1
ฟังก์ชั่นสร้างโมเมนต์
คำถามนี้เกิดขึ้นจากคำถามที่ถามเกี่ยวกับหน้าที่สร้างช่วงเวลา (MGF) สมมติว่าXXXเป็นตัวแปรสุ่มที่ไม่มีขอบเขตหมายถึงการรับค่าใน [−σ,σ][−σ,σ][-\sigma, \sigma]และให้G(t)=E[etX]G(t)=E[etX]G(t) = E[e^{tX}]เป็น MGF จากที่ถูกผูกไว้ใช้ในการพิสูจน์ของความไม่เท่าเทียมกันของ Hoeffdingเรามีที่ G(t)=E[etX]≤eσ2t2/2G(t)=E[etX]≤eσ2t2/2G(t) = E[e^{tX}] \leq e^{\sigma^2t^2/2} ที่ด้านขวาเป็นที่จดจำได้เป็น MGF ของตัวแปรสุ่มศูนย์เฉลี่ยปกติที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานσσσ\sigmaตอนนี้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของXXXจะไม่ใหญ่กว่าσσ\sigmaด้วยค่าสูงสุดที่เกิดขึ้นเมื่อXXXเป็นตัวแปรสุ่มแบบแยกโดยสิ้นเชิงเช่น P{X=σ}=P{X=−σ}=12P{X=σ}=P{X=−σ}=12P\{X = \sigma\} = P\{X = -\sigma\} = \frac{1}{2} . ดังนั้นขอบเขตที่อ้างถึงสามารถถูกคิดว่าเป็นการกล่าวว่า MGF ของตัวแปรสุ่มที่มีค่าศูนย์ซึ่งหมายถึงขอบเขตXXXถูกล้อมรอบด้วย MGF ของตัวแปรสุ่มค่าเฉลี่ยศูนย์ที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่เป็นไปได้สูงสุดที่XXXสามารถ มี. คำถามของฉันคือ: นี่เป็นผลที่รู้จักกันดีของผลประโยชน์อิสระที่ใช้ในสถานที่อื่นนอกเหนือจากการพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมของ Hoeffding และถ้าเป็นเช่นนั้นเป็นที่ทราบกันหรือไม่ว่าจะขยายไปถึงตัวแปรสุ่มด้วยค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ ผลที่แจ้งคำถามนี้จะช่วยให้ช่วงไม่สมมาตร[a,b][a,b][a,b]สำหรับXXXกับ< 0 < Bแต่ไม่ยืนยันในE [ X ] = 0 ผูกพันเป็น G ( …