คำถามติดแท็ก quadrature

ฉันมีปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพทั่วโลกที่ไม่ท้าทายเพื่อแก้ปัญหา ปัจจุบันผมใช้กล่องเครื่องมือเพิ่มประสิทธิภาพของ MATLAB (โดยเฉพาะfmincon()กับอัลกอริทึม = 'sqp') ซึ่งมีประสิทธิภาพมาก อย่างไรก็ตามรหัสของฉันส่วนใหญ่อยู่ใน Python และฉันก็ชอบที่จะเพิ่มประสิทธิภาพใน Python ด้วยเช่นกัน มีตัวแก้ NLP ที่มีการผูก Python ที่สามารถแข่งขันได้fmincon()หรือไม่ มันจะต้อง สามารถรับมือกับความไม่เสมอภาคและความไม่เท่าเทียมกันได้ ไม่ต้องการให้ผู้ใช้จัดหายาโคบ ไม่เป็นไรหากไม่รับประกันว่าจะมีประสิทธิภาพระดับโลก ( fmincon()ไม่) fmincon()ฉันกำลังมองหาบางสิ่งบางอย่างที่ทนทานลู่ไปยังท้องถิ่นที่เหมาะสมแม้สำหรับความท้าทายปัญหาและแม้ว่ามันจะช้ากว่าเล็กน้อย ฉันได้พยายามแก้หลายที่ให้บริการผ่าน OpenOpt และพบว่าพวกเขาจะด้อยกว่าของ fmincon/sqpMATLAB เพียงเพื่อเน้นฉันมีสูตรเวิ้งว้างและแก้ปัญหาที่ดี เป้าหมายของฉันคือการเปลี่ยนภาษาเพื่อให้เวิร์กโฟลว์มีความคล่องตัวมากขึ้น เจฟฟ์ชี้ให้เห็นว่าคุณลักษณะบางอย่างของปัญหาอาจเกี่ยวข้องกัน พวกเขาคือ: 10-400 ตัวแปรการตัดสินใจ 4-100 ข้อ จำกัด ความเท่าเทียมกันของพหุนาม (ดีกรีพหุนามมีช่วงตั้งแต่ 1 ถึงประมาณ 8) จำนวนข้อ จำกัด ของความไม่เท่าเทียมกันที่มีเหตุผลเท่ากับจำนวนตัวแปรการตัดสินใจประมาณสองเท่า ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์เป็นหนึ่งในตัวแปรการตัดสินใจ ชาวจาโคเบียนแห่งข้อ จำกัด ความเท่าเทียมมีความหนาแน่นสูงเช่นเดียวกับชาวจาโคเบียนแห่งข้อ จำกัด …

77 python  optimization  nonlinear-programming  linear-algebra  linear-solver  sparse-matrix  ode  automatic-differentiation  efficiency  matrix  symbolic-computation  pde  multiphysics  operator-splitting  fluid-dynamics  pde  multigrid  pde  hyperbolic-pde  quadrature  precision  numerical-analysis  fluid-dynamics  interpolation  c  ode  testing  data-sets  pde  fluid-dynamics  hyperbolic-pde  pde  finite-element  fluid-dynamics  stability  incompressible  pde  hyperbolic-pde  fluid-dynamics  pde  precision  floating-point  convex-optimization  conditioning  pde  hyperbolic-pde  stability  implicit-methods  explicit-methods  fluid-dynamics  accuracy  pde  hyperbolic-pde  petsc  linear-algebra 

ฉันจำเป็นต้องประเมินตัวเลขอินทิกรัลด้านล่าง: ∫∞0sinc′(xr)rE(r)−−−−√dr∫0∞sinc′(xr)rE(r)dr\int_0^\infty \mathrm{sinc}'(xr) r \sqrt{E(r)} dr ที่,x∈R+และλ,κ,ν>0 นี่Kคือฟังก์ชัน Bessel ที่แก้ไขของชนิดที่สอง ในกรณีของฉันโดยเฉพาะฉันมีλ=0.00313,κ=0.00825และν=0.33E(r)=r4(λκ2+r2−−−−−−√)−ν−5/2K−ν−5/2(λκ2+r2−−−−−−√)E(r)=r4(λκ2+r2)−ν−5/2K−ν−5/2(λκ2+r2)E(r) = r^4 (\lambda\sqrt{\kappa^2+r^2})^{-\nu-5/2} K_{-\nu-5/2}(\lambda\sqrt{\kappa^2+r^2})x∈R+x∈R+x \in \mathbb{R}_+λ,κ,ν>0λ,κ,ν>0\lambda, \kappa, \nu >0KKKλ=0.00313λ=0.00313\lambda = 0.00313κ=0.00825κ=0.00825\kappa = 0.00825ν=0.33ν=0.33\nu = 0.33 0.33 ฉันใช้ MATLAB และผมก็มีความพยายามในตัวฟังก์ชั่นintegralและquadgkซึ่งจะช่วยให้ฉันมากของข้อผิดพลาด (ดูด้านล่าง) ฉันได้พยายามธรรมชาติสิ่งอื่น ๆ อีกมากมายเช่นกันเช่นการบูรณาการโดยส่วนและข้อสรุปปริพันธ์จากไป( k + 1 ) x πkxπkxπkx\pi(k+1)xπ(k+1)xπ(k+1)x\pi ดังนั้นคุณมีข้อเสนอแนะเกี่ยวกับวิธีที่ฉันควรลองต่อไปหรือไม่ UPDATE (คำถามเพิ่มเติม) ฉันอ่านกระดาษ @Pedro ที่เชื่อมโยงกับและฉันไม่คิดว่ามันยากเกินไปที่จะเข้าใจ อย่างไรก็ตามฉันมีคำถามสองสามข้อ: มันจะโอเคไหมที่จะใช้เป็นองค์ประกอบพื้นฐานψ kในวิธีของ univariate …

25 matlab  quadrature  special-functions 

อะไรคือสิ่งที่ล้ำสมัยในการประมาณอินทิกรัลของการแกว่งสูงทั้งในมิติเดียวและมิติที่สูงกว่าเพื่อความแม่นยำตามอำเภอใจ?

23 quadrature  precision  numerical-analysis 

วิธีการเชิงตัวเลขส่วนใหญ่สำหรับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมให้ถือว่า integrand เป็นฟังก์ชั่นกล่องดำ ถ้าเรามีข้อมูลเพิ่มเติม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราจะได้ประโยชน์อะไรจากการรู้อนุพันธ์สองสามข้อแรกของปริพันธ์ ข้อมูลอื่นใดที่อาจมีค่า สำหรับอนุพันธ์โดยเฉพาะ: การประมาณข้อผิดพลาดสำหรับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสขั้นพื้นฐาน อาจมีวิธีในการเลือกความละเอียดการสุ่มตัวอย่างล่วงหน้าแทนการใช้การปรับตัวแบบไดนามิกหรือไม่? ฉันสนใจในทั้งสองกรณีและหลายมิติ univariate

19 quadrature  error-estimation 

ฉันอยากรู้ว่ามีวิธีที่รวดเร็วในการคำนวณระยะทางแบบยุคลิดของเวกเตอร์สองตัวใน Octave หรือไม่ ดูเหมือนว่าไม่มีฟังก์ชั่นพิเศษสำหรับสิ่งนั้นดังนั้นฉันควรใช้สูตรด้วยsqrtหรือไม่

18 octave  discretization  nonlinear-equations  newton-method  visualization  fluid-dynamics  mesh-generation  finite-element  finite-volume  optimization  algorithms  approximation  fluid-dynamics  navier-stokes  comsol  modeling  optimization  sparse-matrix  matrix  condition-number  visualization  matlab  quadrature  blas  intel-mkl  finite-element  gpu  discontinuous-galerkin  mathematica  optimization  convex-optimization  algorithms  reference-request  matlab  statistics  finite-element  numerical-analysis  petsc  molecular-dynamics  machine-learning  statistics  visualization  open-source  statistics  image-processing  visualization  python  petsc  finite-element  fluid-dynamics  stability  navier-stokes  incompressible 

ฉันได้ยินมาโดยบังเอิญว่าเมื่อมีคนพยายามทำตัวเลขที่เป็นส่วนหนึ่งของแบบฟอร์ม ∫∞0f(x)J0(x)dx∫0∞f(x)J0(x)dx\int_0^\infty f(x) J_0(x)\,\mathrm{d}x ด้วยf(x)f(x)f(x)ราบรื่นและมีความประพฤติดี (เช่นตัวเองไม่ได้มีความผันผวนสูง, ไม่มีความผิด, ฯลฯ ) จากนั้นมันจะช่วยให้ความแม่นยำในการเขียนใหม่เป็น 1π∫π0∫∞0f(x)cos(xsinθ)dxdθ1π∫0π∫0∞f(x)cos⁡(xsin⁡θ)dxdθ\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \int_0^\infty f(x) \cos(x\sin\theta) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}\theta และดำเนินการอินทิกรัลภายในเป็นตัวเลขก่อน ฉันไม่เห็นเหตุผลที่ฉันควรคาดหวังว่าสิ่งนี้จะทำงานได้ แต่แล้วความแม่นยำของวิธีการเชิงตัวเลขก็ไม่ค่อยชัดเจน แน่นอนฉันรู้ว่าวิธีที่ดีที่สุดที่จะทำคือการใช้วิธีการที่เหมาะสำหรับอินทิกรัลสโคปแบบนี้ แต่เพื่อความอยากรู้อยากเห็น ใครสามารถยืนยันหรือลบล้างการเปลี่ยนแปลงนี้มีแนวโน้มที่จะปรับปรุงความถูกต้องของอินทิกรัล? และ / หรือชี้ให้ฉันไปยังแหล่งที่มาอธิบายหรือไม่

15 quadrature  special-functions 

ฉันกำลังรู้สึกหงุดหงิดกับวิธีที่ matlab จัดการกับการรวมเชิงตัวเลขกับ Scipy ฉันสังเกตเห็นความแตกต่างต่อไปนี้ในรหัสทดสอบด้านล่าง: รุ่นของ Matlab ทำงานเร็วกว่างูหลามของฉันโดยเฉลี่ย24 เท่า ! เวอร์ชันของ Matlab สามารถคำนวณอินทิกรัลโดยไม่มีการเตือนขณะที่ python คืนค่า nan+nanj ฉันจะทำอะไรได้บ้างเพื่อให้แน่ใจว่าฉันจะได้รับประสิทธิภาพการทำงานเหมือนกันในงูใหญ่เทียบกับสองประเด็นที่กล่าวถึง? ตามเอกสารทั้งสองวิธีควรใช้ "การปรับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสส่วนกลาง" เพื่อประมาณค่าอินทิกรัล ด้านล่างเป็นรหัสในสองเวอร์ชัน (ค่อนข้างคล้ายกันแม้ว่างูใหญ่ต้องการให้มีการสร้างฟังก์ชั่นครบถ้วนเพื่อให้สามารถจัดการกับการรวมที่ซับซ้อนได้) หลาม import numpy as np from scipy import integrate import time def integral(integrand, a, b, arg): def real_func(x,arg): return np.real(integrand(x,arg)) def imag_func(x,arg): return np.imag(integrand(x,arg)) real_integral = integrate.quad(real_func, a, …

13 matlab  python  quadrature  numba 

ฉันมีฟังก์ชั่นเช่นนั้น∫ R 3 f ( x , y , z ) d V มี จำกัด และฉันต้องการประมาณอินทิกรัลนี้ ฉ( x , y, z)f(x,y,z)f(x,y,z) ∫R3ฉ( x , y, z) dV∫R3f(x,y,z)dV\int_{R^3} f(x,y,z)dV ฉันคุ้นเคยกับกฎการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสและการประมาณ monte carlo ของอินทิกรัล แต่ฉันเห็นความยากลำบากในการนำไปใช้กับโดเมนที่ไม่มีขอบเขต ในกรณีมอนเต้คาร์โลเราจะสุ่มตัวอย่างพื้นที่ที่ไม่มีที่สิ้นสุดได้อย่างไร (โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าพื้นที่ที่มีส่วนสำคัญยิ่งต่ออินทิกรัลไม่ทราบ) ในกรณีพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสฉันจะหาจุดที่ดีที่สุดได้อย่างไร ฉันควรแก้ไขพื้นที่ขนาดใหญ่โดยพลการที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและใช้กฎการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบกระจัดกระจายหรือไม่? ฉันจะประมาณค่าอินทิกรัลนี้ได้อย่างไร

13 monte-carlo  quadrature 

คำถามสองข้อแรกเท่านั้นที่มีความสำคัญ อื่น ๆ เป็นเพียงภาพประกอบ พื้นหลัง สี่เหลี่ยมจัตุรัสขั้นสูงเช่นคอมโพสิตระดับสูงกว่านิวตัน –Cotes, Gauß – Legendre และ Romberg ส่วนใหญ่จะมีไว้สำหรับกรณีที่หนึ่งสามารถตัวอย่างฟังก์ชั่นอย่างละเอียด แต่ไม่รวมการวิเคราะห์ อย่างไรก็ตามสำหรับฟังก์ชั่นที่มีโครงสร้างที่ดีกว่าช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่าง (ดูภาคผนวก A สำหรับตัวอย่าง) หรือเสียงการวัดพวกเขาไม่สามารถแข่งขันด้วยวิธีง่าย ๆ เช่นกฎกึ่งกลางหรือกฎสี่เหลี่ยมคางหมู (ดูภาคผนวก B สำหรับการสาธิต) สิ่งนี้ค่อนข้างใช้งานง่ายเช่นกฎคอมโพสิตของซิมป์สันนั้น“ ทิ้ง” หนึ่งในสี่ของข้อมูลโดยการกำหนดน้ำหนักให้ต่ำลง เหตุผลเดียวที่ทำให้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังกล่าวดีกว่าสำหรับฟังก์ชั่นที่น่าเบื่ออย่างเพียงพอนั่นคือการจัดการผลกระทบของเส้นขอบอย่างเหมาะสมนั้นมีมากกว่าผลกระทบของข้อมูลที่ถูกทิ้ง จากมุมมองอื่นมันชัดเจนสำหรับฉันว่าสำหรับฟังก์ชั่นที่มีโครงสร้างหรือเสียงที่ดีตัวอย่างที่อยู่ห่างจากชายแดนของโดเมนการรวมจะต้องมีระยะเวลาเท่ากันและมีน้ำหนักเกือบเท่ากัน (สำหรับตัวอย่างจำนวนมาก ) ในทางกลับกันการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของฟังก์ชั่นดังกล่าวอาจได้รับประโยชน์จากการจัดการผลกระทบชายแดนที่ดีกว่า คำถาม สมมติว่าฉันต้องการรวมข้อมูลที่มีโครงสร้างแบบมิติเดียวที่มีเสียงดังหรือแบบละเอียด จำนวนของจุดสุ่มตัวอย่างได้รับการแก้ไข (เนื่องจากการประเมินฟังก์ชั่นมีราคาแพง) แต่ฉันสามารถวางมันได้อย่างอิสระ อย่างไรก็ตามฉัน (หรือวิธีการ) ไม่สามารถวางจุดสุ่มตัวอย่างแบบโต้ตอบเช่นขึ้นอยู่กับผลลัพธ์จากจุดสุ่มตัวอย่างอื่น ๆ ฉันยังไม่ทราบภูมิภาคที่มีปัญหาที่อาจเกิดขึ้นก่อน ดังนั้นบางอย่างเช่นGauß – Legendre (จุดสุ่มตัวอย่างที่ไม่เท่ากัน) ก็โอเค การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสปรับตัวไม่ได้เนื่องจากต้องการจุดสุ่มตัวอย่างแบบโต้ตอบ มีวิธีการใดที่นอกเหนือไปจากวิธีการจุดกึ่งกลางที่เสนอสำหรับกรณีเช่นนี้หรือไม่? หรือ: …

12 reference-request  quadrature 

มีวิธีการหลายตระกูลสำหรับการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เป็นตัวเลข หากฉันมีคลาสรวมเฉพาะฉันจะเลือกวิธีในอุดมคติได้อย่างไร คำถามที่เกี่ยวข้องที่จะถามทั้งสองเกี่ยวกับการรวม (เช่นมันราบรื่นหรือไม่มันมีเอกพจน์) และปัญหาการคำนวณ (เช่นการยอมรับข้อผิดพลาดงบประมาณการคำนวณ)? คำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้ออกกฎหรือส่งเสริมครอบครัวของวิธีการต่าง ๆ ได้อย่างไร เพื่อความง่ายให้พิจารณาเพียงอินทิกรัลเดี่ยวหรือมิติต่ำ ตัวอย่างเช่นบทความ Wikipedia เกี่ยวกับ QUADPACKระบุว่าQAGSรูทีนทั่วไปค่อนข้างเป็นธรรม" ใช้การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ปรับได้ทั่วโลกโดยใช้การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส Gauss – Kronrod 21 จุดในแต่ละช่วงย่อยโดยเร่งด้วยอัลกอริทึม epsilon ของ Peter Wynn " การตัดสินใจครั้งนี้เป็นอย่างไร เราจะตัดสินใจคล้ายกันได้อย่างไรเมื่อรู้มากกว่า

12 quadrature 

ฉันกำลังจัดการกับอินทิกรัลยุ่งยากที่แสดง NaNs ที่ค่าบางค่าใกล้ศูนย์และในขณะนี้ฉันกำลังจัดการกับพวกเขาค่อนข้างโหดร้ายโดยใช้คำสั่ง ISNAN ซึ่งกำหนดให้ integrand เป็นศูนย์เมื่อเกิดเหตุการณ์นี้ขึ้น ฉันลองสิ่งนี้กับไลบรารี NMS ใน FORTRAN (รูทีน q1da - q1dax ไม่แตกต่างกัน) และกับไลบรารี GSL ใน C (ใช้รูทีน QAGS) ฉันดู CQUAD (ส่วนหนึ่งของไลบรารี GSL สำหรับ C) ซึ่งออกแบบมาโดยเฉพาะเพื่อจัดการ NaNs และ INF ในอินทิเกรต แต่มีข้อมูลที่มีประโยชน์น้อยมากในการอ้างอิงและไม่มีตัวอย่างโปรแกรมออนไลน์ที่ฉันสามารถหาได้ ไม่มีใครรู้รูทีนการรวมตัวเลขอื่น ๆ สำหรับ C หรือ FORTRAN ซึ่งสามารถทำงานได้หรือไม่?

12 quadrature 

ฉันต้องการรวมการแสดงออกพหุนามกับองค์ประกอบ 4-node ใน 3D หนังสือหลายเล่มเกี่ยวกับ FEA ครอบคลุมกรณีที่การบูรณาการจะดำเนินการมากกว่าองค์ประกอบ non-noned แบน 4 โดยพลการ ขั้นตอนปกติในกรณีนี้คือการหา Jacobi matrix และใช้มันเป็นตัวกำหนดเพื่อเปลี่ยนพื้นฐานการรวมเป็นหนึ่งในมาตรฐานที่ฉันมีข้อ จำกัด การรวมง่ายกว่า [-1; 1] และเทคนิคการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส Gauss-Legendre ในคำอื่น ๆ∫Sf(x,y) dxdy∫Sf(x,y) dxdy\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\, จะลดลงเป็นรูปแบบของ∫−11∫−11f~(e,n) |det(J)|dedn∫1−1∫1−1f~(e,n) |det(J)|dedn\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n แต่ในกรณี 2D ฉันเปลี่ยนองค์ประกอบตามอำเภอใจแบนเป็นรูปทรงแบน แต่รูปทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 คูณ 2 องค์ประกอบ 4 มิติแบบ 3 มิติไม่แบนโดยทั่วไป แต่ฉันคิดว่ามันยังสามารถแมปกับระบบพิกัด 2D ซึ่งเกี่ยวข้องกับระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ฉันไม่สามารถหาวิธีแสดง {x, y, …

12 finite-element  quadrature 

ฉันมีอินทิกรัลไม่เหมาะสม (2 มิติ) ผม= ∫AW( x , y)F( x , y)d x d yI=∫AW(x,y)F(x,y)dxdyI=\int_A \frac{W(x,y)}{F(x,y)}\,\mbox{d}x\mbox{d}y ที่โดเมนของการรวมมีขนาดเล็กกว่าx = [ - 1 , 1 ] , Y = [ - 1 , 1 ]แต่ต่อไป จำกัด โดยF ( x , Y ) > 0 เนื่องจากFและWราบรื่นและW ≠ 0AAAx = [ - 1 , 1 …

12 monte-carlo  quadrature 

ในหลักสูตรขั้นสูงนี้เกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีฟังก์ชันที่ซับซ้อนณ จุดหนึ่งในการออกกำลังกายอินทิกรัลของการแกว่ง I(λ)=∫∞−∞cos(λcosx)sinxxdxI(λ)=∫−∞∞cos⁡(λcos⁡x)sin⁡xxdxI(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} \cos (\lambda \cos x) \frac{\sin x}{x} d x จะต้องมีการประมาณค่าขนาดใหญ่ของโดยใช้วิธีจุดอานในระนาบเชิงซ้อนλλ\lambda เนื่องจากธรรมชาติมีความผันผวนสูงอินทิกรัลนี้จึงยากต่อการประเมินโดยใช้วิธีการส่วนใหญ่ นี่เป็นสองส่วนของกราฟของ integrand และสำหรับที่ระดับต่างกัน:λ=10λ=10\lambda = 10 ลำดับการประมาณเชิงซีมโทติคคือ I1(λ)=cos(λ−14π)2πλ−−−√I1(λ)=cos⁡(λ−14π)2πλI_{1}(\lambda) = \cos \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda}} และการปรับแต่งเพิ่มเติม (เล็กลงมาก) จะเพิ่มคำศัพท์ I2(λ)=18sin(λ−14π)2πλ3−−−√I2(λ)=18sin⁡(λ−14π)2πλ3I_2(\lambda)=\frac{1}{8} \sin \left(\lambda-\frac{1}{4} \pi\right) \sqrt{\frac{2 \pi}{\lambda^{3}}} กราฟของค่าที่ประมาณเป็นฟังก์ชันของมีลักษณะดังนี้:λλ\lambda ทีนี้คำถามของฉันมาดูว่าการประมาณนั้นดีแค่ไหนฉันต้องการเปรียบเทียบกับ "มูลค่าที่แท้จริง" ของอินทิกรัลหรือมากกว่ากับการประมาณที่ดีกับอินทิกรัลเดียวกันโดยใช้อัลกอริธึมอิสระ เนื่องจากขนาดเล็กของการแก้ไข subleading ฉันคาดว่าสิ่งนี้จะใกล้เคียงจริง ฉันพยายามประเมินอินทิกรัลสำหรับโดยใช้อัลกอริธึมอื่น แต่มีความสำเร็จน้อยมาก: Mathematica และ Matlab โดยใช้ตัวรวมตัวเลขเริ่มต้นไม่สามารถจัดการเพื่อสร้างค่าที่มีความหมาย (และรายงานสิ่งนี้อย่างชัดเจน), mpmathแทนที่และวิธีการ …

11 quadrature  integration  oscillations 

ว่าฉันมีฟังก์ชั่นที่ฉันต้องการจะบูรณาการมากกว่าจัตุรมุข 3 ถ้าเป็นกฎเกณฑ์การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของเกาส์จะเป็นทางออกที่ดี แต่ฉันรู้ว่าเป็นเสียงประสาน พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส Gauss สามารถเร่งความเร็วได้เท่าใดโดยใช้ข้อมูลนี้ฉ: R3→ Rฉ:R3→Rf : \mathbf{R}^3 \to \mathbf{R}T⊂ R3T⊂R3T \subset \mathbf{R}^3ฉฉfฉฉf ตัวอย่างเช่นถ้าเป็นทรงกลมแทนการประเมินหนึ่งครั้งที่ศูนย์กลางของทรงกลมจะให้คำตอบที่แน่นอนโดยคุณสมบัติค่าเฉลี่ยTTTฉฉf การค้นหาปรากฏขึ้นในบทความต่อไปนี้ซึ่งน่าสนใจ แต่สรุปกรณีทรงกลมในทิศทางที่แตกต่างกัน Bojanov และ Dimitrov, Gaussian ขยายสูตรคิวบ์สำหรับฟังก์ชัน polyharmonic

11 quadrature