คำถามติดแท็ก linear-algebra

สมมติว่าเราต้องการศึกษาพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขในเชิงลึก (และติดตามวารสารเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขและทฤษฎีเมทริกซ์) ซึ่งจะเป็นหลักสูตรที่ดีกว่า / หนังสือดีกว่าที่จะใช้ในตอนแรก: ด้วย Hoffman และ Kunze พร้อมบทพิสูจน์และความเข้มงวด (ฉันไม่มีปัญหากับคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด) หรือ ด้วยหนังสือของ Prof. Strang ที่มีการพิสูจน์ที่ไม่เข้มงวดหรือวิธีการ "ระบุโดยไม่มีข้อพิสูจน์" แต่หนักในการใช้งานและปัญหา "โลกแห่งความจริง" หรือ อื่น ๆ ที่คุณอยากจะแนะนำ? (แล้วหนังสือของ Gene Golub ล่ะ) ฉันรู้บางส่วนและบางส่วนของหนังสือของ Strang (เสริมด้วยการบรรยายออนไลน์ของเขา) และบางส่วนของพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขจาก Trefethen และ Bau แต่ฉันต้องการมีความเข้าใจอย่างละเอียดมากขึ้นในเรื่องนี้ ฉันจะศึกษาหนังสือด้วยตัวเองเป็นส่วนใหญ่

11 linear-algebra  reference-request 

ได้รับการตั้งค่าโดยพลการของ (ตัวเลข) การฝึกอบรมที่ซับซ้อนตาราง= { 1 , 2 , ⋯ , เมตร } , ฉันสนใจในการคำนวณพีชคณิตจริงเมทริกซ์ที่สร้างขึ้นโดยเรียกว่าL นั่นคือฉันต้องการพื้นฐานสำหรับ L = s พีn R { B : B ∈ ∪ ∞ k = 1 C k } ที่C kถูกกำหนดให้เป็นซ้ำA={A1,A2,⋯,Am}A={A1,A2,⋯,Am}\mathcal{A}=\{A_1,A_2,\cdots,A_m\}AA\mathcal{A}LALA\mathcal{L_\mathcal{A}}LA=spanR{B:B∈∪∞k=1Ck}LA=spanR{B:B∈∪k=1∞Ck} \mathcal{L_\mathcal{A}} = \mathbb{span_R}\{B:B\in\cup_{k=1}^{\infty}\mathcal{C}_k\} CkCk\mathcal{C}_k C k + 1 ={[X,Y]:X,Y∈ ∪ k J = 1 C …

11 linear-algebra  matlab  basis-set 

ตามที่ฉันเข้าใจวิธี multigrid แก้ปัญหาระบบเชิงเส้นโดยการแก้ไขปัญหาแบบเดียวกันของ coarser (โดยการกำจัดข้อผิดพลาดความถี่ต่ำ) จากนั้นฉายกลับไปที่กริดที่ดีเพื่อลดข้อผิดพลาดความถี่สูง สำหรับระบบที่มีขนาดใหญ่ฉันสามารถดูว่าวิธีการวนซ้ำสามารถนำมาใช้ในการขนานในแต่ละระดับ วิธีนี้มีขนาดที่ดีในแบบคู่ขนานหรือไม่? มีแหล่งที่มาของการเกิดขึ้นพร้อมกันในอัลกอริทึมที่หนึ่งสามารถใช้ประโยชน์ในแบบคู่ขนาน?

11 linear-algebra  parallel-computing  multigrid 

มีอัลกอริทึม SVD ที่ถูกตัดทอนที่คำนวณค่าเอกพจน์ทีละหนึ่งหรือไม่ ปัญหาของฉัน: ผมอยากจะคำนวณแรกค่าเอกพจน์ (และเวกเตอร์เอกพจน์) ของขนาดใหญ่ที่หนาแน่นเมทริกซ์แต่ผมไม่ทราบว่าสิ่งที่มีค่าที่เหมาะสมของจะเป็น มีขนาดใหญ่ดังนั้นด้วยเหตุผลด้านประสิทธิภาพฉันไม่อยากประเมิน SVD แบบเต็มเพียงเพื่อตัดทอน SV ที่เล็กที่สุดหลังจากนั้นM k MkkkMMMkkkMMM เป็นการดีที่จะมีวิธีคำนวณค่าเอกพจน์ลำดับจากมากที่สุด ( ) ถึงน้อยที่สุด ( ) ด้วยวิธีนี้ฉันสามารถหยุดการคำนวณหลังจากคำนวณค่าเอกพจน์ th หากต่ำกว่าเกณฑ์σ 1 σ n k σ k / σ 1σ1, σ2, ...σ1,σ2,...\sigma_1, \sigma_2,\ldotsσ1σ1\sigma_1σnσn\sigma_nkkkσk/ σ1σk/σ1\sigma_k/\sigma_1 มีอัลกอริทึมดังกล่าวอยู่หรือไม่ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อใช้ Python) ใน googling ของฉันฉันพบเฉพาะฟังก์ชัน SVD ที่ถูกตัดทอนซึ่งใช้ k เป็นพารามิเตอร์ดังนั้นบังคับให้คุณคาดเดาว่าเป็นนิรนัย

11 linear-algebra  algorithms  svd 

ฉันมีชุดข้อมูลที่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆและฉันต้องติดตาม eigenvector / eigenvalues ​​ของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม ฉันใช้scipy.linalg.eighแต่มันแพงเกินไปและไม่ได้ใช้ความจริงที่ว่าฉันมีการสลายตัวที่ไม่ถูกต้องเพียงเล็กน้อยเท่านั้น ใครช่วยแนะนำวิธีที่ดีกว่าในการจัดการกับปัญหานี้ได้หรือไม่?

10 linear-algebra  optimization  python  eigenvalues 

ให้เป็นเมทริกซ์จตุรัสที่มีความหนาแน่นจริง และนั้นสมมาตร ปล่อยG QA , G , QA,G,QA, G, QGGGQQQ H=[A−Q−G−AT]H=[A-G-Q-AT]H = \begin{bmatrix} A & -G \\ -Q &-A^T \end{bmatrix} เป็นเมทริกซ์มิลโตเนียน ฉันต้องการที่จะคำนวณชี้แจงเมทริกซ์ของHฉันต้องการเลขชี้กำลังแบบเต็มเมทริกซ์ไม่เพียง แต่ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์เวกเตอร์ มีอัลกอริธึมหรือไลบรารีพิเศษใดบ้างที่พร้อมใช้งานในการคำนวณเลขชี้กำลังของเมทริกซ์มิลโตเนียน?e t HHHHetHอีเสื้อHe^{tH}

10 linear-algebra  matrix  dense-matrix 

ตัวอย่างเช่นไลบรารี C ++ sparse matrix ที่ฉันใช้ - Eigen และ SuiteSparse ดูเหมือนว่าพวกเขาจะไม่มี SVD funcitionality สำหรับ sparse matrix ดังนั้นเพียงแค่อยากรู้อยากเห็น SVD นั้นยากกว่า QR / LU สำหรับเมทริกซ์แบบกระจายหรือไม่

10 linear-algebra  sparse-matrix  matrix  svd  eigen 

สำหรับการลดแบบจำลองฉันต้องการคำนวณเวกเตอร์เอกพจน์ทางซ้ายที่เกี่ยวข้องกับ - พูด 20 - ค่าเอกพจน์ที่ใหญ่ที่สุดของเมทริกซ์โดยที่และ 3 น่าเสียดายเมทริกซ์ของฉันจะหนาแน่นโดยไม่มีโครงสร้างใด ๆ N ≈ 10 6 k ≈ 10 3 AA∈RN,kA∈RN,kA \in \mathbb R^{N,k}N≈106N≈106N\approx 10^6k≈103k≈103k\approx 10^3AAA หากฉันเพิ่งเรียกsvdรูทีนจากnumpy.linalgโมดูลใน Python สำหรับเมทริกซ์แบบสุ่มขนาดนี้ฉันพบข้อผิดพลาดของหน่วยความจำ เพราะนี่คือการจัดสรรสำหรับการสลายตัวVSU A = V S UV∈RN,NV∈RN,NV\in \mathbb R^{N,N}A=VSUA=VSUA = VSU มีอัลกอริธึมที่หลีกเลี่ยงหลุมพรางนี้ไหม เช่นโดยการตั้งค่าเฉพาะเวกเตอร์เอกพจน์ที่สัมพันธ์กับค่าเอกพจน์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ฉันพร้อมที่จะแลกเปลี่ยนในเวลาและความแม่นยำในการคำนวณ

10 linear-algebra  python  reference-request  numpy  svd 

ฉันใช้ Crank-Nicolson ผลต่าง จำกัด เพื่อแก้สมการความร้อน 1D ฉันสงสัยว่าหลักการสูงสุด / ต่ำสุดของสมการความร้อน (เช่นว่าสูงสุด / ต่ำสุดเกิดขึ้นที่เงื่อนไขเริ่มต้นหรือในขอบเขต) ยังถือสำหรับสารละลาย discretized นี่อาจเป็นนัยโดยข้อเท็จจริงที่ว่า Crank-Nicolson เป็นรูปแบบที่มั่นคงและเป็นคอนเวอร์เจนซ์ แต่ดูเหมือนว่าคุณสามารถพิสูจน์ได้โดยตรงผ่านอาร์กิวเมนต์พีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ที่สร้างขึ้นจาก Crank-Nicolson stencil ฉันขอขอบคุณพอยน์เตอร์สำหรับวรรณกรรมเกี่ยวกับเรื่องนี้ ขอบคุณ

10 linear-algebra  pde  finite-difference  crank-nicolson 

เราทุกคนคุ้นเคยกับวิธีการคำนวณมากมายเพื่อแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นมาตรฐาน x = BAx=b. Ax=b. อย่างไรก็ตามฉันอยากรู้ว่ามีวิธีการคำนวณ "มาตรฐาน" ใด ๆ สำหรับการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นทั่วไป (จำกัด ขนาด) ของแบบฟอร์ม L = B ,LA=B, LA=B, ที่พูดเป็นเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์และเป็นผู้ประกอบการเชิงเส้นการการฝึกอบรมเพื่อเมทริกซ์ซึ่งไม่ได้เกี่ยวข้องกับการ vectorizing เมทริกซ์คือการแปลงทุกอย่างให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน m 1 × n 1 B m 2 × n 2 L m 1 × n 1 m 2 × n 2AAAม.1× n1m1×n1m_1\times n_1BBBม.2× n2m2×n2m_2\times n_2LLLม.1× n1m1×n1m_1\times n_1ม.2× n2m2×n2m_2\times …

10 linear-algebra 

ฉันกำลังพยายามที่จะทำให้เมทริกซ์ที่มีความหนาแน่นและไม่มีเงื่อนไขอยู่ในแนวทแยง ในความแม่นยำของเครื่องผลลัพธ์จะไม่ถูกต้อง (คืนค่าลักษณะลบที่เป็นลบ eigenvector ไม่มีความสมมาตรที่คาดหวัง) ฉันเปลี่ยนไปใช้ฟังก์ชัน Eigensystem [] ของ Mathematica เพื่อใช้ประโยชน์จากความแม่นยำโดยพลการ แต่การคำนวณช้ามาก ฉันเปิดให้โซลูชั่นจำนวนมาก มีแพ็คเกจ / อัลกอริทึมที่เหมาะสมกับปัญหาที่ไม่ดีหรือไม่? ฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญเรื่องการปรับสภาพล่วงหน้าดังนั้นฉันจึงไม่แน่ใจว่าจะสามารถช่วยได้มากแค่ไหน ไม่อย่างนั้นทั้งหมดที่ฉันสามารถนึกได้ก็คือตัวแก้ค่าแบบเฉพาะเจาะจงที่มีความแม่นยำแบบขนาน เพื่อให้พื้นหลังเกี่ยวกับปัญหาเมทริกซ์มีขนาดใหญ่ แต่ไม่ใหญ่มาก (4096x4096 ถึง 32768x32768 มากที่สุด) พวกเขาเป็นจริงสมมาตรและค่าลักษณะเฉพาะถูกล้อมรอบระหว่าง 0 และ 1 (พิเศษ) โดยที่ค่าลักษณะเฉพาะจำนวนมากอยู่ใกล้กับ 0 และไม่มีใครใกล้กับ 1 เมทริกซ์เป็นตัวดำเนินการสังวัตนา ฉันไม่ต้องการทำให้เมทริกซ์ของฉันเป็นเส้นทแยงมุม แต่ยิ่งฉันไปได้มากเท่าไหร่ ฉันสามารถเข้าถึงกลุ่มคอมพิวเตอร์ที่มีโปรเซสเซอร์จำนวนมากและความสามารถในการคำนวณแบบกระจาย ขอบคุณ

10 linear-algebra  parallel-computing  eigensystem  precision  dense-matrix 

การคูณเมทริกซ์ (ทั้ง Mat * Mat และ Mat * Vec) มีการปรับมาตราส่วนด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์หรือมีขนาดของเมทริกซ์หรือไม่? หรือการรวมกันของทั้งสอง เกี่ยวกับรูปร่าง ตัวอย่างเช่นฉันมีเมทริกซ์ 100 x 100 พร้อม 100 ค่าในนั้นหรือเมทริกซ์ 1,000 x 1,000 ที่มี 100 ค่า เมื่อยกกำลังสองเมทริกซ์เหล่านี้ (หรือคูณด้วยเมทริกซ์ที่คล้ายกันที่มีการกระจายแบบเดียวกัน) เป็นครั้งแรก (100x100) จะเร็วกว่าวินาที (1000x1000) หรือไม่ มันขึ้นอยู่กับว่าค่าอยู่ที่ไหน? ถ้ามันขึ้นอยู่กับการใช้งานฉันสนใจคำตอบสำหรับ PETSc

10 linear-algebra  performance  sparse-matrix 

ฉันสงสัยว่าจะหาค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์กระจัดกระจายในช่วงเวลาที่กำหนด [a, b] โดยวิธีการวนซ้ำได้อย่างไร เพื่อความเข้าใจส่วนบุคคลของฉันมันชัดเจนมากขึ้นที่จะใช้วิธีการ subspace ของ Krylov เพื่อค้นหาค่าลักษณะเฉพาะที่รุนแรงแทนที่จะเป็นค่าตกแต่งภายใน

10 linear-algebra 

ฉันต้องการทราบว่านักแก้ปัญหาเชิงเส้นคลาสสิกประเภทใด (เช่น Gauss-Seidel, Jacobi, SOR) รับประกันว่าจะมาบรรจบกันสำหรับปัญหาโดยที่คือกึ่งแน่นอนที่เป็นบวกและแน่นอนA x = bAx=ขAx=bAAAb ∈ i m ( A )ข∈ผมม.(A)b \in im(A) (ประกาศเป็นแบบกึ่งแน่นอนและไม่แน่นอน)AAA

10 linear-algebra  iterative-method  convergence  linear-solver 

ฉันเพิ่งถามคำถามในบรรทัดเดียวกันสำหรับเมทริกซ์เอียง - เฮอร์เมียน ได้รับแรงบันดาลใจจากความสำเร็จของคำถามนั้นและหลังจากต่อสู้กับกำแพงเป็นเวลาสองสามชั่วโมงฉันกำลังดูเมทริกซ์เลขชี้กำลังของเมทริกซ์สมมาตรจริง เส้นทางในการค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะนั้นค่อนข้างซับซ้อนและฉันกลัวว่าฉันจะสูญเสียไป ที่มา: บางครั้งฉันถามคำถามนี้เกี่ยวกับฟิสิกส์เชิงทฤษฎี SE ผลที่ได้ทำให้ฉันสมการวลีหลักเป็นเมทริกซ์แบบอสมมาตรจริง ในกรณีที่ไม่ขึ้นกับเวลาสมการหลักจะถูกแก้ไขโดยการแจกแจงเมทริกซ์นี้ ในกรณีที่ขึ้นอยู่กับเวลามันจะต้องมีการรวม ฉันเกี่ยวข้องกับความเป็นอิสระเวลาเท่านั้นในขณะนี้ เมื่อมองไปที่รูทีนย่อยต่างๆฉันคิดว่าฉันควรจะเรียก ( ? gehrd , orghr , hseqr ... ) มันไม่ชัดเจนว่ามันจะง่ายกว่าที่จะใช้เมทริกซ์จากreal*8ถึงcomplex*16และดำเนินการตามรูทีนเวอร์ชันคู่ที่ซับซ้อนเหล่านี้ หรือติดกับreal*8และใช้การเพิ่มจำนวนของอาร์เรย์ของฉันและสร้างเมทริกซ์ที่ซับซ้อนของพวกเขาในภายหลัง ดังนั้นฉันควรจะเรียกรูทีนใด (และในลำดับใด) และฉันควรใช้เวอร์ชันสองเท่าจริงหรือเวอร์ชันสองซับซ้อน? ด้านล่างนี้เป็นความพยายามในการทำเช่นนี้กับเวอร์ชันสองเท่าจริง L*tฉันกลายเป็นติดการหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ function time_indep_master(s,L,t) ! s is the length of a side of L, which is square. ! L is a real*8, asymmetric …

10 linear-algebra  fortran  lapack