ค่าที่คาดหวังของการกระจาย Dirichlet ที่แก้ไขคืออะไร (ปัญหาการรวม)
มันง่ายในการสร้างตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงไดริชเลตโดยใช้ตัวแปรแกมม่าที่มีพารามิเตอร์สเกลเดียวกัน ถ้า: Xi∼Gamma(αi,β)Xi∼Gamma(αi,β) X_i \sim \text{Gamma}(\alpha_i, \beta) แล้ว: (X1∑jXj,…,Xn∑jXj)∼Dirichlet(α1,…,αn)(X1∑jXj,…,Xn∑jXj)∼Dirichlet(α1,…,αn) \left(\frac{X_1}{\sum_j X_j},\; \ldots\; , \frac{X_n}{\sum_j X_j}\right) \sim \text{Dirichlet}(\alpha_1,\;\ldots\;,\alpha_n) ปัญหา จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพารามิเตอร์ของสเกลไม่เท่ากัน Xi∼Gamma(αi,βi)Xi∼Gamma(αi,βi) X_i \sim \text{Gamma}(\alpha_i, \beta_i) แล้วการกระจายตัวของตัวแปรนี้คืออะไร? (X1∑jXj,…,Xn∑jXj)∼?(X1∑jXj,…,Xn∑jXj)∼? \left(\frac{X_1}{\sum_j X_j},\; \ldots\; , \frac{X_n}{\sum_j X_j}\right) \sim \; ? สำหรับฉันมันคงเพียงพอที่จะรู้คุณค่าที่คาดหวังของการกระจายตัวนี้ ฉันต้องการสูตรพีชคณิตแบบปิดโดยประมาณที่สามารถประเมินได้อย่างรวดเร็วโดยคอมพิวเตอร์ สมมุติว่าการประมาณด้วยความเที่ยงตรง 0.01 นั้นเพียงพอแล้ว คุณสามารถสันนิษฐานได้ว่า: αi,βi∈Nαi,βi∈N \alpha_i, \beta_i \in \mathbb{N} หมายเหตุในระยะสั้นงานคือการหาการประมาณของอินทิกรัลนี้: f(α⃗ ,β⃗ )=∫Rn+x1∑jxj⋅∏jβαjjΓ(αj)xαj−1je−βjxjdx1…dxnf(α→,β→)=∫R+nx1∑jxj⋅∏jβjαjΓ(αj)xjαj−1e−βjxjdx1…dxn …