คำถามติดแท็ก krylov-method

สิ่งที่ผิดพลาดเมื่อใช้วิธี Krylov แบบ preconditoned จากKSP ( แพคเกจแก้ปัญหาเชิงเส้นของPETSc ) เพื่อแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นแบบกระจัดกระจายเช่นที่ได้จากการทำ discretizing และ linearizing สมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน? ฉันสามารถใช้ขั้นตอนใดในการพิจารณาว่าเกิดปัญหาอะไรขึ้นกับฉัน ฉันสามารถเปลี่ยนแปลงอะไรได้บ้างเพื่อแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นอย่างประสบความสำเร็จและมีประสิทธิภาพ

26 linear-algebra  petsc  preconditioning  krylov-method  iterative-method 

ที่ฉันเข้าใจมันมีสองประเภทหลักของวิธีการวนซ้ำสำหรับการแก้ระบบเชิงเส้นของสมการ: วิธีการหยุดนิ่ง (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Multigrid) วิธีการของ Krylov Subspace (Conjugate Gradient, GMRES และอื่น ๆ ) ฉันเข้าใจว่าวิธีการที่อยู่กับที่ส่วนใหญ่ทำงานโดยการทำซ้ำไปเรื่อย ๆ (ปรับให้เรียบ) โหมดฟูริเยร์ของข้อผิดพลาด ตามที่ฉันเข้าใจแล้ววิธีการไล่ระดับสีแบบคอนจูเกต (วิธีการสเปซ Krylov) ทำงานโดย "ก้าว" ผ่านชุดทิศทางการค้นหาที่ดีที่สุดจากพลังของเมทริกซ์ที่นำไปใช้กับส่วนที่เหลือหลักการนี้เป็นเรื่องธรรมดาสำหรับวิธีการทั้งหมดของ Krylov หรือไม่? ถ้าไม่เราจะอธิบายหลักการที่อยู่เบื้องหลังการรวมตัวกันของวิธีการย่อย Krylov โดยทั่วไปได้อย่างไรnnn

24 linear-algebra  convergence  krylov-method  conjugate-gradient 

ฉันมีการฝึกอบรมและG Aกระจัดกระจายและn × nมีnมาก (สามารถเรียงตามลำดับได้หลายล้าน) Gคือเมทริกซ์สูงn × mมีmค่อนข้างเล็ก ( 1 < m < 1,000 ) และแต่ละคอลัมน์สามารถมีเพียงหนึ่งเดียว1รายการที่มีส่วนที่เหลือเป็น0 's เช่นว่าG T G =ฉัน Aมีขนาดใหญ่มากมันจึงยากที่จะกลับด้านและฉันสามารถแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นเช่นAAAAGGGAAAn×nn×nn\times nnnnGGGn×mn×mn\times mmmm1<m<10001<m<10001 \lt m \lt 1000111000GTG=IGTG=IG^TG = IAAAAx=bAx=bAx = bซ้ำ ๆ กันโดยใช้วิธีการ subspace ของ Krylov เช่นBiCGStab(l)BiCGStab(l)\mathrm{BiCGStab}(l)แต่ฉันไม่มีA−1A−1A^{-1}อย่างชัดเจน ฉันต้องการแก้ระบบของรูปแบบ: (GTA−1G)x=b(GTA−1G)x=b(G^TA^{-1}G)x = bโดยที่xxxและbbbเป็นเวกเตอร์ความยาวmmmวิธีหนึ่งในการทำคือใช้อัลกอริธึมการวนซ้ำภายในอัลกอริทึมการวนซ้ำเพื่อแก้ปัญหาA−1A−1A^{-1}สำหรับการวนซ้ำของอัลกอริทึมการวนซ้ำรอบนอกแต่ละครั้ง อย่างไรก็ตามการคำนวณนี้มีราคาแพงมาก ฉันสงสัยว่ามีวิธีที่ง่ายกว่าในการแก้ปัญหานี้หรือไม่

22 linear-algebra  linear-solver  sparse-matrix  krylov-method 

คำถาม: สมมติว่าคุณมีสองแตกต่างกัน (ปัจจัย) preconditioners สำหรับสมมาตรบวกแน่นอนเมทริกซ์: ≈ B T B และ ≈ C T C , ที่แปรผกผันกันของปัจจัยB , B T , C , C Tมีความง่ายต่อการใช้AAAA ≈ BTBA≈BTBA \approx B^TBA ≈ CTค,A≈คTค,A \approx C^TC,B , BT, C,CTB,BT,ค,คTB, B^T, C, C^T เมื่อใดจึงเป็นไปได้ที่จะใช้ข้อมูลจากทั้ง และCเพื่อสร้างเงื่อนไขเบื้องต้นที่ดีกว่าBหรือCอย่างเดียว?BBBคคCBBBคคC

15 linear-algebra  krylov-method  preconditioning  condition-number 

ฉันสงสัยว่าเกิดอะไรขึ้นกับพหุนามพหุนาม ฉันสนใจพวกเขาเพราะพวกมันดูสวยหรูเมื่อเทียบกับมุมมองทางคณิตศาสตร์ แต่เท่าที่ฉันได้อ่านในแบบสำรวจเกี่ยวกับวิธีการของ krylov พวกเขามักจะทำงานได้แย่มาก ในคำพูดของซาดและแวนเดอร์โฮสต์ "ดอกเบี้ยในปัจจุบันเทคนิคเหล่านี้มีทั้งหมด แต่หายไป" (ที่นี่) อย่างไรก็ตามมีการใช้สำหรับการคำนวณแบบหลายคอร์และ GPU ในอดีตที่ผ่านมา ใครช่วยบอกฉันหน่อยได้หรืออธิบายให้ฉันฟังหน่อยว่าบริบทไหนที่วิธีการเหล่านี้ยังมีชีวิตอยู่และจะหาแบบสำรวจที่ดีเกี่ยวกับสถานะของงานศิลปะในปัจจุบันได้ที่ไหน

15 iterative-method  preconditioning  krylov-method 

เท่าที่ฉันทราบตัวแก้แบบหลายตัวใช้ตัวทำซ้ำแบบซ้ำซ้อนเช่น Jacobi, Gauss-Seidel และ SOR เพื่อลดความผิดพลาดที่ความถี่ต่าง ๆ สามารถใช้วิธีการ subspace ของ Krylov (เช่น gradient conjugate, GMRES และอื่น ๆ ) ได้หรือไม่? ฉันไม่คิดว่าพวกมันถูกจัดอยู่ในประเภท "สมูทเทนเนอร์" แต่พวกเขาสามารถใช้เพื่อประมาณโซลูชันกริดแบบหยาบ เราคาดหวังได้ไหมว่าการลู่เข้าหากันของสารละลายเหมือนกับวิธีมาตรฐานหลายจุด หรือมันขึ้นอยู่กับปัญหา?

15 linear-algebra  multigrid  iterative-method  krylov-method 

บอกว่าฉันมีระบบเชิงเส้นx = Bซึ่งลู่อย่างรวดเร็วโดยใช้วิธีการที่เหมาะสม Krylov (เช่น CG หรือ GMRES) สำหรับทุกข ถ้าBเป็นเมทริกซ์ที่มีระดับต่ำrวิธี Krylov เดียวกันบนระบบ( A + B ) x = b จะมาบรรจบกันอย่างรวดเร็ว (โดยมีการวนซ้ำจำนวนมากที่ขึ้นอยู่กับrเท่านั้น)Ax=bAx=bA x = bbbbBBBrrr(A+B)x=b(A+B)x=b(A + B) x = brrr ตัวอย่างของระบบดังกล่าวคือความยืดหยุ่นของเมมเบรนที่ผ่านการปรับสภาพล่วงหน้าและการดัดรวมถึงเงื่อนไขความดันอากาศที่ไม่ได้รับการกำหนดเงื่อนไขพร้อมโครงสร้างผลิตภัณฑ์ด้านนอกที่หนาแน่น โปรดทราบว่าคำถามจะเหมือนกันมีหรือไม่มี preconditioning ตั้งแต่เป็นอันดับRเปลี่ยนแปลงของP QP(A+B)Q=PAQ+PBQP(A+B)Q=PAQ+PBQP(A + B)Q = PAQ + PBQrrrPAQPAQPAQ

14 krylov-method 

Multigrid (MG) อาจใช้เพื่อแก้ระบบเชิงเส้นโดยสร้างการเดาเริ่มต้นx 0และทำซ้ำสิ่งต่อไปนี้สำหรับi = 0 , 1 ..จนกระทั่งการบรรจบกัน:A x = bAx=bAx=bx0x0x_0i = 0 , 1 ..i=0,1..i=0,1.. คำนวณส่วนที่เหลือRผม= b - A xผมri=b−Axir_i = b-Ax_i สมัครรอบ multigrid ที่จะได้รับประมาณที่อีฉัน = RฉันΔ xผม≈ eผมΔxi≈ei\Delta x_i \approx e_iอีผม= rผมAei=riAe_i = r_i อัปเดตxฉัน+ 1← xผม+ Δ xผมxi+1←xi+Δxix_{i+1} \gets x_i + \Delta x_i วงจร multigrid เป็นลำดับของเรียบแก้ไขข้อ …

13 linear-algebra  linear-solver  multigrid  krylov-method 

ในวิธีเช่น gmres หรือ bicgstab มันน่าดึงดูดใจที่จะใช้อีกวิธี krylov เป็น preconditioner หลังจากทั้งหมดพวกเขาจะใช้งานง่ายในวิธีที่ปราศจากเมทริกซ์และในสภาพแวดล้อมแบบคู่ขนาน ตัวอย่างเช่นหนึ่ง coul ใช้การวนซ้ำสองครั้ง (สมมติว่า ~ 5) ของ bigcstab ที่ไม่มีเงื่อนไขในฐานะ precontioner สำหรับ gmres หรือการรวมกันของวิธี krylov อื่น ๆ ฉันไม่พบการอ้างอิงถึงวิธีการดังกล่าวในครอกดังนั้นฉันคาดหวังว่านี่เป็นเพราะมันไม่ได้มีประสิทธิภาพมาก ฉันต้องการที่จะเข้าใจว่าทำไมมันไม่มีประสิทธิภาพ มีกรณีที่เป็นตัวเลือกที่ดีหรือไม่? ในการวิจัยของฉันฉันสนใจเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหาของรูปไข่ 3 มิติในสภาพแวดล้อมแบบขนาน (mpi)

13 linear-algebra  linear-solver  preconditioning  krylov-method  gmres 

สมการปัวซองที่มีเงื่อนไขขอบเขตของนอยมันน์ทั้งหมดมีช่องว่างมิติคงที่เดียว เมื่อแก้ปัญหาด้วยวิธี Krylov พื้นที่ว่างสามารถลบได้ด้วยการลบค่าเฉลี่ยของการแก้ปัญหาแต่ละการวนซ้ำหรือโดยการตรึงค่าของจุดยอดเดียว การปักจุดสุดยอดเพียงจุดเดียวมีข้อดีของความเรียบง่ายและหลีกเลี่ยงการลดลงทั่วโลกต่อการฉายภาพ อย่างไรก็ตามมันมักจะถูกมองว่าไม่ดีเนื่องจากมีผลต่อการปรับสภาพ ดังนั้นฉันจึงหักค่าเฉลี่ยเสมอ อย่างไรก็ตามทั้งสองวิธีนั้นต่างกันมากที่สุดโดยการแก้ไขอันดับ 2 ดังนั้นตาม (1) พวกเขาควรมาบรรจบกันในจำนวนการวนซ้ำเกือบเท่าเดิม การใช้เหตุผลนี้ถูกต้องหรือมีเหตุผลเพิ่มเติมว่าการปักหมุดเป็นจุดที่ไม่ดี (อาจจะไม่แน่นอนทางคณิตศาสตร์) (1): การปรับระดับต่ำส่งผลต่อการลู่เข้าของวิธี Krylov อย่างไร

13 krylov-method 

ระบบของฉันเป็นปัญหา FE ที่สมมาตรกับตัวคูณแบบลากรองจ์ (เช่นการไหลของ Stokes ที่ไม่สามารถบีบอัดได้): ( กBBTค)(ABTBC)\begin{pmatrix}A & B^T \\ B & C\end{pmatrix} โดยที่เป็นกรณีทั่วไป (ฉันแน่ใจด้วยซ้ำว่าสมการนั้นมีการกำหนดหมายเลขเพื่อให้ตัวคูณ Lagrange ปรากฏขึ้นครั้งสุดท้าย) ระบบมีขนาดค่อนข้างใหญ่ (+ 100k บรรทัด)ค= 0C=0C = 0 เมื่ออ่านคำตอบของคำถามนี้ฉันได้รับความประทับใจว่ามีปัจจัยเบื้องต้นที่เหมาะสมที่สามารถใช้กับปัญหา FE ที่หลากหลายได้ การใช้ PETSc ฉันได้จัดการแก้ปัญหาด้วย MINRES ( -ksp_type minres -pc_type none -mat_type sbaij) แม้ว่าความแม่นยำจะไม่ดี (ทำให้นิวตันซ้ำหลายครั้งสำหรับปัญหาเชิงเส้น) ดูเหมือนว่าไม่มีการรวมกันของ preconditioner และ ksp-solver อื่น ๆ มีการรวมกันของการตั้งค่าสถานะสำหรับ PETSc ที่จะแก้ปัญหาระบบนี้ได้เร็วกว่าเพียงแค่ …

12 finite-element  petsc  krylov-method  preconditioning 

ฉันกำลังแก้สำหรับขนาดใหญ่เบาบางบวกแน่นอนเมทริกซ์ใช้การไล่ระดับสีผัน (CG) วิธีการ มันเป็นไปได้ที่จะคำนวณหาดีเทอร์มีแนนต์ของโดยใช้ข้อมูลที่สร้างขึ้นในระหว่างการแก้ปัญหา?Ax=bAx=bAx=bAAAAAA

11 linear-algebra  optimization  krylov-method  conjugate-gradient 

ในวิทยาศาสตร์การคำนวณเรามักจะพบกับระบบเชิงเส้นขนาดใหญ่ซึ่งเราจำเป็นต้องแก้ปัญหาด้วยวิธีการที่มีประสิทธิภาพบางอย่างเช่นโดยวิธีโดยตรงหรือวนซ้ำ หากเรามุ่งเน้นไปที่หลังเราจะกำหนดได้อย่างไรว่าวิธีการวนซ้ำสำหรับการแก้ระบบเชิงเส้นขนาดใหญ่นั้นได้มาบรรจบกันในทางปฏิบัติ เป็นที่ชัดเจนว่าเราสามารถทำการทดลองและวิเคราะห์ข้อผิดพลาด (เปรียบเทียบทำไมตัวแก้ปัญหาเชิงเส้นแบบวนซ้ำของฉันจึงไม่มาบรรจบกัน ) และพึ่งพาวิธีการวนซ้ำซึ่งรับประกันการบรรจบกันโดยการพิสูจน์หรือมีฐานประสบการณ์เสียง (เช่น สำหรับระบบสมมาตรและไม่สมมาตรตามลำดับ) แต่สิ่งที่สามารถทำได้เพื่อสร้างการบรรจบกันในทางปฏิบัติ? และทำอะไร

11 linear-algebra  iterative-method  convergence  krylov-method 

พิจารณาสถานการณ์ที่คุณต้องการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นโดยใช้วิธี Krylov ที่มีเงื่อนไขก่อนหน้า แต่การใช้ตัวช่วยล่วงหน้านั้นเกี่ยวข้องกับการแก้ไขระบบเสริมซึ่งทำด้วยวิธี Krylov ที่มีเงื่อนไขก่อนอื่น ในหนึ่งครั้งคุณสามารถเรียกใช้การแก้ปัญหาภายในเพื่อรวมกันในแต่ละขั้นตอนของการแก้ปัญหาด้านนอก ในสุดโต่งอื่น ๆ คุณไม่สามารถแก้ปัญหาภายในได้เลย แต่แทนที่มันด้วยอุปกรณ์ปรับสภาพชั้นในแทน อยู่ตรงกลางคุณสามารถตัดทอนลูป Krylov ด้านในหลังจากทำซ้ำจำนวนคงที่หรือหลังจากความอดทนที่แน่นอน สังเกตุฉันได้เจอสถานการณ์ที่รุนแรงครั้งแรกดีกว่าและสถานการณ์ต่าง ๆ ที่รุนแรงที่สุดที่สองจะดีกว่า (ในแง่ของต้นทุนทั้งหมด) อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถหาเหตุผลที่ชัดเจนว่าทำไมบางสถานการณ์จึงชอบกลยุทธ์หนึ่งมากกว่าอีกกลยุทธ์หนึ่ง มีแนวทางหรือทฤษฎีเกี่ยวกับเมื่อกลยุทธ์ที่แตกต่างเหล่านี้จะดีกว่า?

9 preconditioning  krylov-method 

ฉันสนใจในการคำนวณโซลูชันของระบบ lage ของ ODE โดยใช้วิธี krylov เช่นเดียวกับใน [1] วิธีการดังกล่าวเกี่ยวข้องกับฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องกับการชี้แจง (ที่เรียกว่าφφ\varphi-ฟังก์ชั่น). มันประกอบด้วยการคำนวณการกระทำของฟังก์ชั่นเมทริกซ์โดยการสร้างพื้นที่ย่อย Krylov โดยใช้การวนซ้ำของ Arnoldi และฉายฟังก์ชันในพื้นที่ย่อยนี้ สิ่งนี้ช่วยลดปัญหาในการคำนวณเลขชี้กำลังของเมทริกซ์ Hessenberg ที่เล็กกว่ามาก ฉันรู้ว่ามีหลายอัลกอริทึมในการคำนวณเลขชี้กำลัง (ดู [2] [3] และการอ้างอิงในนั้น) ฉันสงสัยว่ามีอัลกอริทึมพิเศษในการคำนวณเลขยกกำลังที่สามารถใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าเมทริกซ์คือเฮสเซนเบิร์กหรือไม่? [1] Sidje, RB (1998) Expokit: ชุดซอฟต์แวร์สำหรับประมวลผลเลขชี้กำลังเมทริกซ์ ธุรกรรม ACM เกี่ยวกับซอฟต์แวร์ทางคณิตศาสตร์ (TOMS), 24 (1), 130-156 [2] Moler, C. , & Van Loan, C. (1978) เก้าวิธีที่น่าสงสัยในการคำนวณเลขชี้กำลังของเมทริกซ์ รีวิว SIAM, 20 …

9 linear-algebra  matrix  numerical-analysis  time-integration  krylov-method