คำถามติดแท็ก convergence

ที่ฉันเข้าใจมันมีสองประเภทหลักของวิธีการวนซ้ำสำหรับการแก้ระบบเชิงเส้นของสมการ: วิธีการหยุดนิ่ง (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Multigrid) วิธีการของ Krylov Subspace (Conjugate Gradient, GMRES และอื่น ๆ ) ฉันเข้าใจว่าวิธีการที่อยู่กับที่ส่วนใหญ่ทำงานโดยการทำซ้ำไปเรื่อย ๆ (ปรับให้เรียบ) โหมดฟูริเยร์ของข้อผิดพลาด ตามที่ฉันเข้าใจแล้ววิธีการไล่ระดับสีแบบคอนจูเกต (วิธีการสเปซ Krylov) ทำงานโดย "ก้าว" ผ่านชุดทิศทางการค้นหาที่ดีที่สุดจากพลังของเมทริกซ์ที่นำไปใช้กับส่วนที่เหลือหลักการนี้เป็นเรื่องธรรมดาสำหรับวิธีการทั้งหมดของ Krylov หรือไม่? ถ้าไม่เราจะอธิบายหลักการที่อยู่เบื้องหลังการรวมตัวกันของวิธีการย่อย Krylov โดยทั่วไปได้อย่างไรnnn

24 linear-algebra  convergence  krylov-method  conjugate-gradient 

หละหลวมเท่าเทียมทฤษฎีบทระบุว่าความมั่นคงและเสถียรภาพของโครงการเชิงตัวเลขสำหรับปัญหาค่าเชิงเส้นเริ่มต้นเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการบรรจบกัน แต่สำหรับปัญหาที่ไม่เชิงเส้นวิธีการเชิงตัวเลขสามารถนำมารวมกันอย่างน่าเชื่อถือมากกับผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องแม้จะมีความสอดคล้องและมีเสถียรภาพ ตัวอย่างเช่นกระดาษนี้แสดงให้เห็นว่าวิธีการสั่งซื้อ Godunov วิธีแรกที่นำไปใช้กับสมการน้ำตื้นเชิงเส้น 1D มาบรรจบกับการแก้ปัญหาที่ไม่ถูกต้อง เห็นได้ชัดว่าการรวมตัวเองภายใต้ตาข่ายและการปรับแต่งขั้นตอนเวลานั้นไม่เพียงพอ แต่โดยทั่วไปการแก้ปัญหาที่แน่นอนไม่สามารถใช้กับ PDE ที่ไม่เชิงเส้นได้ดังนั้นวิธีการหนึ่งจะกำหนดได้ว่าวิธีการเชิงตัวเลข

19 pde  stability  convergence 

อัตราการรวมทางทฤษฎีสำหรับตัวแก้พิษแบบ FFT คืออะไร? ฉันกำลังแก้สมการปัวซอง: กับ n ( x , y , z ) = 3∇2VH( x , y, z) = - 4 πn ( x , y, z)∇2VH(x,Y,Z)=-4πn(x,Y,Z)\nabla^2 V_H(x, y, z) = -4\pi n(x, y, z) บนโดเมน[0,2]×[0,2]×[0,2]โดยมีเงื่อนไขขอบเขตเป็นระยะ ความหนาแน่นประจุนี้เป็นกลางสุทธิ วิธีแก้ปัญหานั้นได้รับ: VH(x)=∫n(n ( x , y, z) = 3π( ( x - …

16 pde  convergence  fourier-analysis  poisson 

พื้นหลัง ฉันกำลังแก้ไขตัวแปรของสมการOrnstein-Zernikeจากทฤษฎีของเหลว abstractly ปัญหาสามารถแสดงเป็นการแก้ปัญหาจุดคงค( R ) = C ( R )ที่เป็นผู้ดำเนิน Integro-เกี่ยวกับพีชคณิตและค( R )เป็นฟังก์ชั่นการแก้ปัญหา (ฟังก์ชั่นความสัมพันธ์ OZ โดยตรง) ฉันกำลังแก้ไขโดยการทำซ้ำของ Picard ซึ่งฉันได้เตรียมโซลูชันทดลองใช้เบื้องต้นc 0 ( r )และสร้างโซลูชันทดลองใช้ใหม่โดยโครงการ c j + 1 = α (Ac(r)=c(r)Ac(r)=c(r)A c(r)=c(r)AAAc(r)c(r)c(r)c0(r)c0(r)c_0(r) ที่ αเป็นพารามิเตอร์ที่ปรับค่าได้ซึ่งควบคุมการผสมของ cและ A c ที่ใช้ในโซลูชันทดลองใช้ถัดไป สำหรับการสนทนานี้สมมติว่าค่าของ αนั้นไม่สำคัญ ฉันทำซ้ำจนกว่าซ้ำลู่ไปภายในความอดทนต้องการ ε : Δ J + 1 ≡ ∫ d …

13 iterative-method  convergence 

สมมติว่าฉันมีฟังก์ชั่นที่น่าสนใจดังต่อไปนี้: มันมีคุณสมบัติที่ไม่พึงประสงค์บางอย่างเช่นอนุพันธ์อย่างต่อเนื่องไม่เป็นที่หลายเหตุผลของπ ฉันสงสัยว่าไม่มีรูปแบบปิดอยู่ฉ( x ) = ∑k ≥ 1cosk xk2( 2 - cos)k x ).f(x)=∑k≥1cos⁡kxk2(2−cos⁡kx). f(x) = \sum_{k\geq1} \frac{\cos k x}{k^2(2-\cos kx)}. ππ\pi ฉันสามารถคำนวณได้โดยการคำนวณผลรวมบางส่วนและใช้การคาดการณ์ของ Richardson แต่ปัญหาคือมันช้าเกินไปที่จะคำนวณฟังก์ชันให้เป็นจำนวนทศนิยมที่ดี (เช่น 100 น่าจะดี) มีวิธีที่สามารถจัดการกับฟังก์ชั่นนี้ได้ดีขึ้นหรือไม่? นี่คือพล็อตของมีบางสิ่งประดิษฐ์:ฉ'( πx )f′(πx)f'(\pi x)

13 convergence  extrapolation 

ตามวิกิพีเดียอัตราการบรรจบกันแสดงเป็นอัตราส่วนเฉพาะของเวกเตอร์บรรทัดฐาน ฉันพยายามที่จะเข้าใจความแตกต่างระหว่างอัตรา "เชิงเส้น" และ "กำลังสอง" ณ จุดต่าง ๆ ของเวลา (โดยทั่วไป "ตอนเริ่มต้น" ของการวนซ้ำและ "ท้าย") อาจกล่าวได้ว่า: อีk + 1ek+1e_{k+1}xk + 1xk+1x_{k+1}∥ ek∥‖ek‖\|e_k\| กับสมการกำลังสองบรรทัดฐานของข้อผิดพลาดของiteration x_ {k + 1}ล้อมรอบด้วย\ | e_k \ | ^ 2 x k + 1 ‖ e k ‖ 2อีk + 1ek+1e_{k+1}xk + 1xk+1x_{k+1}∥ ek∥2‖ek‖2\|e_k\|^2 การตีความดังกล่าวหมายถึงว่ามีจำนวนน้อย (จำนวนน้อย) วนซ้ำของอัลกอริธึมเชิงเส้นบรรจบเชิงเส้น A1 (การกำหนดค่าเริ่มต้นแบบสุ่มสันนิษฐาน) …

13 iterative-method  convergence 

ฉันพยายามแก้ระบบสมการต่อไปนี้สำหรับตัวแปรและ (ทั้งหมดเป็นค่าคงที่):P,x1P,x1P,x_1x2x2x_2 A(1−P)2−k1x1=0AP2−k2x2=0(1−P)(r1+x1)4L1−P(r1+x2)4L2=0A(1−P)2−k1x1=0AP2−k2x2=0(1−P)(r1+x1)4L1−P(r1+x2)4L2=0\frac{A(1-P)}{2}-k_1x_1=0 \\ \frac{AP}{2}-k_2x_2=0 \\ \frac{(1-P)(r_1+x_1)^4}{L_1}-\frac{P(r_1+x_2)^4}{L_2}=0 ฉันสามารถเห็นว่าฉันสามารถเปลี่ยนระบบสมการนี้เป็นสมการเดียวของตัวแปรเดียวโดยการแก้สมการ 1 และ 2 สำหรับและตามลำดับและแทนพวกเขาเป็นสมการ 3 ในการทำเช่นนั้นฉันสามารถใช้ matlab's คำสั่งเพื่อค้นหาวิธีแก้ไข โดยใช้พารามิเตอร์ ,และผมพบว่าวิธีการแก้ปัญหาที่แท้จริงจะเป็นP(P)(P)(P)x1x1x_1x2x2x_2fzerok1=k2=1k1=k2=1k_1=k_2=1r1=r2=0.2r1=r2=0.2r_1=r_2=0.2A=2A=2A=2P=x1=x2=0.5P=x1=x2=0.5P=x_1=x_2=0.5 อย่างไรก็ตามเมื่อฉันใช้วิธีของนิวตันนำไปใช้กับระบบสมการ 3 แบบเดิม - 3 สมการการวนซ้ำไม่เคยมาบรรจบกันกับการแก้ปัญหาไม่ว่าฉันจะเริ่มใกล้ทางออกจริงมากแค่ไหน*) x∗=(P∗,x∗1,x∗2)=(0.5,0.5,0.5)x∗=(P∗,x1∗,x2∗)=(0.5,0.5,0.5)x^*=(P^*,x_1^*,x_2^*)=(0.5,0.5,0.5) ตอนแรกฉันสงสัยว่าบั๊กของฉันในการใช้วิธีการของนิวตัน หลังจากตรวจสอบหลายครั้งฉันไม่พบข้อผิดพลาด จากนั้นฉันลองใช้การคาดเดาเริ่มต้นและเห็น: Jacobian เป็นเอกพจน์ ฉันรู้ว่าจาโคเบียนที่เป็นเอกเทศสามารถลดลำดับการรวมตัว แต่ฉันไม่คิดว่ามันจะช่วยป้องกันการลู่เข้าสู่ทางออกที่แท้จริงได้ x0=x∗x0=x∗x_0=x^* ดังนั้นคำถามของฉันคือว่าจาโคเบียนของระบบที่ทางออกที่แท้จริงคือเอกพจน์: มีเงื่อนไขอื่นใดอีกบ้างที่จำเป็นในการพิสูจน์ว่าวิธีการของนิวตันจะไม่มาบรรจบกับราก? กลยุทธ์โลกาภิวัตน์ (เช่นการค้นหาบรรทัด) รับประกันการบรรจบกันแม้ว่าจาโคเบียนจะเป็นเอกเทศหรือไม่

12 optimization  convergence  newton-method 

ในวิทยาศาสตร์การคำนวณเรามักจะพบกับระบบเชิงเส้นขนาดใหญ่ซึ่งเราจำเป็นต้องแก้ปัญหาด้วยวิธีการที่มีประสิทธิภาพบางอย่างเช่นโดยวิธีโดยตรงหรือวนซ้ำ หากเรามุ่งเน้นไปที่หลังเราจะกำหนดได้อย่างไรว่าวิธีการวนซ้ำสำหรับการแก้ระบบเชิงเส้นขนาดใหญ่นั้นได้มาบรรจบกันในทางปฏิบัติ เป็นที่ชัดเจนว่าเราสามารถทำการทดลองและวิเคราะห์ข้อผิดพลาด (เปรียบเทียบทำไมตัวแก้ปัญหาเชิงเส้นแบบวนซ้ำของฉันจึงไม่มาบรรจบกัน ) และพึ่งพาวิธีการวนซ้ำซึ่งรับประกันการบรรจบกันโดยการพิสูจน์หรือมีฐานประสบการณ์เสียง (เช่น สำหรับระบบสมมาตรและไม่สมมาตรตามลำดับ) แต่สิ่งที่สามารถทำได้เพื่อสร้างการบรรจบกันในทางปฏิบัติ? และทำอะไร

11 linear-algebra  iterative-method  convergence  krylov-method 

ฉันต้องการทราบว่านักแก้ปัญหาเชิงเส้นคลาสสิกประเภทใด (เช่น Gauss-Seidel, Jacobi, SOR) รับประกันว่าจะมาบรรจบกันสำหรับปัญหาโดยที่คือกึ่งแน่นอนที่เป็นบวกและแน่นอนA x = bAx=ขAx=bAAAb ∈ i m ( A )ข∈ผมม.(A)b \in im(A) (ประกาศเป็นแบบกึ่งแน่นอนและไม่แน่นอน)AAA

10 linear-algebra  iterative-method  convergence  linear-solver 

ผมเริ่มที่จะเรียนรู้จาก OpenFOAM กวดวิชาโพรงซึ่งมีที่เว็บไซต์ เมื่อทำการทดลองกับหมายเลข Reynolds ที่แตกต่างกันในส่วน "2.1.8.2 เรียกใช้รหัส" กวดวิชาบอกให้รันตัวแก้ปัญหาอีกครั้งเนื่องจาก "มีเหตุผลที่จะเพิ่มเวลาแก้ปัญหา" แต่เมื่อฉันทำสิ่งนี้ฉันไม่สามารถหาความแตกต่างใด ๆ ระหว่างการไหลในโพรงด้วยค่าต่ำ (0.2) และจำนวนสูง (0.6) จำนวนคูรันต์ ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าฉันจำเป็นต้องทำการจำลองซ้ำอีกครั้ง?

10 software  fluid-dynamics  convergence  openfoam 

ใน Hartree-Fock วิธีการของฟิลด์ที่สอดคล้องกันของตัวเองในการแก้สมการชอิเล็กทรอนิกส์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาเราพยายามที่จะลดพลังงานพื้นดินของระบบอิเล็กตรอนในสนามไฟฟ้าภายนอกด้วยความเคารพต่อการหมุน orbitals,\} { χ i }E0E0E_{0}{ χผม}{χผม}\{\chi_{i}\} เราทำสิ่งนี้โดยการแก้สมการ Hartree-Fock 1- อิเล็กตรอนซ้ำ ๆ โดยที่คือสปิน / อวกาศเชิงพิกัดของอิเล็กตรอน ,คือค่าลักษณะเฉพาะของวงโคจรและคือตัวดำเนินการ Fock (ตัวดำเนินการอิเล็กตรอน 1 ตัว) ด้วยรูปแบบ (คนบวกวิ่งกว่านิวเคลียสนี่มีเป็นค่าใช้จ่ายนิวเคลียร์ในนิวเคลียสและเป็นอยู่ ระยะห่างระหว่างอิเล็กตรอนและนิวเคลียส )xฉันฉันεฉฉันฉฉัน=-1ฉ^ผมχ ( xผม) = ε ไค( xผม)ฉ^ผมχ(xผม)=εχ(xผม)\hat{f}_{i}\chi(\mathbf{x}_{i})=\varepsilon\chi(\mathbf{x}_{i})xผมxผม\mathbf{x}_{i}ผมผมiεε\varepsilonฉ^ผมฉ^ผม\hat{f}_{i} ZArฉันAฉันAV H Fฉันฉ^ผม= - 12∇2ผม- ∑A = 1MZARฉัน+ VH Fผมฉ^ผม=-12∇ผม2-ΣA=1MZARผมA+VผมHF\hat{f}_{i} = -\frac{1}{2}\nabla^{2}_{i}-\sum_{A=1}^{M}\frac{Z_{A}}{r_{iA}}+V^{\mathrm{HF}}_{i}ZAZAZ_{A}RฉันRผมAr_{iA}ผมผมiAAAVH FผมVผมHFV^{\mathrm{HF}}_{i}เป็นค่าเฉลี่ยที่อาจเกิดขึ้นจากอิเล็กตรอนเนื่องจากอิเล็กตรอนตัวอื่นทั้งหมดในระบบ เนื่องจากขึ้นอยู่กับวงโคจรหมุนของอิเล็กตรอนตัวอื่นเราจึงสามารถพูดได้ว่าตัวดำเนินการ Fock นั้นขึ้นอยู่กับลักษณะเฉพาะของมัน ใน "โมเดิร์นควอนตัมเคมี" …

10 computational-chemistry  iterative-method  convergence  hartree-fock 

วิธีการของนิวตันในการแก้สมการไม่เชิงเส้นเป็นที่ทราบกันว่ามาบรรจบกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อการเดาเริ่มต้นคือ "ปิดเพียงพอ" กับการแก้ปัญหา "ปิดเพียงพอ" คืออะไร มีวรรณกรรมเกี่ยวกับโครงสร้างของแหล่งท่องเที่ยวนี้หรือไม่?

9 iterative-method  convergence  nonlinear-equations 

ฉันรู้ว่าประมาณชิ้นองค์ประกอบ จำกัด เชิงเส้นของ พอใจ ให้Uเป็นพอราบรื่นและฉ \ in L ^ 2 (U)uhuhu_hΔu(x)=f(x)in Uu(x)=0on ∂UΔu(x)=f(x)in Uu(x)=0on ∂U \Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U ∥u−uh∥H10(U)≤Ch∥f∥L2(U)‖u−uh‖H01(U)≤Ch‖f‖L2(U) \|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)} UUUf∈L2(U)f∈L2(U)f\in L^2(U) คำถาม:ถ้าf∈H−1(U)∖L2(U)f∈H−1(U)∖L2(U)f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)เรามีการประมาณการแบบอะนาล็อกต่อไปนี้หรือไม่ซึ่งอนุพันธ์ตัวหนึ่งถูกนำออกไปทั้งสองด้าน: ∥u−uh∥L2(U)≤Ch∥f∥H−1(U)?‖u−uh‖L2(U)≤Ch‖f‖H−1(U)? \|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad? คุณสามารถให้การอ้างอิง? ความคิด:เนื่องจากเรายังคงมีu∈H10(U)u∈H01(U)u\in H^1_0(U)ก็ควรจะเป็นไปได้ที่จะได้รับการบรรจบกันในL2(U)L2(U)L^2(U)(U) โดยสังหรณ์ใจสิ่งนี้ควรเป็นไปได้ด้วยฟังก์ชั่นค่าคงที่ทีละชิ้น

9 finite-element  pde  reference-request  convergence  elliptic-pde 

ลองคิดดูว่าคุณมีปัญหาในมิติของ Hilbert หรือ Banach มิติที่ไม่สิ้นสุด (คิดถึง PDE หรือปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดในพื้นที่) และคุณมีอัลกอริธึมที่แปรปรวนอย่างอ่อนช้อยไปยังโซลูชัน หากคุณแยกแยะปัญหาและใช้อัลกอริทึม discretized ที่สอดคล้องกับปัญหาการบรรจบที่อ่อนแอคือการบรรจบกันในทุกพิกัดและด้วยเหตุนี้ยังแข็งแรง คำถามของฉันคือ: การบรรจบที่รุนแรงเช่นนี้รู้สึกหรือดูแตกต่างจากการบรรจบที่ได้จากการบรรจบที่แข็งแกร่งแบบเก่าที่ดีของอัลกอริทึมแบบไม่มีที่สิ้นสุดดั้งเดิมหรือไม่? หรือเป็นรูปธรรมมากขึ้น: พฤติกรรมที่ไม่ดีประเภทใดที่สามารถเกิดขึ้นได้ด้วยวิธี ตัวฉันเองมักไม่ค่อยมีความสุขเมื่อฉันสามารถพิสูจน์การบรรจบที่อ่อนแอ แต่จนถึงตอนนี้ฉันไม่สามารถสังเกตเห็นปัญหาบางอย่างกับผลลัพธ์ของวิธีการแม้ว่าฉันจะปรับขนาดปัญหา discretized เป็นมิติที่สูงขึ้น โปรดทราบว่าฉันไม่สนใจในปัญหา "การลดทอนครั้งแรกมากกว่าการเพิ่มประสิทธิภาพ" กับ "การเพิ่มประสิทธิภาพก่อนที่จะลดทอน" และฉันตระหนักถึงปัญหาที่อาจเกิดขึ้นหากคุณใช้อัลกอริทึมกับปัญหาที่แยกแยะได้ซึ่งไม่ได้ใช้คุณสมบัติทั้งหมดร่วมกับปัญหา ซึ่งอัลกอริทึมนั้นถูกออกแบบมาสำหรับ อัปเดต:ตามตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมให้พิจารณาปัญหาการปรับให้เหมาะสมกับตัวแปรในและแก้ไขด้วยบางอย่างเช่นการเฉื่อย (เฉื่อย) ไปข้างหน้าถอยหลังหรือวิธีอื่น ๆ ที่รู้จักการลู่เข้าอ่อนแอในเท่านั้น สำหรับปัญหา discretized คุณสามารถใช้วิธีการเดียวกันและด้วย discretization ที่ถูกต้องคุณจะได้รับอัลกอริทึมเดียวกันคือถ้าคุณ discretized อัลกอริทึมโดยตรง มีอะไรผิดพลาดเมื่อคุณเพิ่มความแม่นยำในการแยกส่วนL2L2L^2L2L2L^2

9 algorithms  convergence