วิทยาศาสตร์การคำนวณ

ฉันสงสัยว่าเงื่อนไขขอบเขตของ Dirichlet ในเมทริกซ์องค์ประกอบกระจัดกระจายทั่วโลกนั้นมีการใช้งานจริงได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่ ตัวอย่างเช่นสมมติว่าเมทริกซ์องค์ประกอบไฟไนต์โกลบอลของเราคือ: K=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢520- 102410001632- 1037000203⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥และเวกเตอร์ด้านขวาb =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢ข1ข2ข3ข4ข5⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥K=[520-102410001632-1037000203]และเวกเตอร์ด้านขวาข=[ข1ข2ข3ข4ข5]K = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 3 & 7 & 0 \\ …

9 finite-element  sparse-matrix  boundary-conditions 

การแนะนำ Multigrid ตามปกติจะใช้ตารางสี่เหลี่ยม การแก้ไขค่านั้นตรงไปข้างหน้า: แค่สอดแทรกเชิงเส้นตรงบนขอบระหว่างสองโหนดที่อยู่ติดกันของกริดหยาบเพื่อค้นหาค่าของโหนดกริดที่ดีบนขอบนั้น สำหรับแอปพลิเคชั่น FEM ฉันมีกริดซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยม "ทอพอโลยี" เพื่อให้การเชื่อมต่อโหนดเหมือนในกริดสี่เหลี่ยม อย่างไรก็ตามโหนดนั้นไม่ได้เรียงตัวกันอย่างสมบูรณ์บนกริด แต่อาจเดินทางระยะทางเล็ก ๆ เพื่อให้เข้ากับรูปทรงเรขาคณิตได้ดีขึ้นในขณะที่ยังคงรักษาการเชื่อมต่อเช่นเดียวกับในกริดสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ ตาข่ายลักษณะสิ่งที่ต้องการที่: ตาข่ายตัวอย่างเช่น คุณเห็น: การเชื่อมต่อเป็น "รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าปกติ" แต่ตำแหน่งของโหนดไม่ ฉันสามารถภาพแผนการแก้ไขทางเรขาคณิต "สมเหตุสมผล" หลายแบบสำหรับการตั้งค่าเช่นนี้ คำถามทั่วไปคือ: Multigrid ต้องการกริดสี่เหลี่ยมที่เรียงตัวกันอย่างสมบูรณ์หรือจะทำงานกับสถานการณ์ที่อธิบายข้างต้นได้หรือไม่ตราบใดที่การแก้ไขเป็น "ดี"? หรือดีกว่าที่จะใช้พีชคณิตแบบหลายจุดในกรณีนั้น (ซึ่งฉันไม่ชอบเพราะมันไม่ได้ใช้งานง่ายเหมือน multigrid ทางเรขาคณิต)

9 multigrid 

ลองคิดดูว่าคุณมีปัญหาในมิติของ Hilbert หรือ Banach มิติที่ไม่สิ้นสุด (คิดถึง PDE หรือปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดในพื้นที่) และคุณมีอัลกอริธึมที่แปรปรวนอย่างอ่อนช้อยไปยังโซลูชัน หากคุณแยกแยะปัญหาและใช้อัลกอริทึม discretized ที่สอดคล้องกับปัญหาการบรรจบที่อ่อนแอคือการบรรจบกันในทุกพิกัดและด้วยเหตุนี้ยังแข็งแรง คำถามของฉันคือ: การบรรจบที่รุนแรงเช่นนี้รู้สึกหรือดูแตกต่างจากการบรรจบที่ได้จากการบรรจบที่แข็งแกร่งแบบเก่าที่ดีของอัลกอริทึมแบบไม่มีที่สิ้นสุดดั้งเดิมหรือไม่? หรือเป็นรูปธรรมมากขึ้น: พฤติกรรมที่ไม่ดีประเภทใดที่สามารถเกิดขึ้นได้ด้วยวิธี ตัวฉันเองมักไม่ค่อยมีความสุขเมื่อฉันสามารถพิสูจน์การบรรจบที่อ่อนแอ แต่จนถึงตอนนี้ฉันไม่สามารถสังเกตเห็นปัญหาบางอย่างกับผลลัพธ์ของวิธีการแม้ว่าฉันจะปรับขนาดปัญหา discretized เป็นมิติที่สูงขึ้น โปรดทราบว่าฉันไม่สนใจในปัญหา "การลดทอนครั้งแรกมากกว่าการเพิ่มประสิทธิภาพ" กับ "การเพิ่มประสิทธิภาพก่อนที่จะลดทอน" และฉันตระหนักถึงปัญหาที่อาจเกิดขึ้นหากคุณใช้อัลกอริทึมกับปัญหาที่แยกแยะได้ซึ่งไม่ได้ใช้คุณสมบัติทั้งหมดร่วมกับปัญหา ซึ่งอัลกอริทึมนั้นถูกออกแบบมาสำหรับ อัปเดต:ตามตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมให้พิจารณาปัญหาการปรับให้เหมาะสมกับตัวแปรในและแก้ไขด้วยบางอย่างเช่นการเฉื่อย (เฉื่อย) ไปข้างหน้าถอยหลังหรือวิธีอื่น ๆ ที่รู้จักการลู่เข้าอ่อนแอในเท่านั้น สำหรับปัญหา discretized คุณสามารถใช้วิธีการเดียวกันและด้วย discretization ที่ถูกต้องคุณจะได้รับอัลกอริทึมเดียวกันคือถ้าคุณ discretized อัลกอริทึมโดยตรง มีอะไรผิดพลาดเมื่อคุณเพิ่มความแม่นยำในการแยกส่วนL2L2L^2L2L2L^2

9 algorithms  convergence 

ฉันได้พบว่าวิธีการของเส้นเป็นวิธีที่เป็นธรรมชาติมากที่จะคิดเกี่ยวกับการแยกส่วนของ PDE ดังนั้นฉันมักจะเริ่มต้นที่ความคิดนั้นเมื่อนำเสนอด้วยชุดของสมการใหม่ ฉันไม่เคยเห็น PDE มาก่อนซึ่งสิ่งนี้จะไม่ทำงาน สิ่งที่ฉันสงสัยคือถ้ามีวิธีการแยกประเภท (หรือประเภทของ PDE) ซึ่งไม่สามารถกำหนดผ่านวิธีของบรรทัด ฉันคาดหวังว่า PDE ใด ๆ ที่อนุพันธ์เวลามีความหมายโดยนัยในสมการและไม่สามารถแก้ไขได้สำหรับกรณีนี้จะเป็นกรณีหนึ่ง (แม้ว่าฉันจะไม่รู้ตัวอย่างที่แท้จริงของเรื่องนี้) ฉันกำลังมองหาเหตุผลว่าทำไมวิธีการของเส้นใช้งานได้เสมอหรือตัวอย่างเคาน์เตอร์

9 pde  method-of-lines 

ความเป็นมา: ฉันได้สร้างโซลูชันตัวเลขที่ใช้งานได้หนึ่งตัวสำหรับ Navier-Stokes 2d เท่านั้นสำหรับหลักสูตร มันเป็นทางออกสำหรับการไหลของโพรงที่ขับเคลื่อนด้วยฝา อย่างไรก็ตามหลักสูตรดังกล่าวได้พูดคุยเกี่ยวกับสกีมาจำนวนหนึ่งสำหรับการแยกเชิงพื้นที่และการแยกเวลา ฉันใช้หลักสูตรการจัดการสัญลักษณ์มากขึ้นที่นำไปใช้กับ NS ด้วย แนวทางตัวเลขเพื่อจัดการการแปลงสมการวิเคราะห์ / สัญลักษณ์จาก PDE เป็นผลต่างที่แน่นอน ได้แก่ : ออยเลอร์ FTFS, FTCS, BTCS หละหลวม การเล่นต้องเตจุดกึ่งกลาง หละหลวม-Wendroff MacCormack ออฟเซ็ตกริด (การกระจายเชิงพื้นที่ช่วยให้ข้อมูลสามารถแพร่กระจายได้) TVD สำหรับฉันในเวลาเหล่านี้ดูเหมือนว่า "ชื่อแทรกพบรูปแบบและมันเกิดขึ้นในการทำงาน" หลายสิ่งเหล่านี้มาจากก่อนเวลา "ซิลิคอนที่อุดมสมบูรณ์" พวกเขาทั้งหมดประมาณ ในวงเงินที่พวกเขา ในทางทฤษฎีนำไปสู่การ PDE ในขณะที่ Direct Numerical Simulation ( DNS ) คือความสนุกและ Reynolds Averaged Navier-Stokes ( RANS ) …

9 finite-difference  fluid-dynamics  machine-learning  numerics 

ในวรรณกรรม FEM มักใช้วิธีกึ่งผันแปรในการแก้ปัญหาของ PDE ที่ขึ้นกับเวลา ฉันไม่ได้เห็นวิธีการแปรปรวนอย่างเต็มที่นั่นคือที่ FEM พื้นที่และเวลา discretised โดยบางทีอาจช่วยให้การใช้ตาข่ายเวลาอวกาศที่ไม่มีโครงสร้าง ถึงแม้ว่าวิธีการลงเวลาอาจจะง่ายกว่าในการใช้งาน แต่มีเหตุผลบางประการที่ว่าทำไมการผสานเวลาว่างไม่สามารถใช้งานได้? ฉันคิดว่าเราต้องปรับแต่งตาข่ายให้เคารพคุณสมบัติทางกายภาพของปัญหาที่กำหนด แต่ฉันไม่แน่ใจ

9 pde  finite-element  discretization  time-integration 

พิจารณาสถานการณ์ที่คุณต้องการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นโดยใช้วิธี Krylov ที่มีเงื่อนไขก่อนหน้า แต่การใช้ตัวช่วยล่วงหน้านั้นเกี่ยวข้องกับการแก้ไขระบบเสริมซึ่งทำด้วยวิธี Krylov ที่มีเงื่อนไขก่อนอื่น ในหนึ่งครั้งคุณสามารถเรียกใช้การแก้ปัญหาภายในเพื่อรวมกันในแต่ละขั้นตอนของการแก้ปัญหาด้านนอก ในสุดโต่งอื่น ๆ คุณไม่สามารถแก้ปัญหาภายในได้เลย แต่แทนที่มันด้วยอุปกรณ์ปรับสภาพชั้นในแทน อยู่ตรงกลางคุณสามารถตัดทอนลูป Krylov ด้านในหลังจากทำซ้ำจำนวนคงที่หรือหลังจากความอดทนที่แน่นอน สังเกตุฉันได้เจอสถานการณ์ที่รุนแรงครั้งแรกดีกว่าและสถานการณ์ต่าง ๆ ที่รุนแรงที่สุดที่สองจะดีกว่า (ในแง่ของต้นทุนทั้งหมด) อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถหาเหตุผลที่ชัดเจนว่าทำไมบางสถานการณ์จึงชอบกลยุทธ์หนึ่งมากกว่าอีกกลยุทธ์หนึ่ง มีแนวทางหรือทฤษฎีเกี่ยวกับเมื่อกลยุทธ์ที่แตกต่างเหล่านี้จะดีกว่า?

9 preconditioning  krylov-method 

วิธีการส่วนใหญ่สำหรับอินทิกรัลสโคปที่ฉันรู้เกี่ยวกับการจัดการอินทิกรัลของแบบฟอร์ม ∫f(x)eiωxdx∫f(x)eiωxdx \int f(x)e^{i\omega x}\,dx ที่ไหน ωω\omega มีขนาดใหญ่ ถ้าฉันมีอินทิกรัลของแบบฟอร์ม ∫f(x)g1(x)⋯gn(x)dx,∫f(x)g1(x)⋯gn(x)dx, \int f(x)g_1(x)\cdots g_n(x)\,dx, ที่ไหน gkgkg_k ฟังก์ชั่นการแกว่งซึ่งมีรากเป็นที่รู้จักกันเพียงประมาณ แต่รูปแบบของซีมโทติคบางชนิด gk(x)∼eiωkxgk(x)∼eiωkx g_k(x) \sim e^{i\omega_k x} เป็นที่รู้จักกับความถี่ ωkωk\omega_k แตกต่างกันทั้งหมด (และ QQ\mathbb{Q}- อิสระอย่างแน่วแน่) แล้วฉันจะประเมินอินทิกรัลนี้ได้อย่างไร? ไม่เหมือนในกรณีของ eiωxeiωxe^{i\omega x}ปริพันธ์พหุนาม ∫xa∏gk(x)∫xa∏gk(x)\int x^a \prod g_k(x) ไม่เป็นที่รู้จักดังนั้นฉันจึงไม่สามารถสร้างชุดของพหุนามพหุนามสำหรับ f(x)f(x)f(x) และรวม interpolants อย่างแน่นอน ในปัญหาที่แน่นอนของฉัน gkgkg_kฟังก์ชัน Bessel J0(ωkx)J0(ωkx)J_0(\omega_k x)และ f(x)=xαf(x)=xαf(x)=x^\alphaและภูมิภาคของการรวมกลุ่มคือ [0,∞)[0,∞)[0,\infty). วิธีที่ฉันใช้อยู่ตอนนี้คือการสรุปการมีส่วนร่วมในช่วงเวลา[xk−1,xk][xk−1,xk][x_{k-1},x_k] ระหว่างรากถึงการตัดยอด …

9 quadrature 

ฉันสงสัยว่าถ้าใครมีประสบการณ์เกี่ยวกับขอบเขตเมื่อใช้ความแตกต่างของ chebyshev ขณะนี้ฉันกำลังพยายามใช้เงื่อนไขขอบเขตแบบไม่มีสลิปเพื่อแก้สมการเนเวียร์สโตกส์ที่อัดไม่ได้ในรูปแบบ 3 มิติเพื่อให้แน่ใจว่าการไหลเป็นศูนย์ที่ขอบเขตคือมันง่ายเหมือนการตั้งค่า u (:,: 1) และ u (:,:,, N) = 0 ในทุกขั้นตอนของการคำนวณ (คล้ายกับ v และ w) ตามที่ระบุในตำราเรียน สิ่งนี้ดูเหมือนจะไม่คำนึงถึงว่าคะแนนที่อยู่ติดกับเขตแดนได้รับผลกระทบจากการที่มีการไหลเวียนเป็นศูนย์ที่ขอบเขตและดูเหมือนจะง่ายเกินไปที่จะเข้าใกล้ ขอบคุณทุกคนที่สามารถช่วยได้

9 boundary-conditions  spectral-method 

ฉันสนใจในการคำนวณโซลูชันของระบบ lage ของ ODE โดยใช้วิธี krylov เช่นเดียวกับใน [1] วิธีการดังกล่าวเกี่ยวข้องกับฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องกับการชี้แจง (ที่เรียกว่าφφ\varphi-ฟังก์ชั่น). มันประกอบด้วยการคำนวณการกระทำของฟังก์ชั่นเมทริกซ์โดยการสร้างพื้นที่ย่อย Krylov โดยใช้การวนซ้ำของ Arnoldi และฉายฟังก์ชันในพื้นที่ย่อยนี้ สิ่งนี้ช่วยลดปัญหาในการคำนวณเลขชี้กำลังของเมทริกซ์ Hessenberg ที่เล็กกว่ามาก ฉันรู้ว่ามีหลายอัลกอริทึมในการคำนวณเลขชี้กำลัง (ดู [2] [3] และการอ้างอิงในนั้น) ฉันสงสัยว่ามีอัลกอริทึมพิเศษในการคำนวณเลขยกกำลังที่สามารถใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าเมทริกซ์คือเฮสเซนเบิร์กหรือไม่? [1] Sidje, RB (1998) Expokit: ชุดซอฟต์แวร์สำหรับประมวลผลเลขชี้กำลังเมทริกซ์ ธุรกรรม ACM เกี่ยวกับซอฟต์แวร์ทางคณิตศาสตร์ (TOMS), 24 (1), 130-156 [2] Moler, C. , & Van Loan, C. (1978) เก้าวิธีที่น่าสงสัยในการคำนวณเลขชี้กำลังของเมทริกซ์ รีวิว SIAM, 20 …

9 linear-algebra  matrix  numerical-analysis  time-integration  krylov-method 

ในรายงานทางเทคนิคเกี่ยวกับกาลาฮัด [1] ผู้แต่งระบุในบริบทของปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นทั่วไป สำหรับจิตใจของเราไม่เคยสงสัยเลยว่าวิธีการ SQP [การเขียนโปรแกรมกำลังสองตามลำดับ] จะประสบความสำเร็จมากขึ้น [มากกว่าวิธี Augmented Lagrangian] ในระยะยาว ... อะไรคือพื้นฐานของความเชื่อนั้น เช่นมีผลทางทฤษฎีใด ๆ ที่แนะนำวิธี SQP ควรเร็วขึ้น / เชื่อถือได้มากกว่าวิธี Augmented Lagrangian หรือไม่? [1] Galahad ห้องสมุดของแพ็คเกจ Fortran 90 ที่ปลอดภัยสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพแบบไม่เชิงเส้นขนาดใหญ่โดย Gould, Orban และ Toint

9 nonlinear-programming 

หนังสือเก่าที่ผมเคยเห็นบอกว่าจำนวนขั้นต่ำของขั้นตอนของวิธีการที่ชัดเจน Runge-Kutta ของคำสั่งที่ระบุไม่เป็นที่รู้จักสำหรับการสั่งซื้อ9 สิ่งนี้ยังคงเป็นจริงหรือไม่?≥ 9≥9\geq 9 มีไลบรารีใดบ้างที่ทำงานร่วมกับวิธี Runge-Kutta ระดับสูงโดยอัตโนมัติ

9 ode  runge-kutta 

ฉันต้องการสร้างแบบจำลองเบ็ดตกปลา (หรือเชือก) โดยการเข้าร่วมส่วนสั้น ๆ (เซกเมนต์อาจมีความยาวเท่ากัน (สั้น) แต่แต่ละเซกเมนต์ควรได้รับการกำหนดมวลของมันเอง) เซ็กเมนต์หนึ่งจะมีผลต่อไปด้วยแรงบิดระหว่างเซ็กเมนต์ ในขณะที่ข้อต่อสามารถถือได้ว่าเป็นสปริงแผ่น (แรงบิดตามสัดส่วนกับมุมดัด (a หรืออัลฟ่า), แต่ละค่า k สำหรับข้อต่อแต่ละข้อ) เมื่อฉันใช้แรงบิดกับส่วนแรก ("จับ") แรงบิดจะแพร่กระจายไปยังส่วนที่เหลือของ ปัญหาคือฉันไม่เข้าใจวิธีคำนวณการเคลื่อนไหวที่จะเกิดขึ้นที่เซกเมนต์หนึ่ง (ด้วยมวล m1) และเซ็กเมนต์ต่อไปนี้เมื่อฉันใช้แรงบิด T1 กับเซกเมนต์หนึ่ง (ในช่วงเวลา dt) https://www.dropbox.com/s/ze7g6dzrzzd6757/DSC_0113.JPG ฉันเป็นแพทย์ (เกษียณอายุ) ที่มีความสนใจด้านชีวกลศาสตร์ดังนั้นโปรดใช้คำศัพท์พื้นฐานทางกายภาพเท่านั้น (ฉันต้องการย้ายโมเดลไปเป็นการใช้ชีวกลศาสตร์ฉันเคยเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์สำหรับรุ่นมาก่อนดังนั้นหวังว่าฉันจะสามารถจัดการส่วนนั้นได้ถ้าฉันได้สมการการเคลื่อนที่มาตรง)

9 ode  modeling 

ผมมีโครงการที่ฉันจำเป็นต้องใช้เขตการกำลังสอง โดยเฉพาะตัวเลขของแบบฟอร์มกับ{Q}a+b−3−−−√a+b−3a + b \sqrt{-3}a,b∈Qa,b∈Qa,b \in \mathbb{Q} ตัวอย่างเช่นที่นี่มีจำนวนเฉพาะในจำนวนเต็ม Eisenstein : ฉันไม่ต้องการใช้ปัญญาชน ฉันต้องการเขียนชนิดข้อมูลของตัวเองเพื่อรวมเข้าnumpyด้วยกัน PARI จะมีประโยชน์ - แต่มันเข้ากันไม่ได้กับ Python ส่วนเพิ่มเติมสำหรับวัตถุเหล่านี้ค่อนข้างชัดเจน(a1+b1−3−−−√)+(a2+b2−3−−−√)=(a1+a2)+(b1+b2)−3−−−√(a1+b1−3)+(a2+b2−3)=(a1+a2)+(b1+b2)−3(a_1 + b_1 \sqrt{-3}) + (a_2 + b_2 \sqrt{-3}) = (a_1 + a_2) + (b_1+b_2) \sqrt{-3} การคูณนั้นละเอียดอ่อนกว่าเล็กน้อย แต่เราก็สามารถเขียนโค้ดได้ยากเช่นกัน (a1+b1−3−−−√)×(a2+b2−3−−−√)=(a1a2−3b1b2)+(a1b2+a2b1)−3−−−√(a1+b1−3)×(a2+b2−3)=(a1a2−3b1b2)+(a1b2+a2b1)−3(a_1 + b_1 \sqrt{-3}) \times (a_2 + b_2 \sqrt{-3}) = (a_1 a_2 - 3 b_1 …

9 linear-algebra  precision 

ฉันกำลังค้นหาสายเป็นส่วนหนึ่งของอัลกอรึทึมของ BFGS เสมือน ในขั้นตอนเดียวของการค้นหาบรรทัดฉันใช้การแก้ไขลูกบาศก์เพื่อเลื่อนเข้าใกล้กับเครื่องมือลดขนาด ปล่อย f:R→R,f∈C1ฉ:R→R,ฉ∈ค1f : R \rightarrow R, f \in C^1เป็นหน้าที่ของดอกเบี้ย ฉันต้องการหาx∗x* * * *x^* ดังนั้น f′(x∗)≈0ฉ'(x* * * *)≈0f'(x^*) \approx 0. ปล่อย f(xk)ฉ(xk)f(x_k), f′(xk)ฉ'(xk)f'(x_k), f(xk+1)f(xk+1)f(x_{k+1}) และ f′(xk+1)f′(xk+1)f'(x_{k+1})เป็นที่รู้จัก ยังถือว่า0≤xk&lt;x∗&lt;xk+10≤xk&lt;x∗&lt;xk+10\le x_k<x^*<x_{k+1}. ฉันพอดีกับพหุนามลูกบาศก์Q(x)=ax3+bx2+cx+dQ(x)=ax3+bx2+cx+dQ(x)=ax^3+bx^2+cx+d ดังนั้น Q(0)=f(xk)Q(0)=f(xk)Q(0)=f(x_k), Q′(0)=f′(xk)Q′(0)=f′(xk)Q'(0)=f'(x_k), Q(xk+1−xk)=f(xk+1)Q(xk+1−xk)=f(xk+1)Q(x_{k+1}-x_{k})=f(x_{k+1}) และ Q′(xk+1−xk)=f′(xk+1)Q′(xk+1−xk)=f′(xk+1)Q'(x_{k+1}-x_{k})=f'(x_{k+1}). ฉันแก้สมการกำลังสอง: (1):Q′(x∗−xk)=0(1):Q′(x∗−xk)=0(1): Q'(x^*-x_k) = 0 สำหรับฉันขอ x∗x∗x^* ใช้โซลูชั่นแบบปิด การทำงานด้านบนในกรณีส่วนใหญ่ยกเว้นเมื่อใด f(x)=O(x2)f(x)=O(x2)f(x)=\mathcal{O}(x^2) เป็นโซลูชันแบบปิดสำหรับ …

9 optimization  numerical-analysis  interpolation