MLE ของ
สมมติว่ามี pdf(X,Y)(X,Y)(X,Y) fθ(x,y)=e−(x/θ+θy)1x>0,y>0,θ>0fθ(x,y)=e−(x/θ+θy)1x>0,y>0,θ>0f_{\theta}(x,y)=e^{-(x/\theta+\theta y)}\mathbf1_{x>0,y>0}\quad,\,\theta>0 ความหนาแน่นของตัวอย่างดึงมาจากประชากรนี้จึงเป็น(X,Y)=(Xi,Yi)1≤i≤n(X,Y)=(Xi,Yi)1≤i≤n(\mathbf X,\mathbf Y)=(X_i,Y_i)_{1\le i\le n} gθ(x,y)=∏i=1nfθ(xi,yi)=exp[−∑i=1n(xiθ+θyi)]1x1,…,xn,y1,…,yn>0=exp[−nx¯θ−θny¯]1x(1),y(1)>0,θ>0gθ(x,y)=∏i=1nfθ(xi,yi)=exp[−∑i=1n(xiθ+θyi)]1x1,…,xn,y1,…,yn>0=exp[−nx¯θ−θny¯]1x(1),y(1)>0,θ>0\begin{align} g_{\theta}(\mathbf x,\mathbf y)&=\prod_{i=1}^n f_{\theta}(x_i,y_i) \\&=\exp\left[{-\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i}{\theta}+\theta y_i\right)}\right]\mathbf1_{x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n>0} \\&=\exp\left[-\frac{n\bar x}{\theta}-\theta n\bar y\right]\mathbf1_{x_{(1)},y_{(1)}>0}\quad,\,\theta>0 \end{align} ตัวประมาณโอกาสสูงสุดของสามารถได้รับเป็นθθ\theta θ^(X,Y)=X¯¯¯¯Y¯¯¯¯−−−√θ^(X,Y)=X¯Y¯\hat\theta(\mathbf X,\mathbf Y)=\sqrt\frac{\overline X}{\overline Y} ฉันต้องการทราบว่าการ จำกัด การกระจายของ MLE นี้เป็นปกติหรือไม่ เป็นที่ชัดเจนว่าเป็นสถิติที่เพียงพอสำหรับตามกลุ่มตัวอย่างคือY)θθ\theta(X¯¯¯¯,Y¯¯¯¯)(X¯,Y¯)(\overline X,\overline Y) ตอนนี้ฉันจะได้กล่าวว่า MLE เป็นอาการปกติโดยไม่ต้องสงสัยถ้ามันเป็นสมาชิกของตระกูลเลขชี้กำลังหนึ่งพารามิเตอร์แบบปกติ ฉันไม่คิดว่าเป็นเช่นนั้นส่วนหนึ่งเป็นเพราะเรามีสถิติเพียงพอสองมิติสำหรับพารามิเตอร์หนึ่งมิติ (เช่นในการแจกแจง )N(θ,θ2)N(θ,θ2)N(\theta,\theta^2) การใช้ความจริงที่ว่าและเป็นตัวแปรเอกซ์โปเนนเชียลที่เป็นอิสระฉันสามารถแสดงให้เห็นว่าการกระจายที่แน่นอนของเป็นเช่นนั้นXXXYYYθθ^θ^\hat\theta θ^θ=dF−−√, where F∼F2n,2nθ^θ=dF, where F∼F2n,2n\frac{\hat\theta}{\theta}\stackrel{d}{=} \sqrt F\quad,\text{ where …