การแพร่กระจายของ
ในการออกกำลังกายเป็นประจำฉันพยายามค้นหาการกระจายของโดยที่ และเป็นอิสระจากตัวแปรสุ่มX2+Y2−−−−−−−√X2+Y2\sqrt{X^2+Y^2}XXXYYYU(0,1)U(0,1) U(0,1) ความหนาแน่นรอยต่อของคือ (X,Y)(X,Y)(X,Y)fX,Y(x,y)=10<x,y<1fX,Y(x,y)=10<x,y<1f_{X,Y}(x,y)=\mathbf 1_{0\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)cosθcosθ\cos\thetaθ∈[0,π2]θ∈[0,π2]\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]zsinθ<1⟹θ<sin−1(1z)zsinθ<1⟹θ<sin−1(1z)z\sin\theta<1\implies\theta<\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)sinθsinθ\sin\thetaθ∈[0,π2]θ∈[0,π2]\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right] ดังนั้นสำหรับเรามีขวา)1<z<2–√1<z<21< z<\sqrt 2cos−1(1z)<θ<sin−1(1z)cos−1(1z)<θ<sin−1(1z)\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)<\theta<\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) ค่าสัมบูรณ์ของการแปลงจาโคเบียนคือ|J|=z|J|=z|J|=z ดังนั้นความหนาแน่นรอยต่อของจึงถูกกำหนดโดย(Z,Θ)(Z,Θ)(Z,\Theta) fZ,Θ(z,θ)=z1{z∈(0,1),θ∈(0,π/2)}⋃{z∈(1,2√),θ∈(cos−1(1/z),sin−1(1/z))}fZ,Θ(z,θ)=z1{z∈(0,1),θ∈(0,π/2)}⋃{z∈(1,2),θ∈(cos−1(1/z),sin−1(1/z))}f_{Z,\Theta}(z,\theta)=z\mathbf 1_{\{z\in(0,1),\,\theta\in\left(0,\pi/2\right)\}\bigcup\{z\in(1,\sqrt2),\,\theta\in\left(\cos^{-1}\left(1/z\right),\sin^{-1}\left(1/z\right)\right)\}} เมื่อรวมเข้ากับเราได้รับ pdf ของเป็นθθ\thetaZZZ fZ(z)=πz210<z<1+(πz2−2zcos−1(1z))11<z<2√fZ(z)=πz210<z<1+(πz2−2zcos−1(1z))11<z<2f_Z(z)=\frac{\pi z}{2}\mathbf 1_{0\sqrt 2 \end{cases} ซึ่งดูเหมือนว่าการแสดงออกที่ถูกต้อง การแยกสำหรับกรณีที่ถึงแม้ว่าจะแสดงนิพจน์ซึ่งไม่ทำให้ PDF ง่ายขึ้นเท่าที่ฉันได้รับมาFZFZF_Z1<z<2–√1<z<21< z<\sqrt 2 ในที่สุดฉันคิดว่าฉันมีภาพที่ถูกต้องสำหรับ CDF: สำหรับ :0<z<10<z<10<z<1 และสำหรับ :1<z<2–√1<z<21<z<\sqrt 2 ส่วนที่แรเงาควรระบุพื้นที่ของพื้นที่{(x,y):0<x,y<1,x2+y2≤z2}{(x,y):0<x,y<1,x2+y2≤z2}\left\{(x,y):0<x,y< 1\,,\,x^2+y^2\le z^2\right\} ภาพให้ผลตอบแทนทันที FZ(z)=Pr(−z2−X2−−−−−−−√≤Y≤z2−X2−−−−−−−√)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪πz24z2−1−−−−−√+∫1z2−1√z2−x2−−−−−−√dx, if 0<z<1, if 1<z<2–√FZ(z)=Pr(−z2−X2≤Y≤z2−X2)={πz24, if 0<z<1z2−1+∫z2−11z2−x2dx, if 1<z<2\begin{align} F_Z(z)&=\Pr\left(-\sqrt{z^2-X^2}\le Y\le\sqrt{z^2-X^2}\right) \\&=\begin{cases}\frac{\pi …