ประโยคของทฤษฎีจำนวน (สำหรับวัตถุประสงค์ของเรา) เป็นลำดับของสัญลักษณ์ต่อไปนี้:

• 0และ'(ตัวตายตัวแทน) - ตัวตายตัวแทนหมายถึง+1ดังนั้น0'''' = 0 + 1 + 1 + 1 + 1 = 4
• +(เพิ่มเติม) และ*(การคูณ)
• = (เท่ากับ)
• (และ)(วงเล็บ)
• ตัวดำเนินการเชิงตรรกะnand( a nand bคือnot (a and b))
• forall (ปริมาณสากล)

• v0, v1, v2ฯลฯ (ตัวแปร)

  นี่คือตัวอย่างของประโยค:

forall v1 (forall v2 (forall v3 (not (v1*v1*v1 + v2*v2*v2 = v3*v3*v3))))

นี่not xคือชวเลขx nand x- ประโยคที่เกิดขึ้นจริงจะใช้เพราะ(v1*v1*v1 + v2*v2*v2 = v3*v3*v3) nand (v1*v1*v1 + v2*v2*v2 = v3*v3*v3)x nand x = not (x and x) = not x

นี่ระบุว่าสำหรับการรวมกันของสามจำนวนธรรมชาติทั้งหมดv1, v2และv3มันไม่ใช่กรณีที่ v1 ³ + v2 ³ = v3 ³ (ซึ่งจะเป็นจริงเพราะทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มายกเว้นความจริงที่ว่ามันจะได้รับ 0 ^ 3 + 0 ^ 3 = 0 ^ 3)

น่าเสียดายที่Gödelพิสูจน์แล้วว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินว่าประโยคในทฤษฎีจำนวนนั้นเป็นจริงหรือไม่

มันคือไปได้ถ้าเรา จำกัด จำนวนของจำนวนธรรมชาติเป็นเซต จำกัด

ดังนั้นความท้าทายนี้คือการกำหนดหรือไม่เป็นประโยคของทฤษฎีจำนวนเป็นความจริงเมื่อนำมาโมดูโล สำหรับบางจำนวนเต็มบวกn nตัวอย่างเช่นประโยค

forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0)

(ข้อความนั้นสำหรับตัวเลขทั้งหมด x, x ³ = x)

ไม่เป็นความจริงสำหรับเลขคณิตทั่วไป (เช่น 2 ³ = 8 ≠ 2) แต่เป็นจริงเมื่อถ่ายโมดูโล 3:

0 * 0 * 0 ≡ 0 (mod 3)
1 * 1 * 1 ≡ 1 (mod 3)
2 * 2 * 2 ≡ 8 ≡ 2 (mod 3)

รูปแบบอินพุตและเอาต์พุต

อินพุตเป็นประโยคและจำนวนเต็มบวกnในรูปแบบ "สมเหตุสมผล" นี่คือตัวอย่างของรูปแบบที่สมเหตุสมผลสำหรับประโยคforall v0 (v0 * v0 * v0 = v0)ในทฤษฎีจำนวนโมดูโล 3:

("forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0)", 3)
"3:forall v0 (((v0 * v0) * v0) = v0)"
"(forall v0)(((v0 * v0) * v0) = v0) mod 3" 
[3, "forall", "v0", "(", "(", "(", "v0", "*", "v0", ")", "*", "v0", ")", "=", "v0", ")"]
(3, [8, 9, 5, 5, 5, 9, 3, 9, 6, 3, 9, 6, 4, 9, 6]) (the sentence above, but with each symbol replaced with a unique number)
"f v0 = * * v0 v0 v0 v0"
[3, ["forall", "v0", ["=", ["*", "v0", ["*", "v0", "v0"]], "v0"]]]
"3.v0((v0 * (v0 * v0)) = v0)"

อินพุตอาจมาจาก stdin อาร์กิวเมนต์บรรทัดคำสั่งไฟล์ ฯลฯ

โปรแกรมสามารถมีเอาต์พุตสองแบบที่แตกต่างกันไม่ว่าประโยคนั้นจะเป็นจริงหรือไม่เช่นมันสามารถแสดงผลออกมาyesถ้ามันเป็นจริงและnoถ้ามันไม่จริง

คุณไม่จำเป็นต้องสนับสนุนตัวแปรหนึ่งตัวที่เป็นหัวเรื่องของforallสองเช่น(forall v0 (v0 = 0)) nand (forall v0 (v0 = 0))สองครั้งเช่นคุณสามารถสันนิษฐานได้ว่าอินพุตของคุณมีไวยากรณ์ที่ถูกต้อง

กรณีทดสอบ

forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0) mod 3
true

forall v0 (v0 * v0 * v0 = v0) mod 4
false (2 * 2 * 2 = 8 ≡ 0 mod 4)

forall v0 (v0 = 0) mod 1
true (all numbers are 0 modulo 1)

0 = 0 mod 8
true

0''' = 0 mod 3
true

0''' = 0 mod 4
false

forall v0 (v0' = v0') mod 1428374
true

forall v0 (v0 = 0) nand forall v1 (v1 = 0) mod 2
true (this is False nand False, which is true)

forall v0 ((v0 = 0 nand v0 = 0) nand ((forall v1 (v0 * v1 = 0' nand v0 * v1 = 0') nand forall v2 (v0 * v2 = 0' nand v0 * v2 = 0')) nand (forall v3 (v0 * v3 = 0' nand v0 * v3 = 0') nand forall v4 (v0 * v4 = 0' nand v0 * v4 = 0')))) mod 7
true
(equivalent to "forall v0 (v0 =/= 0 implies exists v1 (v0 * v1 = 0)), which states that every number has a multiplicative inverse modulo n, which is only true if n is 1 or prime)

forall v0 ((v0 = 0 nand v0 = 0) nand ((forall v1 (v0 * v1 = 0' nand v0 * v1 = 0') nand forall v2 (v0 * v2 = 0' nand v0 * v2 = 0')) nand (forall v3 (v0 * v3 = 0' nand v0 * v3 = 0') nand forall v4 (v0 * v4 = 0' nand v0 * v4 = 0')))) mod 4
false

นี่คือรหัสกอล์ฟดังนั้นพยายามทำให้โปรแกรมของคุณสั้นที่สุด!

Python 2 , 252 236 ไบต์

def g(n,s):
 if str(s)==s:return s.replace("'","+1")
 o,l,r=map(g,[n]*3,s);return['all((%s)for %s in range(%d))'%(r,l,n),'not((%s)*(%s))'%(l,r),'(%s)%%%d==(%s)%%%d'%(l,n,r,n),'(%s)%s(%s)'%(l,o,r)]['fn=+'.find(o)]
print eval(g(*input()))

ลองออนไลน์!

รับอินพุตเป็นคำนำหน้าไวยากรณ์แบบซ้อนด้วยfแทนที่จะเป็นforallและnแทนที่จะเป็นnand:

[3, ["f", "v0", ["=", ["*", "v0", ["*", "v0", "v0"]], "v0"]]]

APL (Dyalog Unicode) , 129 ไบต์^SBCS

{x y z←3↑⍵⋄7≤x:y×7<x⋄5≡x:∧/∇¨y{⍵≡⍺⍺:⍵⍺⋄x y z←3↑⍵⋄7≤x:⍵⋄6≡x:x(⍺∇y)⋄x(⍺∇⍣(5≢x)⊢y)(⍺∇z)}∘z¨⍳⍺⍺⋄y←∇y⋄6≡x:1+y⋄y(⍎x⊃'+×⍲',⊂'0=⍺⍺|-')∇z}

ลองออนไลน์!

ใช้แผนผังคำนำหน้าต้นไม้เหมือนกับในคำตอบของ ธ ​​TFeldแต่ใช้การเข้ารหัสจำนวนเต็ม การเข้ารหัสคือ

plus times nand eq forall succ zero ← 1 2 3 4 5 6 7

และตัวแปรแต่ละตัวจะถูกกำหนดหมายเลขเริ่มต้นที่ 8 การเข้ารหัสนี้แตกต่างจากที่ใช้ในเวอร์ชั่นที่ไม่ได้ปรับแต่งด้านล่างเล็กน้อย

งานเกี่ยวข้องเพียงสองอินพุต (AST และโมดูโล) แต่เขียนมันเป็นโอเปอเรเตอร์แทนฟังก์ชั่นเพื่อหลีกเลี่ยงการกล่าวถึงโมดูโลหลาย ๆ ครั้ง

ไม่พอใจกับความคิดเห็น

⍝ node types; anything ≥8 will be considered a var
plus times eq nand forall succ zero var←⍳8
⍝ AST nodes have 1~3 length, 1st being the node type
⍝ zero → zero, succ → succ arg, var → var | var value (respectively)

⍝ to (from replace) AST → transform AST so that 'from' var has the value 'to' attached
replace←{
  ⍵≡⍺⍺:⍵⍺             ⍝ variable found, attach the value
  x y z←3↑⍵
  zero≤x: ⍵           ⍝ zero or different variable: keep as is
  succ≡x: x(⍺∇y)      ⍝ succ: propagate to y
  forall≡x: x y(⍺∇z)  ⍝ forall: propagate to z
  x(⍺∇y)(⍺∇z)         ⍝ plus, times, eq, nand: propagate to both args
}
⍝ (mod eval) AST → evaluate AST with the given modulo
eval←{
  x y z←3↑⍵
  zero≡x:   0
  var≤x:    y                    ⍝ return attached value
  forall≡x: ∧/∇¨y replace∘z¨⍳⍺⍺  ⍝ check all replacements for given var
  succ≡x:   1+∇y
  plus≡x:   (∇y)+∇z
  times≡x:  (∇y)×∇z
  eq≡x:     0=⍺⍺|(∇y)-∇z         ⍝ modulo equality
  nand≡x:   (∇y)⍲∇z              ⍝ nand symbol does nand operation
}

ลองออนไลน์!