คำถามติดแท็ก iterative-method

สำหรับความรู้ของฉันมี 4 วิธีในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น (แก้ไขฉันหากมีมากขึ้น): หากเมทริกซ์ระบบเป็นเมทริกซ์จตุรัสแบบเต็มคุณสามารถใช้กฎของแครมเมอร์ คำนวณค่าผกผันหรือ pseudoinverse ของเมทริกซ์ระบบ ใช้วิธีการสลายตัวของเมทริกซ์ (การกำจัดเกาส์เซียนหรือจอร์แดนถือเป็นการสลายตัว LU) ใช้วิธีการวนซ้ำเช่นวิธีการไล่ระดับสีแบบคอนจูเกต ในความเป็นจริงคุณแทบไม่ต้องการแก้ไขสมการโดยใช้กฎของ Cramer หรือคำนวณค่า inverse หรือ pseudoinverse โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับเมทริกซ์มิติสูงดังนั้นคำถามแรกคือเมื่อต้องใช้วิธีการสลายตัวและวิธีวนซ้ำตามลำดับ ฉันเดาว่ามันขึ้นอยู่กับขนาดและคุณสมบัติของเมทริกซ์ของระบบ คำถามที่สองคือความรู้ของคุณวิธีการสลายตัวแบบใดหรือวิธีการวนซ้ำแบบใดที่เหมาะสมที่สุดสำหรับเมทริกซ์ของระบบในแง่ของความเสถียรเชิงตัวเลขและประสิทธิภาพ ยกตัวอย่างเช่นวิธีการไล่ระดับสีคอนจูเกตใช้เพื่อแก้สมการที่เมทริกซ์เป็นสมมาตรและบวกแน่นอนแม้ว่ามันจะสามารถนำไปใช้กับสมการเชิงเส้นใด ๆ โดยการแปลงเป็นข นอกจากนี้สำหรับเมทริกซ์แน่นอนที่เป็นบวกคุณสามารถใช้วิธีการสลายตัวของ Cholesky เพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหา แต่ฉันไม่รู้ว่าจะเลือกวิธี CG เมื่อใดและจะเลือกการสลายตัวของ Cholesky ได้อย่างไร ความรู้สึกของฉันคือเราควรใช้วิธี CG สำหรับเมทริกซ์ขนาดใหญ่A T A x = A T bA x = bAx=ข\mathbf{A}x=bATA x= ATขATAx=ATข\mathbf{A}^{\rm T}\mathbf{A}x=\mathbf{A}^{\rm T}b สำหรับเมทริกซ์รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเราสามารถใช้ …

31 linear-algebra  linear-solver  iterative-method 

สิ่งที่ผิดพลาดเมื่อใช้วิธี Krylov แบบ preconditoned จากKSP ( แพคเกจแก้ปัญหาเชิงเส้นของPETSc ) เพื่อแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นแบบกระจัดกระจายเช่นที่ได้จากการทำ discretizing และ linearizing สมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน? ฉันสามารถใช้ขั้นตอนใดในการพิจารณาว่าเกิดปัญหาอะไรขึ้นกับฉัน ฉันสามารถเปลี่ยนแปลงอะไรได้บ้างเพื่อแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นอย่างประสบความสำเร็จและมีประสิทธิภาพ

26 linear-algebra  petsc  preconditioning  krylov-method  iterative-method 

สำหรับการแก้ปัญหาของระบบเชิงเส้นขนาดใหญ่โดยใช้วิธีวนซ้ำมันมักจะน่าสนใจที่จะแนะนำการปรับสภาพล่วงหน้าเช่นแก้แทนโดยที่ถูกใช้ที่นี่สำหรับการปรับสภาพซ้ายของระบบ . โดยทั่วไปแล้วเราควรมีและให้พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพ (มากขึ้น) หรือลดทรัพยากรการคำนวณ (เช่นที่เก็บข้อมูลหน่วยความจำ) เปรียบเทียบกับโซลูชันของระบบดั้งเดิม ( เช่นเมื่อ ) อย่างไรก็ตามเราควรใช้แนวทางใดในการเลือกผู้ตั้งเงื่อนไขล่วงหน้า ผู้ฝึกหัดทำสิ่งนี้อย่างไรสำหรับปัญหาเฉพาะของพวกเขาM - 1 ( A x = b ) M M - 1 ≈ A - 1 M = AA x = bAx=bAx=bM- 1( A x = b )M−1(Ax=b)M^{-1}(Ax=b)MMMM- 1≈- 1M−1≈A−1M^{-1}\approx A^{-1}M= AM=AM=A

19 linear-algebra  iterative-method  preconditioning 

ฉันกำลังสอนชั้นสำรวจการวิเคราะห์เชิงตัวเลขและกำลังมองหาแรงจูงใจสำหรับวิธีการ BFGS สำหรับนักเรียนที่มีพื้นฐาน / สัญชาตญาณ จำกัด ในการเพิ่มประสิทธิภาพ! ในขณะที่ฉันไม่มีเวลาพิสูจน์อย่างจริงจังว่าทุกอย่างมาบรรจบกันฉันกำลังมองหาแรงจูงใจที่สมเหตุสมผลว่าทำไมการอัปเดตของ BFGS Hessian จึงอาจปรากฏขึ้น วิธีการค้นพบของ Broyden (การเขียนของฉันอยู่ที่นี่ ) สามารถกระตุ้นได้โดยขอให้การประมาณของคุณในปัจจุบันของ Jacobian ลดความแตกต่างกับ Jacobian เก่าภายใต้ข้อ จำกัด ที่คำนึงถึงเซคแคนต์ล่าสุด: J_k (\ vec x_k- \ vec x_ {k-1}) = f (\ vec x_k) -f (\ vec x_ {k-1 }) J k ( → x k - → x …

15 optimization  iterative-method  nonlinear-programming 

ฉันสงสัยว่าเกิดอะไรขึ้นกับพหุนามพหุนาม ฉันสนใจพวกเขาเพราะพวกมันดูสวยหรูเมื่อเทียบกับมุมมองทางคณิตศาสตร์ แต่เท่าที่ฉันได้อ่านในแบบสำรวจเกี่ยวกับวิธีการของ krylov พวกเขามักจะทำงานได้แย่มาก ในคำพูดของซาดและแวนเดอร์โฮสต์ "ดอกเบี้ยในปัจจุบันเทคนิคเหล่านี้มีทั้งหมด แต่หายไป" (ที่นี่) อย่างไรก็ตามมีการใช้สำหรับการคำนวณแบบหลายคอร์และ GPU ในอดีตที่ผ่านมา ใครช่วยบอกฉันหน่อยได้หรืออธิบายให้ฉันฟังหน่อยว่าบริบทไหนที่วิธีการเหล่านี้ยังมีชีวิตอยู่และจะหาแบบสำรวจที่ดีเกี่ยวกับสถานะของงานศิลปะในปัจจุบันได้ที่ไหน

15 iterative-method  preconditioning  krylov-method 

เท่าที่ฉันทราบตัวแก้แบบหลายตัวใช้ตัวทำซ้ำแบบซ้ำซ้อนเช่น Jacobi, Gauss-Seidel และ SOR เพื่อลดความผิดพลาดที่ความถี่ต่าง ๆ สามารถใช้วิธีการ subspace ของ Krylov (เช่น gradient conjugate, GMRES และอื่น ๆ ) ได้หรือไม่? ฉันไม่คิดว่าพวกมันถูกจัดอยู่ในประเภท "สมูทเทนเนอร์" แต่พวกเขาสามารถใช้เพื่อประมาณโซลูชันกริดแบบหยาบ เราคาดหวังได้ไหมว่าการลู่เข้าหากันของสารละลายเหมือนกับวิธีมาตรฐานหลายจุด หรือมันขึ้นอยู่กับปัญหา?

15 linear-algebra  multigrid  iterative-method  krylov-method 

พื้นหลัง ฉันกำลังแก้ไขตัวแปรของสมการOrnstein-Zernikeจากทฤษฎีของเหลว abstractly ปัญหาสามารถแสดงเป็นการแก้ปัญหาจุดคงค( R ) = C ( R )ที่เป็นผู้ดำเนิน Integro-เกี่ยวกับพีชคณิตและค( R )เป็นฟังก์ชั่นการแก้ปัญหา (ฟังก์ชั่นความสัมพันธ์ OZ โดยตรง) ฉันกำลังแก้ไขโดยการทำซ้ำของ Picard ซึ่งฉันได้เตรียมโซลูชันทดลองใช้เบื้องต้นc 0 ( r )และสร้างโซลูชันทดลองใช้ใหม่โดยโครงการ c j + 1 = α (Ac(r)=c(r)Ac(r)=c(r)A c(r)=c(r)AAAc(r)c(r)c(r)c0(r)c0(r)c_0(r) ที่ αเป็นพารามิเตอร์ที่ปรับค่าได้ซึ่งควบคุมการผสมของ cและ A c ที่ใช้ในโซลูชันทดลองใช้ถัดไป สำหรับการสนทนานี้สมมติว่าค่าของ αนั้นไม่สำคัญ ฉันทำซ้ำจนกว่าซ้ำลู่ไปภายในความอดทนต้องการ ε : Δ J + 1 ≡ ∫ d …

13 iterative-method  convergence 

ตามวิกิพีเดียอัตราการบรรจบกันแสดงเป็นอัตราส่วนเฉพาะของเวกเตอร์บรรทัดฐาน ฉันพยายามที่จะเข้าใจความแตกต่างระหว่างอัตรา "เชิงเส้น" และ "กำลังสอง" ณ จุดต่าง ๆ ของเวลา (โดยทั่วไป "ตอนเริ่มต้น" ของการวนซ้ำและ "ท้าย") อาจกล่าวได้ว่า: อีk + 1ek+1e_{k+1}xk + 1xk+1x_{k+1}∥ ek∥‖ek‖\|e_k\| กับสมการกำลังสองบรรทัดฐานของข้อผิดพลาดของiteration x_ {k + 1}ล้อมรอบด้วย\ | e_k \ | ^ 2 x k + 1 ‖ e k ‖ 2อีk + 1ek+1e_{k+1}xk + 1xk+1x_{k+1}∥ ek∥2‖ek‖2\|e_k\|^2 การตีความดังกล่าวหมายถึงว่ามีจำนวนน้อย (จำนวนน้อย) วนซ้ำของอัลกอริธึมเชิงเส้นบรรจบเชิงเส้น A1 (การกำหนดค่าเริ่มต้นแบบสุ่มสันนิษฐาน) …

13 iterative-method  convergence 

สมมติว่าฉันมีปัญหาค่าขอบเขต: d2udx2+dvdx=f in Ωd2udx2+dvdx=f in Ω\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega dudx+d2vdx2=g in Ωdudx+d2vdx2=g in Ω\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega u=h in ∂Ωu=h in ∂Ωu=h \text{ in } \partial\Omega เป้าหมายของฉันคือการสลายการแก้ปัญหาของคู่นี้ให้เป็นลำดับของ PDE ที่ไม่แยกตัว ในการแยกระบบออกฉันใช้การวนซ้ำแบบจุดคงที่กับลำดับการประมาณ(uk,vk)(uk,vk)(u^k,v^k)เช่นนั้น d2ukdx2+dvk−1dx=fd2ukdx2+dvk−1dx=f\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f duk−1dx+d2vkdx2=gduk−1dx+d2vkdx2=g\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g ในทางทฤษฎีสิ่งนี้จะช่วยให้ฉันแก้สมการทั้งสองเป็น PDE ของรูปไข่อย่างหมดจด อย่างไรก็ตามฉันไม่เคยเห็นการทำซ้ำจุดคงที่มาใช้กับ PDE ในวิธีนี้ ฉันได้เห็นการวนซ้ำจุดคงที่ที่ใช้กับสมการที่แยกด้วยตัวเลข (วิธีผลต่างอันตะ …

12 pde  iterative-method 

สมมติว่าA∈Rn×nA∈Rn×nA\in\mathbb{R}^{n\times n}เป็นเมทริกซ์สมมาตรเชิงบวกแน่นอน AAAใหญ่พอที่จะแก้ปัญหาAx=bAx=bAx=bได้โดยตรง มีอัลกอริทึมซ้ำสำหรับการหาค่าลักษณะเฉพาะที่เล็กที่สุดของAAAที่ไม่เกี่ยวข้องกับการกลับAAAในแต่ละการวนซ้ำหรือไม่? นั่นคือฉันจะต้องใช้อัลกอริทึมซ้ำเช่นการไล่ระดับสีแบบคอนจูเกตเพื่อแก้Ax=bAx=bAx=bดังนั้นการใช้ซ้ำหลายครั้งA−1A−1A^{-1}ดูเหมือนว่า "วงใน" ที่มีราคาแพง ฉันต้องการไอเกนิคตัวเดียว ขอบคุณ!

11 linear-algebra  eigensystem  eigenvalues  iterative-method 

พิจารณาคอมพิวเตอร์สองเครื่องที่มีการกำหนดค่าฮาร์ดแวร์และซอฟต์แวร์ที่แตกต่างกัน เมื่อเรียกใช้รหัส Navier-Stokes ที่เหมือนกันในแต่ละแพลตฟอร์มจะใช้เวลา x และ y ในการดำเนินการซ้ำหนึ่งครั้งสำหรับคอมพิวเตอร์ 1 และ 2 ตามลำดับ ในกรณีนี้คือความแตกต่างของเวลาการวนซ้ำระหว่างคอมพิวเตอร์ 1 และคอมพิวเตอร์ 2Δ=x−yΔ=x−y\Delta = x-y สิ่งที่อาจส่งผลกระทบต่อขนาดของ ? ผู้สมัครที่ชัดเจนคือ CPU คำถามหลักของฉันคือมีปัจจัยอื่น ๆ ที่อาจส่งผลกระทบในลำดับเดียวกับความแตกต่างของฮาร์ดแวร์ระหว่าง CPU หรือไม่ΔΔ\DeltaΔΔ\Delta

11 performance  iterative-method  navier-stokes 

เมื่อพิจารณาจากระบบที่ฉันได้อ่านว่าในกรณีที่การทำซ้ำ Jacobi ถูกใช้เป็นนักแก้ปัญหาวิธีนี้จะไม่มาบรรจบกันถ้าไม่มีศูนย์ องค์ประกอบใน null พื้นที่ของ ดังนั้นวิธีหนึ่งอย่างเป็นทางการสามารถระบุได้อย่างไรว่าหากมีองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งประกอบไปด้วยพื้นที่ว่างของ , วิธี Jacobi นั้นไม่เป็นการรวมกัน? ฉันสงสัยว่าจะทำอย่างไรให้เป็นทางการทางคณิตศาสตร์ได้เนื่องจากส่วนหนึ่งของฉากตั้งฉากกับพื้นที่ว่างนั้นมาบรรจบกันA ∈ R n × n b A b Ax = B ,Ax=b,Ax=b,A ∈ Rn × nA∈Rn×nA\in\mathbb{R}^{n\times n}ขbbAAAขbbAAA ดังนั้นโดยการฉายช่องว่างว่างของจากแต่ละการวนซ้ำมันจะมาบรรจบกัน (หรือ?)AAA ......... ฉันสนใจเป็นพิเศษในกรณีของ ที่เป็นเมทริกซ์ Laplacian แบบสมมาตรที่มีช่องว่างว่างที่เวกเตอร์และมีองค์ประกอบเป็นศูนย์ใน null-space ของ ,ที่เป็นเมทริกซ์กึ่งกลาง นั่นหมายความว่าย้ำ Jacobi แต่ละคนจะมีช่องว่างของคาดการณ์ไว้เช่น. แต่ละ iterate จะอยู่กึ่งกลาง ? ฉันถามสิ่งนี้ตั้งแต่นั้นมาก็ไม่จำเป็นต้องฉายว่างของจาก Jacobi iterates (หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งถึงจุดศูนย์กลางL …

11 linear-algebra  optimization  matrix  iterative-method  linear-solver 

ในวิทยาศาสตร์การคำนวณเรามักจะพบกับระบบเชิงเส้นขนาดใหญ่ซึ่งเราจำเป็นต้องแก้ปัญหาด้วยวิธีการที่มีประสิทธิภาพบางอย่างเช่นโดยวิธีโดยตรงหรือวนซ้ำ หากเรามุ่งเน้นไปที่หลังเราจะกำหนดได้อย่างไรว่าวิธีการวนซ้ำสำหรับการแก้ระบบเชิงเส้นขนาดใหญ่นั้นได้มาบรรจบกันในทางปฏิบัติ เป็นที่ชัดเจนว่าเราสามารถทำการทดลองและวิเคราะห์ข้อผิดพลาด (เปรียบเทียบทำไมตัวแก้ปัญหาเชิงเส้นแบบวนซ้ำของฉันจึงไม่มาบรรจบกัน ) และพึ่งพาวิธีการวนซ้ำซึ่งรับประกันการบรรจบกันโดยการพิสูจน์หรือมีฐานประสบการณ์เสียง (เช่น สำหรับระบบสมมาตรและไม่สมมาตรตามลำดับ) แต่สิ่งที่สามารถทำได้เพื่อสร้างการบรรจบกันในทางปฏิบัติ? และทำอะไร

11 linear-algebra  iterative-method  convergence  krylov-method 

ฉันต้องการทราบว่านักแก้ปัญหาเชิงเส้นคลาสสิกประเภทใด (เช่น Gauss-Seidel, Jacobi, SOR) รับประกันว่าจะมาบรรจบกันสำหรับปัญหาโดยที่คือกึ่งแน่นอนที่เป็นบวกและแน่นอนA x = bAx=ขAx=bAAAb ∈ i m ( A )ข∈ผมม.(A)b \in im(A) (ประกาศเป็นแบบกึ่งแน่นอนและไม่แน่นอน)AAA

10 linear-algebra  iterative-method  convergence  linear-solver 

ใน Hartree-Fock วิธีการของฟิลด์ที่สอดคล้องกันของตัวเองในการแก้สมการชอิเล็กทรอนิกส์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาเราพยายามที่จะลดพลังงานพื้นดินของระบบอิเล็กตรอนในสนามไฟฟ้าภายนอกด้วยความเคารพต่อการหมุน orbitals,\} { χ i }E0E0E_{0}{ χผม}{χผม}\{\chi_{i}\} เราทำสิ่งนี้โดยการแก้สมการ Hartree-Fock 1- อิเล็กตรอนซ้ำ ๆ โดยที่คือสปิน / อวกาศเชิงพิกัดของอิเล็กตรอน ,คือค่าลักษณะเฉพาะของวงโคจรและคือตัวดำเนินการ Fock (ตัวดำเนินการอิเล็กตรอน 1 ตัว) ด้วยรูปแบบ (คนบวกวิ่งกว่านิวเคลียสนี่มีเป็นค่าใช้จ่ายนิวเคลียร์ในนิวเคลียสและเป็นอยู่ ระยะห่างระหว่างอิเล็กตรอนและนิวเคลียส )xฉันฉันεฉฉันฉฉัน=-1ฉ^ผมχ ( xผม) = ε ไค( xผม)ฉ^ผมχ(xผม)=εχ(xผม)\hat{f}_{i}\chi(\mathbf{x}_{i})=\varepsilon\chi(\mathbf{x}_{i})xผมxผม\mathbf{x}_{i}ผมผมiεε\varepsilonฉ^ผมฉ^ผม\hat{f}_{i} ZArฉันAฉันAV H Fฉันฉ^ผม= - 12∇2ผม- ∑A = 1MZARฉัน+ VH Fผมฉ^ผม=-12∇ผม2-ΣA=1MZARผมA+VผมHF\hat{f}_{i} = -\frac{1}{2}\nabla^{2}_{i}-\sum_{A=1}^{M}\frac{Z_{A}}{r_{iA}}+V^{\mathrm{HF}}_{i}ZAZAZ_{A}RฉันRผมAr_{iA}ผมผมiAAAVH FผมVผมHFV^{\mathrm{HF}}_{i}เป็นค่าเฉลี่ยที่อาจเกิดขึ้นจากอิเล็กตรอนเนื่องจากอิเล็กตรอนตัวอื่นทั้งหมดในระบบ เนื่องจากขึ้นอยู่กับวงโคจรหมุนของอิเล็กตรอนตัวอื่นเราจึงสามารถพูดได้ว่าตัวดำเนินการ Fock นั้นขึ้นอยู่กับลักษณะเฉพาะของมัน ใน "โมเดิร์นควอนตัมเคมี" …

10 computational-chemistry  iterative-method  convergence  hartree-fock