเกี่ยวกับสิ่งนี้คือตัวเลือกระหว่างการแจกแจงแบบปกติและแกมม่าดูการแจกแจงแบบแกมม่าและแบบลอบันปกติในสิ่งอื่น ๆ พวกเขาต่างกันในคุณสมบัติความเบ้ของพวกเขาโดยเฉพาะความเบ้ของบันทึกการ ความเบ้ของบันทึกของแกมม่าเป็นลบ แต่เป็นลบอย่างไร .. )