คำถามติดแท็ก linear-algebra

ฉันรู้ว่าการกำจัดแบบเกาส์ใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์แต่ฉันไม่แน่ใจว่ามีอัลกอริทึมใดที่ดีกว่านี้O(n3)O(n3)O(n^3)

10 ds.algorithms  linear-algebra  matrices 

มีสิ่งก่อสร้างใดที่ทราบว่ามีการแก้ไขข้อผิดพลาดเชิงเส้นรหัส (ด้วยพารามิเตอร์ที่เหมาะสม) เช่นเมื่อได้รับเวกเตอร์บูลีน , มันจะส่งคืนเวกเตอร์บูลีนด้วยหรือไม่ (แม้ว่าจะเกิน ) v ∈ { 0 , 1 } n F qECC:Fnq→FmqECC:Fqn→Fqm\mathsf{ECC}:\mathbb{F}_q^n \to \mathbb{F}_q^mv∈{0,1}nv∈{0,1}nv\in \{0,1\}^nFqFq\mathbb{F}_q (นั่นคือโดยที่ความน่าจะเป็นนั้นได้ถูกนำมาใช้ในการเลือกv \ in \ {0,1 \ } ^ nและ\ epsilonมีขนาดเล็กโดยพลการ)v ∈ { 0 , 1 } n ϵPr[ECC(v)∈{0,1}m]>1−ϵPr[ECC(v)∈{0,1}m]>1−ϵ\Pr[\mathsf{ECC}(v) \in \{0,1\}^m]>1-\epsilonv∈{0,1}nv∈{0,1}nv\in \{0,1\}^nϵϵ\epsilon ถ้าไม่จะทำอย่างไรถ้าเราผ่อนคลายเงื่อนไขให้ Pr[ECCi(v)∈{0,1}]>1−ϵPr[ECCi(v)∈{0,1}]>1−ϵ\Pr[\mathsf{ECC}_i(v) \in \{0,1\}]> 1-\epsilon โดยที่ECCiECCi\mathsf{ECC}_iส่งกลับพิกัดของiiiของECCECC\mathsf{ECC} , ϵϵ\epsilonมีขนาดเล็กโดยพลการและความน่าจะเป็นที่ได้รับการเลือกv∈{0,1}nv∈{0,1}nv\in \{0,1\}^nและเลือกพิกัดi∈[m]i∈[m]i\in[m]อย่างสม่ำเสมอ

10 co.combinatorics  linear-algebra  coding-theory 

ระหว่างการทำงานฉันพบปัญหาต่อไปนี้: ฉันกำลังพยายามหาn×nn×nn \times n (0,1)(0,1)(0,1) matrix MMMสำหรับใด ๆ ที่n>3n>3n > 3มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ดีเทอร์มีแนนต์ของMMMคือเท่ากัน สำหรับชุดย่อยที่ไม่ว่างเปล่าI,J⊆{1,2,3}I,J⊆{1,2,3}I,J\subseteq\{1,2,3\}ด้วย|I|=|J||I|=|J||I| = |J|ที่ submatrix MIJMJIM^I_Jมีปัจจัยแปลกถ้าหากI=JI=JI=J J นี่MIJMJIM^I_Jหมายถึง submatrix ของMMMที่สร้างขึ้นโดยการลบแถวที่มีดัชนีในIIIและคอลัมน์ที่มีดัชนีในJJJJ จนถึงตอนนี้ฉันพยายามค้นหาเมทริกซ์ดังกล่าวผ่านการสุ่มตัวอย่าง แต่ฉันสามารถค้นหาเมทริกซ์ที่มีคุณสมบัติทั้งหมดยกเว้นเมทริกซ์แรกเท่านั้นนั่นคือเมทริกซ์จะมีปัจจัยแปลกเสมอ ฉันลองใช้ขนาดต่าง ๆ และชุดอินพุต / เอาต์พุตที่แตกต่างกันโดยไม่ประสบความสำเร็จ ดังนั้นนี่ทำให้ฉันคิดว่า: คือมีการพึ่งพาระหว่างข้อกำหนดซึ่งป้องกันไม่ให้พวกเขาเป็นจริงพร้อมกันหรือไม่ หรือ เป็นไปได้ไหมที่เมทริกซ์นั้นมีอยู่และมีคนยกตัวอย่างให้ฉันได้ไหม? ขอบคุณ Etsch

10 graph-theory  co.combinatorics  linear-algebra  matrices  boolean-matrix 

สมมติว่าเรามีรูปทรงหลายเหลี่ยมในรูปแบบมาตรฐาน: A x = bx ≥ 0Ax=bx≥0\begin{equation*} \begin{array}{rl} \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b} \\\\ \mathbf{x} \ge 0 \end{array} \end{equation*} มีวิธีการใด ๆ ที่รู้จักกันในการหาไฮเปอร์เพลนที่แยกโพลีเฮดตรอนในลักษณะที่จำนวนจุดยอดในแต่ละด้านของไฮเปอร์เพลนนั้นเท่ากันหรือไม่? (นั่นคืออัลกอริธึมที่ลดความแตกต่างที่แน่นอนของจุดสุดยอดด้านที่สองด้านของการแยก)d x + d0= 0dx+d0=0\mathbf{d} \mathbf{x} +d_0= 0 นอกจากนี้ยังมีผลลัพธ์ใด ๆ ที่ทราบเกี่ยวกับความซับซ้อนของปัญหานี้หรือไม่ ภาคผนวก: การ จำกัด ประเภทของการตัด: นี่คือการเปลี่ยนแปลงของปัญหาดั้งเดิมด้วยความหวังว่ามันจะง่ายต่อการแก้ปัญหากว่าเดิม: มีวิธีการได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือคำนวณประมาณการที่ประสานงานไฮเปอร์เพลนของรูปแบบd ฉันx ฉัน + d 0 = 0จะให้ผลผลิตแตกต่างแน่นอนต่ำสุดของ cardinalities จุดสุดยอดทั้งสองด้านของการแยกหรือไม่ โดยการที่มีประสิทธิภาพฉันหมายถึงสิ่งใดที่มีประสิทธิภาพมากกว่าการนับอย่างละเอียดของความเป็นหัวใจเชิงยอดสำหรับการแยกดังกล่าวที่เป็นไปได้ทั้งหมดผมiidผมxผม+ d0= 0dixi+d0=0d_ix_i + …

10 ds.algorithms  linear-programming  linear-algebra 

ใน Bernstein และ Vazirani กระดาษน้ำเชื้อ "ควอนตัมทฤษฎีความซับซ้อน" พวกเขาแสดงให้เห็นว่ามิติการเปลี่ยนแปลงรวมสามารถประมาณได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยผลิตภัณฑ์ของสิ่งที่พวกเขาเรียกว่า "ใกล้เล็กน้อยหมุน" และ "ใกล้เล็กน้อยกะเฟส"ddd "ใกล้สัพเพเหระผลัด" เป็นมิติรวมการฝึกอบรมการกระทำที่เป็นตัวตนในทุก แต่ 2 มิติ แต่ทำหน้าที่เป็นวาระในเครื่องบินทอดทั้งสองมิติ (เช่นมี submatrix 2x2 ของรูปแบบ:ddd (cosθsinθ−sinθcosθ)(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ) \begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \\ \end{pmatrix} สำหรับบางคน )θθ\theta "กะระยะใกล้น่ารำคาญ" เป็นมิติรวมการฝึกอบรมการกระทำที่เป็นตัวตนในทุกมิติ แต่ 1 แต่ใช้ปัจจัยของอีฉันθสำหรับบางθกับที่อีกมิติหนึ่งdddeiθeiθe^{i\theta}θθ\theta ยิ่งไปกว่านั้นพวกเขาแสดงให้เห็นว่าจำเป็นต้องมีมุมการหมุนเพียงมุมเดียวเท่านั้น (สำหรับทั้งหน่วยการหมุนและการเลื่อนเฟส) เนื่องจากมุมนั้นเป็นจำนวนที่ไม่ลงตัวของ (BV ตั้งค่ามุมเป็น2 π ∑ ∞ j = 1 2 …

10 quantum-computing  linear-algebra  universal-computation 

เรารู้ว่าบันทึกของการจัดอันดับของเมทริกซ์ 0-1 เป็นขอบเขตล่างของความซับซ้อนของการสื่อสารที่กำหนดขึ้นและล็อกของอันดับโดยประมาณนั้นเป็นขอบเขตล่างของความซับซ้อนของการสื่อสารแบบสุ่ม ช่องว่างที่ใหญ่ที่สุดระหว่างความซับซ้อนของการสื่อสารที่กำหนดขึ้นได้และความซับซ้อนของการสื่อสารแบบสุ่มนั้นเป็นสิ่งที่อธิบาย แล้วช่องว่างระหว่างอันดับและอันดับโดยประมาณของเมทริกบูลีนคืออะไร?

10 co.combinatorics  linear-algebra  matrices  communication-complexity  boolean-matrix 

นอกเหนือจากการใช้ตัวแก้จุดมุ่งหมายทั่วไปของ LP มีวิธีการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมของตัวแปรโดยที่ความไม่เท่าเทียมกันมีรูปแบบ ? แล้วกรณีพิเศษของความไม่เท่าเทียมกันที่รวมกันเป็นผลรวมของจำนวนสมาชิกของชุดพลังของ ?xi,…,xkxi,…,xkx_i, \ldots, x_k∑i∈Ixi&lt;∑j∈Jxj∑i∈Ixi&lt;∑j∈Jxj\sum_{i \in I} x_i < \sum_{j \in J} x_j{xi,…,xk}{xi,…,xk}\{x_i, \ldots, x_k\}

9 ds.algorithms  linear-algebra  linear-programming 

มีโปรแกรมเชิงเส้นที่ฉันต้องการไม่เพียง แต่วิธีการแก้ปัญหา แต่วิธีการแก้ปัญหาที่เป็นศูนย์กลางที่สุดเท่าที่เป็นไปได้บนใบหน้าของ polytope ที่ถือว่าค่าน้อยที่สุด ก่อนหน้าเราคาดหวังว่าใบหน้าที่ย่อเล็กสุดควรมีมิติสูงด้วยเหตุผลต่าง ๆ รวมถึงฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่ถูกย่อให้เล็กสุดคือข้อ จำกัด สูงสุด: ลด ϵϵ\epsilon ภายใต้ fi(x¯)≤ϵ&lt;0fi(x¯)≤ϵ&lt;0f_i(\bar x) \leq \epsilon < 0 กับ fifif_i เชิงเส้นและ xi&gt;0xi&gt;0x_i > 0 เพื่อทุกสิ่ง iii และ ∑ixi=1∑ixi=1\sum_i x_i = 1. เราไม่เคยได้รับคุณสมบัติที่เหมือนศูนย์กลางจากอัลกอริทึมแบบซิมเพล็กซ์แน่นอน อัลกอริธึมภายในจุดปกติมีคุณสมบัติดังกล่าวหรือไม่? มีอะไรรับประกันว่าพวกเขาจะหลีกเลี่ยงจุดยอดหรือใบหน้ามิติที่ต่ำกว่าเมื่อเป็นไปได้? ในความเป็นจริงฉันอาจจะพอใจกับโปรแกรมกำลังสองง่าย ๆ ที่พบจุดกึ่งกลางของ polytope ทั้งหมดเนื่องจากศูนย์กลางมีความสำคัญมากกว่าการย่อเพียงเล็กน้อยอยากรู้อยากเห็นเพียงเล็กน้อยถ้าอัลกอริทึมการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นอื่นมีคุณสมบัติที่เกี่ยวข้อง อัปเดต: ฉันได้ลดปัญหาพื้นฐานเป็นปัญหาการย่อขนาดเล็ก ๆ แบบง่ายๆที่แก้ไขได้ด้วยตัวคูณแบบลากรองจ์ แต่คำถามข้างต้นยังคงน่าสนใจอยู่ดี

9 ds.algorithms  linear-algebra  linear-programming 

พิจารณาพื้นที่ของฮิลแบร์ต H=H1⊗ ⋯ ⊗HnH=H1⊗⋯⊗HnH = H_1 \otimes \dots \otimes H_n. พื้นฐานผลิตภัณฑ์ที่ไม่สามารถแก้ไขได้ (UPB) คือชุดของเวกเตอร์ผลิตภัณฑ์|โวลต์ผม⟩ = |โวลต์1ผม⟩ ⊗ ⋯ ⊗ |โวลต์nผม⟩|โวลต์ผม⟩=|โวลต์ผม1⟩⊗⋯⊗|โวลต์ผมn⟩\vert v_i \rangle = \vert v_i^1 \rangle \otimes \dots \otimes \vert v_i^n \rangle ดังนั้น: a) ทั้งหมด |โวลต์ผม⟩|โวลต์ผม⟩\vert v_i \rangle เป็นมุมฉากซึ่งกันและกัน b) ไม่มี orthogonal ของเวกเตอร์ผลิตภัณฑ์ทั้งหมด |โวลต์ผม⟩|โวลต์ผม⟩\vert v_i \rangle c) พื้นฐานเป็นสิ่งที่ไม่น่าสนใจเช่นไม่ขยาย HHH (ฐานดังกล่าวเป็นที่สนใจในข้อมูลควอนตัม) คำถาม: …

9 quantum-computing  linear-algebra  quantum-information 

นี้เป็นรุ่นพิเศษของคำถามก่อนหน้านี้: ความซับซ้อนของการหา Eigendecomposition ของเมทริกซ์ สำหรับเมทริกซ์สมมาตร NxN เป็นที่ทราบกันว่าเวลา O (N ^ 3) เพียงพอต่อการคำนวณการสลายตัวของไอเก็น คำถามคือเราสามารถบรรลุความซับซ้อนย่อยลูกบาศก์? ขอบคุณ

9 ds.algorithms  time-complexity  matrices  linear-algebra  na.numerical-analysis