1
ตัวประมาณที่ไม่เอนเอียงพร้อมความแปรปรวนขั้นต่ำสำหรับ
ให้เป็นตัวอย่าง feom สุ่มกระจายสำหรับ<1 กล่าวคือX1,...,XnX1,...,Xn X_1, ...,X_nGeometric(θ)Geometric(θ)Geometric(\theta)0<θ<10<θ<10<\theta<1 pθ(x)=θ(1−θ)x−1I{1,2,...}(x)pθ(x)=θ(1−θ)x−1I{1,2,...}(x)p_{\theta}(x)=\theta(1-\theta)^{x-1} I_{\{1,2,...\}}(x) ค้นหาตัวประมาณค่าที่เป็นกลางพร้อมค่าความแปรปรวนขั้นต่ำสำหรับg(θ)=1θg(θ)=1θg(\theta)=\frac{1}{\theta} ความพยายามของฉัน: ตั้งแต่การกระจายทางเรขาคณิตจากครอบครัวชี้แจงสถิติเสร็จสมบูรณ์และเพียงพอสำหรับ\นอกจากนี้หากเป็นตัวประมาณสำหรับมันจะไม่เอนเอียง ดังนั้นโดยทฤษฎีบท Rao-Blackwell และทฤษฎีบท Lehmann-Schefféทฤษฎีบท เป็นตัวประมาณที่เรากำลังมองหา∑Xi∑Xi\sum X_i θθ \thetaT(X)=X1T(X)=X1T(X)=X_1g(θ)g(θ)g(\theta)W(X)=E[X1|∑Xi]W(X)=E[X1|∑Xi]W(X) = E[X_1|\sum X_i] เรามีดังต่อไปนี้: W(X)=∑ti=1iP(X1=i|∑Xi=t)=∑ti=1iP(∑i≥2Xi=t−i)P(X1=i)P(∑i≥1Xi=t)W(X)=∑i=1tiP(X1=i|∑Xi=t)=∑i=1tiP(∑i≥2Xi=t−i)P(X1=i)P(∑i≥1Xi=t)W(X) = \sum_{i=1}^t i\, P(X_1=i|\sum X_i =t) = \sum_{i=1}^t i\, \frac{P(\sum_{i \geq 2} X_i =t-i)P(X_1=i)}{P(\sum_{i \geq 1}X_i =t)} เนื่องจากตัวแปรเป็น iid เรขาคณิตการกระจายผลรวมนั้นมีทั้งแบบทวินามลบ แต่ฉันกำลังมีปัญหาในการประมาณค่าสัมประสิทธิ์ทวินามและให้คำตอบสุดท้ายด้วยแบบฟอร์มที่ดีกว่าถ้าเป็นไปได้ฉันจะดีใจถ้าฉันได้รับความช่วยเหลือ ขอบคุณ! แก้ไข:ฉันไม่คิดว่าพวกคุณเข้าใจความสงสัยของฉัน:ฉันคิดว่าฉันทำทุกขั้นตอนที่ถูกต้องอาจจะลืมฟังก์ชั่นตัวบ่งชี้บางอย่างเท่านั้น นี่คือสิ่งที่ฉันทำ: ...=∑i=1ti(t−i−1n−2)θn−i(1−θ)t−i−n+1θ(1−θ)i−1(t−1n−1)θn(1−θ)t−n=∑i=1ti(t−i−1n−2)(t−1n−1)...=∑i=1ti(t−i−1n−2)θn−i(1−θ)t−i−n+1θ(1−θ)i−1(t−1n−1)θn(1−θ)t−n=∑i=1ti(t−i−1n−2)(t−1n−1)...=\sum_{i=1}^ti\frac{\binom{t-i-1}{n-2}\theta^{n-i}(1-\theta)^{t-i-n+1} \theta(1-\theta)^{i-1}}{\binom{t-1}{n-1}\theta^n(1-\theta)^{t-n}}=\sum_{i=1}^t …