คำถามติดแท็ก math

0. คำจำกัดความ ลำดับคือรายการของตัวเลข ชุดคือผลรวมของรายการหมายเลขที่ ชุดจำนวนธรรมชาติประกอบด้วย "จำนวนเต็มไม่เป็นลบมากกว่าศูนย์" ทั้งหมด หาร (ในบริบทนี้) ของจำนวนธรรมชาติเจเป็นจำนวนธรรมชาติฉันเช่นว่าเจ ÷ ฉันยังเป็นจำนวนธรรมชาติ 1. PREAMBLE สองคำถามอื่น ๆ บนเว็บไซต์นี้กล่าวถึงแนวคิดของการหารหรือลำดับของตัวหารของจำนวนธรรมชาติซึ่งน้อยกว่า การหาตัวเลขที่เป็นมิตรนั้นเกี่ยวข้องกับการคำนวณผลรวมของตัวหารเหล่านี้เรียกว่าผลรวมของ aliquot หรือ aliquot หมายเลขธรรมชาติทุกตัวมีผลรวมของส่วนลงตัวเองแม้ว่าค่าของผลรวมส่วนแบ่งของจำนวนนั้นไม่จำเป็นต้องไม่ซ้ำกันกับจำนวนนั้น ( Exempli gratiaทุกหมายเลขเฉพาะมีผลรวมส่วนลงตัวจำนวน 1) 2. ความท้าทาย กำหนดจำนวนตามธรรมชาติnส่งคืนnตัวเลขหลักที่ลำดับของผลรวมของส่วนลงตัว หลายซีรีส์แรกในลำดับเริ่มต้นด้วยซีรีย์ 1 คือ: {0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, …

20 code-golf  math  sequence  number-theory 

คำถามนี้อาจยากกว่างาน "สร้างลำดับของตัวเลข" ทั้งหมดเนื่องจากต้องใช้ลำดับสองที่ทำงานอย่างพร้อมเพรียง รอคำตอบจริงๆ! ในหนังสือของเขา " Gödel, Escher, Bach: นิรันดร์สีทองถักเปีย ", Douglas Hofstadter มีลำดับของตัวเลขค่อนข้างน้อยภายในพวกเขาทั้งหมดขึ้นอยู่กับเทอมที่แล้วในทางใดทางหนึ่ง สำหรับข้อมูลในทุกลำดับให้ดูที่หน้าวิกิพีเดียนี้ หนึ่งคู่ของลำดับที่น่าสนใจจริง ๆ คือลำดับหญิงและชายซึ่งมีการกำหนดดังนี้: n > 0สำหรับ นี่คือลำดับหญิงและลำดับชาย งานของคุณคือเมื่อได้รับจำนวนเต็มnเป็นอินพุทให้ส่งคืนรายการลำดับหญิงและลำดับชายด้วยจำนวนคำเท่ากับnในเอาต์พุตสองบรรทัดโดยมีลำดับหญิงในบรรทัดแรกและลำดับชายใน ที่สอง. ตัวอย่างอินพุตและเอาต์พุต: อินพุต: 5 เอาต์พุต:[1, 1, 2, 2, 3] [0, 0, 1, 2, 2] อินพุต: 10 เอาต์พุต:[1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6] [0, …

20 code-golf  math  sequence 

คุณสอนชั้นเรียนของนักเรียนที่มีความชอบที่น่าสนใจสำหรับวิธีการจัดเก้าอี้ของพวกเขา มีข้อกำหนดเฉพาะ 3 ข้อที่พวกเขามีสำหรับวิธีการจัดเก้าอี้: พวกเขาส่วนใหญ่จะถูกจัดเรียงในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแม้ว่ามันจะหมายความว่าเก้าอี้บางตัวว่างเปล่า จะต้องมีเก้าอี้ว่างน้อยที่สุดเท่าที่จะทำได้ พวกเขาจะต้องเป็น "squarey" ที่สุด Squarey-ness พิจารณาจากระยะห่างระหว่างความกว้างและความสูงของสี่เหลี่ยมผืนผ้าต่ำกว่าดีกว่า ตัวอย่างเช่นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็น4x73 จะมีความเฉพาะเจาะจงมากขึ้น "คะแนน" ของข้อตกลงคือระยะห่างระหว่างความกว้างและความสูงบวกกับจำนวนเก้าอี้ที่ว่างเปล่า ลองยกตัวอย่าง สมมติว่าคุณมีนักเรียน 13 คน คุณสามารถจัดเก้าอี้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้: 1x13 2x7 3x5 4x4 1x13ไม่กว้างมาก อันที่จริง 1 และ 13 อยู่ห่างกัน 12 เราจึงให้ข้อตกลงนี้ 12 คะแนน นอกจากนี้ยังมีเก้าอี้ว่าง 0 ตัวดังนั้นเราจึงเพิ่ม 0 คะแนนทำให้ข้อตกลงนี้มีคะแนน 12 ไม่ดีเท่าไหร่ 2x7ดีกว่าอย่างแน่นอน 2 และ 7 อยู่ห่างกันเพียง 5 เราจึงให้ข้อตกลงนี้ 5 คะแนน …

20 code-golf  math 

ฉันรู้สึกทึ่งกับการออกแบบกราฟิกนี้จาก New York Times ซึ่งในแต่ละรัฐของสหรัฐจะถูกแสดงด้วยตารางในตาราง ฉันสงสัยว่าพวกเขาวางสี่เหลี่ยมด้วยมือหรือจริง ๆ แล้วพบว่าตำแหน่งที่เหมาะสมของสี่เหลี่ยม (ภายใต้คำจำกัดความบางอย่าง) เพื่อเป็นตัวแทนของตำแหน่งของรัฐที่อยู่ติดกัน รหัสของคุณจะเป็นส่วนเล็ก ๆ ของความท้าทายในการวางสี่เหลี่ยมอย่างเหมาะสมเพื่อเป็นตัวแทนของรัฐ (หรือรูปร่างสองมิติอื่น ๆ โดยพลการ) โดยเฉพาะมันจะสมมติว่าเรามีศูนย์กลางทางภูมิศาสตร์ทั้งหมดหรือเซนทรอยด์ของรูปร่างใน รูปแบบที่สะดวกและการแสดงข้อมูลที่ดีที่สุดในแผนภาพเช่นนี้คือระยะทางทั้งหมดจากเซนทรอยด์ของรูปร่างไปยังศูนย์กลางของช่องสี่เหลี่ยมที่เป็นตัวแทนของพวกมันน้อยที่สุดโดยมีอย่างน้อยหนึ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแต่ละ ตำแหน่งที่เป็นไปได้ รหัสของคุณจะแสดงรายการคู่พิกัด X และ Y ที่ลอยได้จาก 0.0 ถึง 100.0 (รวม) ในรูปแบบที่สะดวกและจะส่งออกพิกัดจำนวนเต็มแบบไม่ลบของหน่วยสี่เหลี่ยมในตารางที่วางอย่างเหมาะสมเพื่อแสดงข้อมูล รักษาความสงบเรียบร้อย ในกรณีที่การจัดเรียงสี่เหลี่ยมหลายแบบนั้นดีที่สุดคุณสามารถส่งออกการจัดเรียงที่เหมาะสมที่สุดได้ จะได้รับพิกัดระหว่าง 1 ถึง 100 คู่ นี่คือรหัสกอล์ฟรหัสที่สั้นที่สุดชนะ ตัวอย่าง: การป้อนข้อมูล: [(0.0, 0.0), (1.0, 1.0), (0.0, 1.0), (1.0, 0.0)] นี่เป็นวิธีที่ง่าย จุดศูนย์กลางของช่องสี่เหลี่ยมในตารางของเราอยู่ที่ 0.0, …

20 code-golf  math  number  geometry 

สินค้าข้ามของสองเวกเตอร์สามมิติและเป็นที่ไม่ซ้ำกันเวกเตอร์ดังกล่าวว่า:a⃗ a→\vec ab⃗ b→\vec bc⃗ c→\vec c c⃗ c→\vec cเป็นมุมฉากทั้งและa⃗ a→\vec ab⃗ b→\vec b ขนาดของเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดขึ้นโดยและc⃗ c→\vec ca⃗ a→\vec ab⃗ b→\vec b ทิศทางของ ,และในลำดับที่ปฏิบัติตามกฎขวามือa⃗ a→\vec ab⃗ b→\vec bc⃗ c→\vec c มีสูตรเทียบเท่าสองสามอย่างสำหรับผลิตภัณฑ์ข้าม แต่มีสูตรหนึ่งดังต่อไปนี้: a⃗ ×b⃗ =det⎡⎣⎢i⃗ a1b1j⃗ a2b2k⃗ a3b3⎤⎦⎥a→×b→=det[i→j→k→a1a2a3b1b2b3]\vec a\times\vec b=\det\begin{bmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{bmatrix} โดยที่i⃗ i→\vec i , j⃗ j→\vec jและk⃗ k→\vec …

20 code-golf  math  linear-algebra 

พื้นหลัง ผู้คนกำลังพูดถึงการแยกตัวประกอบที่สำคัญในการแชทและเราพบว่าตัวเองกำลังพูดถึงการจ่ายคืน Repunitsเป็นส่วนหนึ่งของตัวเลขที่รู้จักกันเป็น repdigits ซึ่งเป็นตัวเลขที่ประกอบด้วยตัวเลขเพียงการทำซ้ำเช่น222หรือ4444444444444444แต่ repunits 1มีเพียงของ repunits คู่แรกจึง1, 11, 111ฯลฯ เหล่านี้จะถูกอ้างถึงโดยR nดังนั้นR 1 = 1, R 2 = 11ฯลฯ และจะถูกสร้างโดยสูตรด้วยR(n) = (10^n - 1)/9n > 0 การแยกตัวประกอบเฉพาะของหมายเลขการจ่ายซ้ำเหล่านี้ตามลำดับA102380ใน OEIS ตัวอย่างเช่น: R 1 = 1 R 2 = 11 R 3 = 111 = 3 * 37 R 4 = 1111 …

20 code-golf  math  number-theory  primes  factoring 

วัตถุประสงค์ของความท้าทายนี้คือการเขียนโปรแกรมเพื่อแปลงสตริงที่ป้อนเข้าของสิ่งที่สามารถสันนิษฐานได้ว่ามีเพียงตัวอักษรและตัวเลขจากฐานจำนวนมากระหว่าง 2 ถึง 36 เท่าที่จะทำได้และค้นหาผลลัพธ์ 10 ฐาน สายป้อนจะถูกแปลงเป็นฐานทั้งหมดซึ่งในจำนวนนี้จะถูกกำหนดตามตัวอักษรมาตรฐานสำหรับฐานถึง 0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ36: ตัวอย่างเช่นอินพุต2Tจะใช้ได้เฉพาะในฐาน 30 ขึ้นไป โปรแกรมจะแปลง 2T จากฐาน 30 ถึง 36 เป็นทศนิยมและรวมผลลัพธ์ คุณอาจจะคิดว่าสายป้อนมีตัวอักษรและตัวเลขเท่านั้น โปรแกรมของคุณอาจใช้ตัวพิมพ์ใหญ่หรือตัวพิมพ์เล็ก สามารถทำได้ แต่ไม่จำเป็นต้องรองรับทั้งสองอย่าง กรณีทดสอบ ตัวอย่างอินพุต: 2T แผนภูมิของฐานที่เป็นไปได้ Base Value 30 89 31 91 32 93 33 95 34 97 35 99 36 101 ผลลัพธ์: 665 ตัวอย่างอินพุต: 1012 แผนภูมิของฐานที่เป็นไปได้: Base Value …

20 code-golf  math  number  base-conversion 

ความแตกต่างเชิงสัญลักษณ์ 1: Gone Coefishin ' งาน เขียนโปรแกรมที่ใช้พหุนามในxจาก stdin (1 <deg (p) <128) และแยกความแตกต่าง พหุนามป้อนเข้าจะเป็นสตริงของรูปแบบต่อไปนี้: "a + bx + cx^2 + dx^3 +" ... โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ของแต่ละเทอมเป็นจำนวนเต็ม (-128 <a <128) แต่ละคำจะถูกคั่นด้วยช่องว่างหนึ่งช่อง + และช่องว่างอีกช่องหนึ่ง คำเชิงเส้นและค่าคงที่ปรากฏตามด้านบน (เช่นไม่มีx^0หรือx^1) ข้อกำหนดจะปรากฏขึ้นตามลำดับของการเพิ่มระดับและอำนาจเหล่านั้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์จะถูกละเว้น คำศัพท์ทั้งหมดที่มีค่าสัมประสิทธิ์ 1 หรือ -1 แสดงว่าสัมประสิทธิ์อย่างชัดเจน ผลลัพธ์ของคุณต้องมีรูปแบบเดียวกันอย่างแม่นยำ โปรดทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์ในผลลัพธ์อาจมีขนาดใหญ่เท่ากับ 127 * 127 == 16129 ตัวอย่าง "3 + 1x + …

20 code-golf  math  string  polynomials  calculus 

โดยไม่ต้องใช้ฟังก์ชันแฟคตอริ่ง / พหุนามใด ๆ ในตัวปัจจัยพหุนามสมบูรณ์เป็น irreducibles เหนือจำนวนเต็มหรือเขต จำกัด อินพุต โปรแกรม / ฟังก์ชั่นของคุณจะได้รับหมายเลขเฉพาะ (หรือศูนย์) จำนวนหนึ่งnเป็นอินพุต สนาม / แหวนเป็นฟิลด์ จำกัด ของการสั่งซื้อที่ (เช่นZ/nZ) หรือเพียงแค่Zถ้ามีn 0โปรแกรมของคุณอาจล้มเหลวหากnไม่ใช่0หรือเป็นตัวเฉพาะ F[x]พหุนามจะอยู่ใน โปรแกรม / ฟังก์ชั่นของคุณจะได้รับพหุนามเป็นอินพุต มีความยืดหยุ่นในการป้อนข้อมูลให้แน่ใจว่าได้ระบุวิธีที่คุณต้องการรับอินพุต ตัวอย่างเช่นพหุนามสามารถป้อนเป็นรายการของค่าสัมประสิทธิ์หรือในรูปแบบที่คนส่วนใหญ่คาดหวัง (เช่น:) 50x^3 + x^2หรือรูปแบบที่เหมาะสมอื่น ๆ หรือรูปแบบของการป้อนสนาม / แหวนอาจแตกต่างกัน เอาท์พุต โปรแกรม / ฟังก์ชั่นของคุณจะเอาท์พุทพหุนามสมบูรณ์ คุณอาจขยายหลายราก (เช่น(x + 1)(x + 1)แทน(x + 1)^2) คุณสามารถลบช่องว่างระหว่างตัวดำเนินการไบนารี *คุณอาจจะแทนที่ด้วยการตีข่าว …

20 code-golf  math  polynomials  abstract-algebra 

จากนิยามวิกิพีเดียตั้งทฤษฎีของจำนวนธรรมชาติ ชุด N ของตัวเลขธรรมชาติถูกกำหนดเป็นชุดที่เล็กที่สุดที่มี 0 และปิดภายใต้ฟังก์ชันตัวตายตัวแทน S ที่กำหนดโดย S (n) = n ∪ {n} ตัวเลขสองสามตัวแรกที่กำหนดด้วยวิธีนี้คือ 0 = {}, 1 = {0} = {{}}, 2 = {0,1} = {{}, {{}}}, 3 = {0,1,2 } = {{}, {{}}, {{}, {{}}}} การใช้นิยามของตัวเลขธรรมชาตินี้จะนับความยาวของสตริง ป้อน สตริงของอักขระจาก a-zA-Z ทุกความยาว เอาต์พุตความยาวของสตริงในรูปแบบที่กำหนดโดยไม่มีตัวคั่น ตัวอย่าง ป้อน สตริงว่าง เอาท์พุท {} ป้อนข้อมูล …

20 code-golf  math  restricted-source  arithmetic  set-theory 

บทนำ: ไซน์ของxจะได้รับจากสูตร: sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + x^9/9! - x^11/11! // and more follows... โคไซน์ของxจะได้รับจากสูตร: cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + x^8/8! - x^10/10! // and more follows... งาน: รับค่าของxและnเขียนโปรแกรม (ไม่มีฟังก์ชั่น ฯลฯ ) เพื่อส่งออกค่าsin(x)และcos(x)แก้ไขnข้อตกลงของสูตรข้างต้น สมมติว่าxเป็นเรเดียน การป้อนข้อมูล: x n จำนวนทศนิยมx(มีไม่เกิน 3 ตำแหน่งทศนิยม) …

20 code-golf  math 

ลำดับฟีโบนักชีเป็นลำดับที่รู้จักกันดีซึ่งในแต่ละรายการคือผลรวมของก่อนหน้านี้สองและสองรายการแรกที่มี 1. ถ้าเราใช้แบบโมดูโลของแต่ละระยะโดยคงลำดับจะกลายเป็นระยะ ๆ ตัวอย่างเช่นถ้าเราตัดสินใจที่จะคำนวณลำดับ mod 7 เราจะได้รับต่อไปนี้: 1 1 2 3 5 1 6 0 6 6 5 4 2 6 1 0 1 1 ... นี่คือช่วงเวลาของ 16 ลำดับที่เกี่ยวข้องเรียกว่าลำดับ Pisanoถูกกำหนดเช่นนั้นa(n)คือช่วงเวลาของลำดับ fibonacci เมื่อคำนวณแบบโมดูโล n งาน คุณจะควรจะเขียนโปรแกรมหรือฟังก์ชั่นที่เมื่อได้รับจะคำนวณและการส่งออกระยะเวลาของลำดับฟีโบนักชีพอควรn nนั่นคือคำที่ n ในลำดับ Pisano คุณจะต้องสนับสนุนจำนวนเต็มในช่วงเท่านั้น 0 < n < 2^30 นี่คือการแข่งขันรหัส - กอล์ฟดังนั้นคุณควรตั้งเป้าหมายลดขนาดซอร์สโค้ดของคุณตามจำนวนไบต์ กรณีทดสอบ …

20 code-golf  math  number  fibonacci 

รหัสที่สั้นที่สุดในการส่งผ่านความเป็นไปได้ทั้งหมดชนะ ในคณิตศาสตร์การคงอยู่ของตัวเลขจะวัดจำนวนครั้งที่การดำเนินการบางอย่างจะต้องนำไปใช้กับตัวเลขจนกว่าจะถึงเงื่อนไขคงที่ที่แน่นอน คุณสามารถกำหนดความคงทนเพิ่มเติมของจำนวนเต็มบวกโดยการเพิ่มตัวเลขของจำนวนเต็มและทำซ้ำ คุณจะต้องเพิ่มตัวเลขของผลรวมจนกว่าจะพบตัวเลขหนึ่งหลัก จำนวนการทำซ้ำที่ใช้ไปถึงตัวเลขหลักเดียวคือการคงอยู่ของหมายเลขนั้น ตัวอย่างการใช้ 84523: 84523 8 + 4 + 5 + 2 + 3 = 22 2 + 2 = 4 It took two repetitions to find the single digit number. So the additive persistence of 84523 is 2. คุณจะได้รับลำดับของจำนวนเต็มบวกที่คุณต้องคำนวณการคงอยู่ของ แต่ละบรรทัดจะมีจำนวนเต็มที่แตกต่างกันในการประมวลผล อินพุตอาจอยู่ในวิธีการI / O มาตรฐานใดๆ สำหรับแต่ละจำนวนเต็มคุณต้องส่งออกจำนวนเต็มตามด้วยช่องว่างเดียวตามด้วยการคงอยู่ของสารเติมแต่ง จำนวนเต็มแต่ละค่าที่ประมวลผลต้องอยู่ในบรรทัดของตัวเอง …

20 code-golf  math  arithmetic  repeated-transformation 

งานง่าย เขียนล่ามภาษาที่* นี่คือลิงก์ที่ใหญ่กว่าไปยังวิกิ มีโปรแกรม * ที่ใช้ได้เพียงสามโปรแกรมเท่านั้น: * พิมพ์ "Hello World" * พิมพ์ตัวเลขสุ่มระหว่าง 0 ถึง 2,147,483,647 *+* ทำงานตลอดไป กรณีที่สามจะต้องเป็นวงไม่สิ้นสุดตามข้อกำหนดใน คำถามนี้ การป้อนข้อมูล: อินพุตสามารถใช้วิธีการอินพุตที่ยอมรับได้โดยกฎ I / O มาตรฐานของเรา มันจะเป็นหนึ่งในโปรแกรมข้างต้น เอาท์พุท: กรณีแรกควรพิมพ์อย่างแน่นอนHello Worldโดยมีหรือไม่มีตัวแบ่งบรรทัดต่อท้าย สำหรับกรณีที่สองหากจำนวนเต็มสูงสุดของภาษาของคุณน้อยกว่า 2,147,483,647 ให้ใช้จำนวนเต็มสูงสุดของภาษาของคุณ เคสแรกและเคสที่สองสามารถพิมพ์ไปยังเอาต์พุตที่ยอมรับได้โดยกฎ I / O มาตรฐานของเรา กรณีที่สามไม่ควรให้ผลลัพธ์ใด ๆ เกณฑ์การให้คะแนน: เช่นนี้คือcode-golfคำตอบที่สั้นที่สุดเป็นไบต์ชนะ

20 code-golf  interpreter  code-golf  array-manipulation  sorting  code-golf  halting-problem  code-golf  javascript  code-golf  algorithm  code-golf  arithmetic  code-golf  math  counting  code-golf  math  code-golf  decision-problem  radiation-hardening  code-golf  conversion  bitwise  code-golf  number  decision-problem  code-golf  string  decision-problem  code-golf  random  game  code-golf  ascii-art  graphical-output  code-golf  decision-problem  binary-tree  tree-traversal  code-challenge  array-manipulation  code-challenge  graphical-output  path-finding  test-battery  algorithm  code-golf  integer  factorial  code-golf  binary-tree  code-golf  grid  graph-theory  code-golf  regular-expression  quine  code-golf  encoding  code-golf  king-of-the-hill  javascript 

ความท้าทายคือการเขียน codegolf สำหรับถาวรของเมทริกซ์ ถาวรของn-by- nmatrix A= ( ai,j) ถูกกำหนดเป็น นี่แสดงให้เห็นถึงชุดของพีชคณิตทั้งหมดของS_n[1, n] เป็นตัวอย่าง (จาก wiki): รหัสของคุณสามารถป้อนข้อมูลได้ตามต้องการและให้ผลลัพธ์ในรูปแบบที่สมเหตุสมผล แต่โปรดรวมคำตอบของคุณไว้ในตัวอย่างการทำงานเต็มรูปแบบรวมถึงคำแนะนำที่ชัดเจนเกี่ยวกับวิธีการป้อนรหัสของคุณ เพื่อทำให้การท้าทายมีความน่าสนใจยิ่งขึ้นเมทริกซ์อาจรวมจำนวนเชิงซ้อน อินพุตเมทริกซ์เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเสมอและจะมีค่าสูงสุด 6 คูณ 6 คุณจะต้องสามารถจัดการเมทริกซ์เปล่าที่มีค่าถาวรได้ 1ไม่จำเป็นต้องจัดการเมทริกซ์เปล่า (มันเป็นสาเหตุมากเกินไป) ปัญหา) ตัวอย่าง การป้อนข้อมูล: [[ 0.36697048+0.02459455j, 0.81148991+0.75269667j, 0.62568185+0.95950937j], [ 0.67985923+0.11419187j, 0.50131790+0.13067928j, 0.10330161+0.83532727j], [ 0.71085747+0.86199765j, 0.68902048+0.50886302j, 0.52729463+0.5974208j ]] เอาท์พุท: -1.7421952844303492+2.2476833142265793j การป้อนข้อมูล: [[ 0.83702504+0.05801749j, 0.03912260+0.25027115j, 0.95507961+0.59109069j], [ 0.07330546+0.8569899j , …

20 code-golf  math  matrix