คำถามติดแท็ก graph-theory

ฉันสงสัยว่าปัญหาต่อไปนี้มีชื่อหรือผลลัพธ์ใด ๆ ที่เกี่ยวข้อง ปล่อย G=(V,w)G=(V,w)G = (V,w) เป็นกราฟถ่วงน้ำหนักที่ไหน w(u,v)w(u,v)w(u,v) หมายถึงน้ำหนักของขอบระหว่าง uuu และ vvvและสำหรับทุกคน u,v∈Vu,v∈Vu,v \in V, w(u,v)∈[−1,1]w(u,v)∈[−1,1]w(u,v) \in [-1,1]. ปัญหาคือการหาส่วนย่อยของจุดยอดที่เพิ่มผลรวมของน้ำหนักของขอบที่อยู่ติดกัน: maxS⊆V∑(u,v):u∈S or v∈Sw(u,v)maxS⊆V∑(u,v):u∈S or v∈Sw(u,v)\max_{S \subseteq V} \sum_{(u,v) : u \in S\ \textrm{or}\ v\in S} w(u,v) โปรดทราบว่าฉันนับขอบทั้งที่อยู่ภายในชุดย่อยและที่อยู่นอกชุดย่อยซึ่งเป็นสิ่งที่แตกต่างปัญหานี้จากการตัดสูงสุด อย่างไรก็ตามแม้ว่าทั้งและอยู่ในฉันต้องการนับขอบเพียงครั้งเดียว (มากกว่าสองครั้ง) ซึ่งเป็นสิ่งที่แยกความแตกต่างของวัตถุประสงค์จากการเป็นผลรวมขององศาเท่านั้นuuuvvvSSS(u,v)(u,v)(u,v) โปรดทราบว่าปัญหาดังกล่าวเป็นเรื่องเล็กน้อยหากน้ำหนักขอบทั้งหมดไม่เป็นลบ - เพียงแค่ใช้กราฟทั้งหมด!

9 reference-request  graph-theory  approximation-algorithms  terminology  approximation-hardness 

ฉันมีกราฟซึ่งประกอบด้วยเพียงกราฟดาว กราฟรูปดาวประกอบด้วยโหนดศูนย์กลางหนึ่งโหนดที่มีขอบกับโหนดอื่นทุกโหนด ให้เป็นกราฟดาวที่แตกต่างกันขนาดแตกต่างกันที่มีอยู่ในGเราเรียกชุดของโหนดทั้งหมดซึ่งเป็นศูนย์ในการใด ๆ ดาวกราฟRGGGH1,H2,…,HnH1,H2,...,HnH_1, H_2, \ldots, H_nGGGRRR ตอนนี้สมมติเหล่ากราฟดาวกำลังสร้างขอบดาวอื่น ๆ กราฟดังกล่าวที่ขอบไม่เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นระหว่างโหนดใด ๆ ในRจากนั้นมีจำนวนขอบที่สูงสุดระหว่างโหนดในและโหนดที่ไม่ได้อยู่ในถ้ากราฟควรอยู่ระนาบ?RRRRRRRRR ฉันต้องการขอบบนของจำนวนขอบนั้น หนึ่งผูกไว้บนที่ผมมีในใจคือพิจารณาให้เป็นกราฟระนาบฝ่ายที่เป็นหนึ่งในชุดของจุดและส่วนที่เหลือของจุดอีกแบบชุด เราสนใจขอบระหว่างชุดเหล่านี้ (และ ) เพราะมันเป็นฝ่ายภาพถ่ายจำนวนขอบดังกล่าวเป็นที่สิ้นสุดโดยสองเท่าของจำนวนของโหนดในGRRRAAARRRAAAGGG สิ่งที่ฉันรู้สึกว่าเป็นที่มีผูกพันที่ดีกว่าอาจจะเป็นครั้งที่สองโหนดในบวกจำนวนโหนดในRAAARRR ในกรณีที่คุณสามารถหักล้างสัญชาติญาณของฉันได้นั่นก็จะเป็นสิ่งที่ดีเช่นกัน หวังว่าพวกคุณบางคนสามารถสร้างความผูกพันที่ดีพร้อมกับข้อโต้แย้งที่เกี่ยวข้อง

9 graph-theory  co.combinatorics  puzzles 

ทฤษฎีบทของFáryกล่าวว่ากราฟระนาบที่เรียบง่ายสามารถวาดได้โดยไม่มีจุดตัดเพื่อให้แต่ละขอบเป็นส่วนของเส้นตรง คำถามของฉันคือว่ามีทฤษฎีบทแบบอะนาล็อกสำหรับกราฟของจำนวนข้ามที่มีขอบเขตหรือไม่ โดยเฉพาะเราสามารถพูดได้ว่ากราฟอย่างง่ายที่มีจำนวนข้าม k สามารถวาดเพื่อให้มีการข้าม k ในการวาดภาพและเพื่อให้แต่ละขอบเป็นเส้นโค้งของระดับที่มากที่สุด f (k) สำหรับฟังก์ชั่นบาง f? แก้ไข: ตามที่เดวิดเอปสไตน์กล่าวไว้มันเห็นได้อย่างง่ายดายว่าทฤษฎีบทของFáryแสดงถึงการวาดภาพกราฟที่มีหมายเลขไขว้ที่ k เพื่อให้แต่ละขอบเป็นโซ่รูปหลายเหลี่ยมที่มีโค้งงอมากที่สุด ฉันยังสงสัยอยู่ว่าแต่ละขอบสามารถวาดด้วยเส้นโค้งองศาที่มีขอบเขตได้หรือไม่ เซียน - ชีห์ช้างชี้ให้เห็นว่า f (k) = 1 ถ้า k คือ 0, 1, 2, 3 และ f (k)> 1 มิฉะนั้น

9 graph-theory  co.combinatorics  planar-graphs 

ครั้งแรกที่ถามเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ไม่มีคำตอบ สมมติว่าฉันมีกราฟระนาบกับการฝังภาพถ่ายฉันจะหาการสลายตัวของต้นไม้ได้อย่างไร การสลายตัวของต้นไม้ที่เหมาะสมคืออะไร ddd-by-dddตารางสี่เหลี่ยม ไม่แน่ใจว่าจะกำหนด "ดีที่สุด" ได้อย่างสมบูรณ์ แต่ควรแยกความแตกต่างระหว่างการย่อยสลายด้วยถุงใบใหญ่และการย่อยสลายด้วยถุงขนาดใหญ่หลายใบ

9 ds.algorithms  graph-theory  graph-algorithms  treewidth  integer-lattice 

สมมติว่าเราได้รับกราฟ GGG และพารามิเตอร์ k,ϵk,ϵk,\epsilon. มีช่วงของค่าสำหรับkkk (หรือเป็นไปได้สำหรับทุกคน kkk) ซึ่งเป็นไปได้ที่จะทดสอบว่า GGG คือ ϵϵ\epsilon- ห่างจากการมีชุดขนาดอิสระอย่างน้อยที่สุด kkk ภายในเวลาที่กำหนด O(n+poly(1/ϵ))O(n+poly(1/ϵ))O(n + \text{poly}(1/\epsilon)) ? หากเราใช้ความคิดตามปกติของ ϵϵ\epsilon- ไกล (เช่นที่มากที่สุด ϵn2ϵn2\epsilon n^2 ขอบจะต้องมีการเปลี่ยนแปลงเพื่อให้ได้ชุดดังกล่าว) จากนั้นปัญหาเป็นเรื่องไม่สำคัญสำหรับ k=O(nϵ√)k=O(nϵ)k = O(n\sqrt{\epsilon}). ดังนั้น ดูเหมือนว่าถ้า kkkมีขนาดใหญ่แนวคิดการสุ่มตัวอย่างบางอย่างควรแก้ไขปัญหา มันเป็นเรื่องจริงเหรอ? มีความคิดอื่น ๆ ϵϵ\epsilon- ไกล (เช่นอาจจะ ϵ|E|ϵ|E|\epsilon |E| ขอบแทน) ภายใต้ซึ่งมีผลที่ไม่น่าสนใจ? โดยทั่วไปฉันกำลังมองหาการอ้างอิง ณ จุดนี้

9 ds.algorithms  graph-theory  reference-request  property-testing