คำถามติดแท็ก linear-algebra

ใครสามารถแนะนำวิธีการสำหรับปัญหากำลังสองน้อยที่สุดต่อไปนี้: R ∈ R3 × 3R∈R3×3R \in \mathbb{R}^{3 \times 3}RΣi = 0ยังไม่มีข้อความ( R xผม- ขผม)2→ ขั้นต่ำ∑i=0N(Rxi−bi)2→min\sum\limits_{i=0}^N (Rx_i - b_i)^2 \rightarrow \minRRR ฉันสามารถหาวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณโดยย่อΣi = 0ยังไม่มีข้อความ( A xผม- ขผม)2→ ขั้นต่ำ∑i=0N(Axi−bi)2→min\sum\limits_{i=0}^N (Ax_i - b_i)^2 \rightarrow \min (โดยพลการA ∈ R3 × 3A∈R3×3A \in \mathbb{R}^{3 \times 3} ) เมทริกซ์AAAและ: คำนวณ SVD: A=UΣVTA=UΣVTA = U \Sigma …

11 linear-algebra  least-squares  svd 

พิจารณาสมมาตรบวกแน่นอนระบบ tridiagonal เชิงเส้น ที่และ n รับสามดัชนี , ถ้าเราถือว่าเฉพาะแถวสมการอย่างเคร่งครัดระหว่างและ hold เราสามารถกำจัดตัวแปรกลางเพื่อรับสมการของรูปแบบ โดยที่0 สมการนี้เกี่ยวข้องกับค่าของถึงเป็นอิสระจากอิทธิพลของ "นอก" (กล่าวว่าถ้ามีข้อ จำกัด ที่ส่งผลต่อ )A ∈ R n × n b ∈ R n 0 ≤ i < j < k < n i k u x i + v x j + w x k = c …

11 linear-algebra  poisson 

12×1212×1212 \times 12QQQdet(Q)=det(12I−Q−J)(1)det(Q)=det(12I−Q−J)(1)\det(Q) = \det(12I-Q-J) \; \; (1)JJJ ฉันกำลังทำสิ่งนี้กับห้องสมุดตัวนิ่มแต่มันกลับช้าไปหน่อย สิ่งที่ฉันต้องทำคือทำล้านล้านเมทริกซ์และปรากฎว่าการคำนวณสองปัจจัยคือคอขวดของโปรแกรมของฉัน ดังนั้นฉันมีสองคำถาม มีเคล็ดลับใดบ้างที่ฉันสามารถใช้เพื่อคำนวณดีเทอร์แนนต์ได้เร็วขึ้นเมื่อฉันรู้ขนาดของมัน? อาจเป็นการขยายตัวที่ยุ่งเหยิงสำหรับเมทริกซ์12×1212×1212 \times12ที่สามารถทำงานได้ในกรณีนี้? มีวิธีอื่นที่มีประสิทธิภาพในการทดสอบความเท่าเทียมกันหรือไม่(1)(1)(1) แก้ไข เพื่อตอบความคิดเห็น ฉันจำเป็นต้องคำนวณกราฟที่ไม่เกี่ยวข้องกับตัวเองที่เชื่อมต่อทั้งหมดGGGของคำสั่ง131313เช่นGGGและG¯¯¯¯G¯\overline{G}มีจำนวนของต้นไม้ทอด แรงจูงใจสำหรับสิ่งนี้สามารถพบได้ในโพสต์mathoverflowนี้ สำหรับเครื่องฉันใช้งานเครื่อง 8 คอร์ 3.4GHh พร้อมกัน แก้ไข ฉันสามารถลดเวลาทำงานที่คาดไว้ได้ถึง 50% โดยการทำโปรแกรม C เพื่อคำนวณปัจจัยเฉพาะของ12×1212×1212 \times 12เมทริกซ์ ข้อเสนอแนะยังคงยินดีต้อนรับ

11 linear-algebra  matrix  c++  graph-theory  c 

เช่น MATLAB จะคำนวณ SVD ของเมทริกซ์ที่กำหนดอย่างไร ผมถือว่าคำตอบอาจจะเกี่ยวข้องกับการคำนวณ eigenvectors A*A'และค่าลักษณะเฉพาะของ หากเป็นกรณีนี้ฉันอยากจะรู้ว่ามันคำนวณได้อย่างไร

11 linear-algebra  matrix 

ฉันมีระบบเส้นตรงที่ไม่เหมือนกัน Ax=bAx=b Ax=b ที่เป็นจริงเมทริกซ์กับ4 nullspace ของรับประกันได้ว่าจะเป็นศูนย์มิติดังนั้นสมการก็มีที่ไม่ซ้ำกันผกผันข เนื่องจากผลที่ได้เข้าด้านขวามือของบทกวีซึ่งผมตั้งใจที่จะแก้ปัญหาโดยใช้วิธีการปรับตัวเป็นสิ่งสำคัญว่าการแก้ปัญหาเป็นไปอย่างราบรื่นด้วยความเคารพต่อการเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ ขององค์ประกอบของและขเนื่องจากข้อกำหนดนี้และมิติข้อมูลขนาดเล็กฉันจึงคิดที่จะใช้สูตรที่ชัดเจนสำหรับAAAn×nn×nn\times nn≤4n≤4n\leq 4AAAx=A−1bx=A−1bx=A^{-1} bAAAbbbA−1bA−1bA^{-1} b. องค์ประกอบอาจเป็นศูนย์หรือใช้ค่าแตกต่างกันมาก คำถามของฉันคือถ้าสิ่งนี้เหมาะสมกับคุณและหากมีการแสดงออกที่มั่นคงสำหรับเรื่องนี้ ฉันกำลังเขียนโปรแกรมใน C สำหรับระบบ x86

11 linear-algebra  ode 

ดังนั้นทฤษฎีบทการสลายตัวของโคลเลสกี้ระบุว่าเมทริกซ์บวกแน่นอนที่แน่นอนใด ๆมีการสลายตัวของ Cholesky M = L L ⊤โดยที่Lเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างMMMM= L L⊤M=LL⊤M= LL^\topLLL ได้รับเรารู้อยู่แล้วว่ามีขั้นตอนวิธีการอย่างรวดเร็วในการคำนวณปัจจัย Cholesky ของLMMMLLL ทีนี้สมมติว่าฉันได้รับเมทริกซ์A ขนาดและฉันรู้ว่าA ⊤ Aนั้นเป็นค่าบวกแน่นอน มีวิธีคำนวณ Cholesky factor LของA ⊤ Aโดยไม่ต้องคำนวณA ⊤ Aอย่างชัดเจนแล้วใช้อัลกอริธึมการแยกตัวประกอบของ Cholesky หรือไม่?m × nม.×nm\times nAAAA⊤AA⊤AA^\top ALLLA⊤AA⊤AA^\top AA⊤AA⊤AA^\top A ถ้าเป็นเมทริกซ์รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดใหญ่มากที่ดำเนินการA ⊤ Aดูเหมือนว่าจะมีราคาแพงและคำถามนี้AAAA⊤AA⊤AA^\top A

11 linear-algebra  algorithms 

ฉันกำลังแก้สำหรับขนาดใหญ่เบาบางบวกแน่นอนเมทริกซ์ใช้การไล่ระดับสีผัน (CG) วิธีการ มันเป็นไปได้ที่จะคำนวณหาดีเทอร์มีแนนต์ของโดยใช้ข้อมูลที่สร้างขึ้นในระหว่างการแก้ปัญหา?Ax=bAx=bAx=bAAAAAA

11 linear-algebra  optimization  krylov-method  conjugate-gradient 

ตัวอย่างเช่น nVidia มี CUBLAS ซึ่งสัญญาว่าจะเร่งความเร็ว 7-14x ไร้เดียงสานี่ไม่มีที่ไหนใกล้กับทฤษฏีความเร็วของการ์ด GPU ของ nVidia อะไรคือความท้าทายในการเร่งพีชคณิตเชิงเส้นบน GPU และมีการกำหนดเส้นทางพีชคณิตเชิงเส้นเร็วกว่าที่มีอยู่แล้วหรือไม่

11 linear-algebra  lapack  blas  gpu 

สมมติว่าเป็นเมทริกซ์สมมาตรจริงและการสลายตัวของ eigenvalue V Λ V Tจะได้รับ มันง่ายที่จะดูว่าเกิดอะไรขึ้นกับค่าลักษณะเฉพาะของผลรวมA + c Iที่cคือค่าคงที่สเกลาร์ (ดูคำถามนี้ ) เราสามารถวาดข้อสรุปใด ๆ ในกรณีทั่วไปA + Dโดยที่Dเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมตามอำเภอใจได้หรือไม่? ขอบคุณAAAVΛ VTVΛVTV \Lambda V^TA + c IA+คผมA + cIคคcA + DA+DA + DDDD ความนับถือ, อีวาน

11 linear-algebra 

สมมติว่า A เป็นเมทริกซ์กระจัดกระจายทั่วไปและฉันต้องการคำนวณค่าลักษณะเฉพาะ ฉันไม่ทราบวิธีตรวจจับหลายหลากสำหรับค่าลักษณะเฉพาะ เท่าที่ฉันรู้ในกรณีพิเศษการค้นหารากของพหุนามด้วยวิธีเมทริกซ์ร่วมเราสามารถใช้ RRQR เพื่อตรวจสอบความหลากหลายของราก

11 linear-algebra 

เมื่อพิจารณาจากระบบที่ฉันได้อ่านว่าในกรณีที่การทำซ้ำ Jacobi ถูกใช้เป็นนักแก้ปัญหาวิธีนี้จะไม่มาบรรจบกันถ้าไม่มีศูนย์ องค์ประกอบใน null พื้นที่ของ ดังนั้นวิธีหนึ่งอย่างเป็นทางการสามารถระบุได้อย่างไรว่าหากมีองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งประกอบไปด้วยพื้นที่ว่างของ , วิธี Jacobi นั้นไม่เป็นการรวมกัน? ฉันสงสัยว่าจะทำอย่างไรให้เป็นทางการทางคณิตศาสตร์ได้เนื่องจากส่วนหนึ่งของฉากตั้งฉากกับพื้นที่ว่างนั้นมาบรรจบกันA ∈ R n × n b A b Ax = B ,Ax=b,Ax=b,A ∈ Rn × nA∈Rn×nA\in\mathbb{R}^{n\times n}ขbbAAAขbbAAA ดังนั้นโดยการฉายช่องว่างว่างของจากแต่ละการวนซ้ำมันจะมาบรรจบกัน (หรือ?)AAA ......... ฉันสนใจเป็นพิเศษในกรณีของ ที่เป็นเมทริกซ์ Laplacian แบบสมมาตรที่มีช่องว่างว่างที่เวกเตอร์และมีองค์ประกอบเป็นศูนย์ใน null-space ของ ,ที่เป็นเมทริกซ์กึ่งกลาง นั่นหมายความว่าย้ำ Jacobi แต่ละคนจะมีช่องว่างของคาดการณ์ไว้เช่น. แต่ละ iterate จะอยู่กึ่งกลาง ? ฉันถามสิ่งนี้ตั้งแต่นั้นมาก็ไม่จำเป็นต้องฉายว่างของจาก Jacobi iterates (หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งถึงจุดศูนย์กลางL …

11 linear-algebra  optimization  matrix  iterative-method  linear-solver 

ฉันกำลังทำเส้นทแยงมุม Lanczos ของเมทริกซ์กระจัดกระจายขนาดใหญ่ (ประมาณ 2 ล้านองค์ประกอบ) เกือบทุกขั้นตอนในอัลกอริธึม Lanzcos ทำขนานกับ GPU ยกเว้น diagonalizing Lanczos matrix เพื่อตรวจสอบลู่เข้า เพื่อที่ฉันได้ใช้อัลกอริทึม TQLI จากสูตรตัวเลข มีวิธีในการค้นหาระบบ eigensystem ของเมทริกซ์ tridiagonal ที่ขนานหรือขนานได้ง่ายหรือไม่? TQLI รุ่นขนานมีอยู่จริงหรือไม่?

11 linear-algebra  algorithms  eigensystem 

สมมติว่าเมทริกซ์ต่อไปจะได้รับ [ 0.500 - 0.333 - ภายในเวลา 0.167 - 0.500 0.667 - ภายในเวลา 0.167 - 0.500 - 0.333 0.833 ] กับ transpose ของT ผลิตภัณฑ์A T A = Gให้ผลตอบแทน [ 0.750 - 0.334 - 0.417 - 0.334 0.667 - 0.333 - 0.417 - 0.333 0.750 ] ,AAA⎡⎣⎢0.500−0.500−0.500−0.3330.667−0.333−0.167−0.1670.833⎤⎦⎥[0.500−0.333−0.167−0.5000.667−0.167−0.500−0.3330.833] \left[\begin{array}{ccc} 0.500 & -0.333 …

11 linear-algebra  matrix  eigensystem 

มีวิธีที่เร็วกว่าในการคำนวณข้อผิดพลาดมาตรฐานสำหรับปัญหาการถดถอยเชิงเส้นมากกว่าการสลับกลับหรือไม่? ที่นี่ฉันคิดว่าเรามีการถดถอย:X′XX′XX'X y=Xβ+ ε ,y=Xβ+ε,y=X\beta+\varepsilon, โดยที่คือn × k matrix และyคือn × 1เวกเตอร์XXXn × kn×kn\times kYYyn × 1n×1n\times 1 สำหรับการหาวิธีแก้ปัญหากำลังสองน้อยที่สุดนั้นไม่สามารถทำได้ด้วยคุณสามารถใช้การย่อยสลาย QR หรือ SVD บนเมทริกซ์Xโดยตรง หรืออีกวิธีหนึ่งคุณสามารถใช้วิธีการไล่ระดับสี แต่ข้อผิดพลาดมาตรฐานคืออะไร เราต้องการเพียงแค่เส้นทแยงมุมของ( X ′ X ) - 1 (และวิธีการแก้ปัญหา LS ตามธรรมชาติเพื่อคำนวณการประมาณการข้อผิดพลาดมาตรฐานของ ) มีวิธีการเฉพาะสำหรับการคำนวณข้อผิดพลาดมาตรฐานหรือไม่?X'XX'XX'XXXX(X′X)−1(X′X)−1(X'X)^{-1}εε\varepsilon

11 linear-algebra  optimization 

ในวิทยาศาสตร์การคำนวณเรามักจะพบกับระบบเชิงเส้นขนาดใหญ่ซึ่งเราจำเป็นต้องแก้ปัญหาด้วยวิธีการที่มีประสิทธิภาพบางอย่างเช่นโดยวิธีโดยตรงหรือวนซ้ำ หากเรามุ่งเน้นไปที่หลังเราจะกำหนดได้อย่างไรว่าวิธีการวนซ้ำสำหรับการแก้ระบบเชิงเส้นขนาดใหญ่นั้นได้มาบรรจบกันในทางปฏิบัติ เป็นที่ชัดเจนว่าเราสามารถทำการทดลองและวิเคราะห์ข้อผิดพลาด (เปรียบเทียบทำไมตัวแก้ปัญหาเชิงเส้นแบบวนซ้ำของฉันจึงไม่มาบรรจบกัน ) และพึ่งพาวิธีการวนซ้ำซึ่งรับประกันการบรรจบกันโดยการพิสูจน์หรือมีฐานประสบการณ์เสียง (เช่น สำหรับระบบสมมาตรและไม่สมมาตรตามลำดับ) แต่สิ่งที่สามารถทำได้เพื่อสร้างการบรรจบกันในทางปฏิบัติ? และทำอะไร

11 linear-algebra  iterative-method  convergence  krylov-method