ถ้า
ฉันพยายามพิสูจน์ข้อความนี้: ถ้าและเป็นตัวแปรสุ่มอิสระX∼N(0,σ21)X∼N(0,σ12)X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2)Y∼N(0,σ22)Y∼N(0,σ22)Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma_2^2) ดังนั้นก็เป็นตัวแปรสุ่มแบบปกติเช่นกันXYX2+Y2√XYX2+Y2\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}} สำหรับกรณีพิเศษ (พูด) เรามีผลลัพธ์ที่รู้จักกันดีว่าเมื่อใดก็ตามที่และเป็นอิสระตัวแปร ในความเป็นจริงเป็นที่รู้กันโดยทั่วไปว่าเป็นอิสระตัวแปรσ1=σ2=σσ1=σ2=σ\sigma_1=\sigma_2=\sigmaXYX2+Y2√∼N(0,σ24)XYX2+Y2∼N(0,σ24)\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)XXXYYYN(0,σ2)N(0,σ2)\mathcal{N}(0,\sigma^2)XYX2+Y2√,X2−Y22X2+Y2√XYX2+Y2,X2−Y22X2+Y2\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}N(0,σ24)N(0,σ24)\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right) หลักฐานของผลลัพธ์สุดท้ายตามด้วยการใช้การแปลงโดยที่และtheta) แน่นอน, ที่นี่และ . ฉันพยายามเลียนแบบหลักฐานนี้สำหรับปัญหาที่เกิดขึ้น แต่ดูเหมือนว่าจะยุ่ง(X,Y)→(R,Θ)→(U,V)(X,Y)→(R,Θ)→(U,V)(X,Y)\to(R,\Theta)\to(U,V)x=rcosθ,y=rsinθx=rcosθ,y=rsinθx=r\cos\theta,y=r\sin\thetau=r2sin(2θ),v=r2cos(2θ)u=r2sin(2θ),v=r2cos(2θ)u=\frac{r}{2}\sin(2\theta),v=\frac{r}{2}\cos(2\theta)U=XYX2+Y2√U=XYX2+Y2U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}V=X2−Y22X2+Y2√V=X2−Y22X2+Y2V=\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}} หากฉันไม่ได้ทำผิดพลาดสำหรับฉันจบลงด้วยความหนาแน่นร่วมของเช่น(u,v)∈R2(u,v)∈R2(u,v)\in\mathbb{R}^2(U,V)(U,V)(U,V) fU,V(u,v)=2σ1σ2πexp[−u2+v2−−−−−−√(u2+v2−−−−−−√+vσ21+u2+v2−−−−−−√−vσ22)]fU,V(u,v)=2σ1σ2πexp[−u2+v2(u2+v2+vσ12+u2+v2−vσ22)]f_{U,V}(u,v)=\frac{2}{\sigma_1\sigma_2\pi}\exp\left[-\sqrt{u^2+v^2}\left(\frac{\sqrt{u^2+v^2}+v}{\sigma_1^2}+\frac{\sqrt{u^2+v^2}-v}{\sigma_2^2}\right)\right] ฉันมีตัวคูณด้านบนเนื่องจากการแปลงไม่ใช่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง222 ดังนั้นความหนาแน่นของจะได้รับโดยซึ่งไม่ได้รับการประเมินอย่างง่ายดายUUU∫RfU,V(u,v)dv∫RfU,V(u,v)dv\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f_{U,V}(u,v)\,\mathrm{d}v ตอนนี้ฉันสนใจที่จะรู้ว่ามีหลักฐานที่ฉันสามารถทำงานกับเท่านั้นและไม่ต้องพิจารณาเพื่อแสดงว่าเป็นเรื่องปกติ การค้นหา CDF ของไม่ได้ดูน่าเชื่อถือสำหรับฉันในขณะนี้ ผมยังต้องการที่จะทำเช่นเดียวกันสำหรับกรณีที่\UUUVVVUUUUUUσ1=σ2=σσ1=σ2=σ\sigma_1=\sigma_2=\sigma นั่นคือถ้าและเป็นอิสระตัวแปรแล้วฉันต้องการแสดงให้เห็นว่าโดยไม่ต้องใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร ถ้าอย่างใดฉันสามารถยืนยันว่าแล้วฉันทำ ดังนั้นคำถามสองข้อที่นี่กรณีทั่วไปและกรณีเฉพาะXXXYYYN(0,σ2)N(0,σ2)\mathcal{N}(0,\sigma^2)Z=2XYX2+Y2√∼N(0,σ2)Z=2XYX2+Y2∼N(0,σ2)Z=\frac{2XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)Z=dXZ=dXZ\stackrel{d}{=}X โพสต์ที่เกี่ยวข้องกับ Math.SE: X2−Y2/X2+Y2−−−−−−−√∼N(0,1)X2−Y2/X2+Y2∼N(0,1)X^2-Y^2/ \sqrt{X^2+Y^2}\sim N(0,1)เมื่อX,Y∼N(0,1)X,Y∼N(0,1)X,Y\sim N(0,1)เป็นอิสระ ระบุว่าเป็น iidแสดงให้เห็นว่าจะ IIDX,YX,YX,YN(0,1)N(0,1)N(0,1)XYX2+Y2√,X2−Y22X2+Y2√XYX2+Y2,X2−Y22X2+Y2\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}N(0,14)N(0,14)N(0,\frac{1}{4}){4}) แก้ไข ปัญหานี้เกิดขึ้นจริงเนื่องจาก L. Shepp ตามที่ฉันค้นพบในแบบฝึกหัดของทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้นและการประยุกต์ใช้ (ฉบับที่ II) โดย Feller พร้อมด้วยคำแนะนำที่เป็นไปได้: แน่นอนและฉันมีความหนาแน่นของในมือU=XYX2+Y2√=11X2+1Y2√U=XYX2+Y2=11X2+1Y2U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}}1X21X2\frac{1}{X^2} เรามาดูกันว่าฉันสามารถทำอะไรได้บ้าง นอกเหนือจากนี้เรายินดีต้อนรับความช่วยเหลือเล็กน้อยเกี่ยวกับอินทิกรัลด้านบนด้วย