คำถามติดแท็ก spectral-graph-theory

4
การพิสูจน์ที่ได้รับผ่านทฤษฎีกราฟสเปกตรัมเท่านั้น
ฉันมีความสนใจที่เพิ่มขึ้นในทฤษฎีกราฟสเปกตรัมซึ่งฉันพบว่าน่าสนใจและฉันเริ่มรวบรวมเอกสารสองสามฉบับที่ฉันยังไม่ได้อ่านอย่างละเอียดมากกว่าสิ่งที่ฉันมี อย่างไรก็ตามฉันอยากรู้เกี่ยวกับคำสั่งที่โผล่ขึ้นมาในหลาย ๆ แหล่ง (เช่นตรงนั้น ) ซึ่งกล่าวโดยสรุปว่าผลลัพธ์บางอย่างในทฤษฎีกราฟได้รับการพิสูจน์โดยใช้เทคนิคคลื่นความถี่เท่านั้นและจนถึงขณะนี้ไม่มีข้อพิสูจน์ว่า ข้ามเทคนิคเหล่านั้นเป็นที่รู้จักกัน ถ้าฉันข้ามไปนั้นฉันจำไม่ได้ว่าเห็นตัวอย่างในวรรณคดีที่ฉันอ่านมา คุณรู้จักตัวอย่างของผลลัพธ์ดังกล่าวหรือไม่?
2
เอกสารให้เครดิตสำหรับการแบ่งกราฟเชิงสเปกตรัม
หากเป็นแบบไร้ทิศทางdกราฟ -regular และSเป็นส่วนหนึ่งของจุดของ cardinality ≤ | V | / 2เรียกการขยายขอบของSปริมาณG = ( V, E)G=(V,E)G=(V,E)dddSSS≤ | V| / 2≤|V|/2\leq |V|/2SSS ϕ ( S) : = Edก.อีเอส( S, โวลต์- S)d⋅ | S| ⋅ | V- S|ϕ(S):=Edges(S,V−S)d⋅|S|⋅|V−S|\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|} ที่ไหนคือจำนวนของขอบกับหนึ่งในปลายทางและเป็นหนึ่งในปลายทางB จากนั้นปัญหาการขยายขอบคือการหาชุดSด้วย| S | ≤ | V | / 2ที่ช่วยลดไว( S …
3
กราฟย้อนกลับปัญหา Spectra?
โดยปกติแล้วคนหนึ่งจะสร้างกราฟแล้วถามคำถามเกี่ยวกับเมทริกซ์ adjacency (หรือญาติสนิทเช่นLaplacian ) eigenvalue การสลายตัว (เรียกอีกอย่างว่าสเปกตรัมของกราฟ ) แต่แล้วปัญหาย้อนกลับล่ะ เมื่อกำหนดค่าลักษณะเฉพาะสามารถหากราฟที่มีสเปกตรัมนี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่nnn ฉันสงสัยว่าโดยทั่วไปสิ่งนี้ยากที่จะทำ (และอาจเทียบเท่ากับ GI) แต่ถ้าคุณผ่อนคลายเงื่อนไขเล็กน้อย ถ้าคุณทำเงื่อนไขว่าไม่มีค่าลักษณะเฉพาะหลายหลาก แล้วการอนุญาตให้ใช้กราฟที่มีสเปคตรัม "ปิด" ด้วยการวัดระยะทางบ้าง ยินดีต้อนรับการอ้างอิงหรือความคิดใด ๆ แก้ไข : ดังที่ Suresh ชี้ให้เห็นถ้าคุณอนุญาตให้กราฟถ่วงน้ำหนักแบบไม่ระบุทิศทางพร้อมลูปตัวเองปัญหานี้จะกลายเป็นเรื่องเล็กน้อย ฉันหวังว่าจะได้รับคำตอบเกี่ยวกับชุดกราฟที่เรียบง่ายที่ไม่ได้บอกทิศทางและไม่มีน้ำหนัก แต่ฉันก็จะมีความสุขกับกราฟกำกับที่ไม่มีน้ำหนักแบบง่ายเช่นกัน
2
Cheeger คงที่
ฉันได้อ่านในบทความมากมายที่ระบุค่าคงที่ Cheeger ของกราฟคือNPNP\mathsf{NP} -hard ดูเหมือนว่าจะเป็นทฤษฎีบทพื้นบ้าน แต่ฉันไม่เคยพบคำพูดหรือข้อพิสูจน์สำหรับคำสั่งนี้ ฉันควรให้เครดิตกับใคร ในกระดาษเก่า (Isoperimetric Numbers of Graphs, J. Comb. Theory B, 1989) Mohar เพียงพิสูจน์การยืนยันนี้ "สำหรับกราฟที่มีหลายขอบ"
6
ทฤษฎีกราฟสเปกตรัมเบื้องต้น
ข้อมูลอ้างอิงพื้นฐานคืออะไร? มีการสำรวจระดับสูงที่ดีของ SGT และการประยุกต์ใช้กับ CS โดยทั่วไปและการเรียนรู้ของเครื่องจักรมากขึ้นโดยเฉพาะหรือไม่?
1
นับจำนวนต้นไม้ที่กางเร็ว
ให้แทนจำนวนต้นไม้ที่ทอดในกราฟมีจุดยอดมีอัลกอริทึมที่คำนวณในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อัลกอริทึมนี้คือการคำนวณโดยที่Qคือ Laplacian ของGและJเป็นเมทริกซ์ที่ประกอบด้วย1เท่านั้น สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับอัลกอริทึมนี้ให้ดูทฤษฎีกราฟขนาดใหญ่ - พีชคณิตหรือคำถามทางคณิตศาสตร์ SEt ( G )เสื้อ(G)t(G)GGGnnnt ( G )เสื้อ(G)t(G)O ( n3)O(n3)O(n^3)QGJ11n2เดชอุดม( J+ Q )1n2เดชอุดม(J+Q)\frac{1}{n^2} \det(J + Q)QQQGGGJJJ111 ฉันสงสัยว่ามีวิธีคำนวณt ( G )เสื้อ(G)t(G)ได้เร็วขึ้นไหม (ใช่มีเร็วกว่าO ( n3)O(n3)O(n^3)อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ แต่ฉันสนใจในวิธีการใหม่บางอย่าง) นอกจากนี้ยังมีความสนใจในการพิจารณากราฟของตระกูลพิเศษ (ระนาบหรืออาจ?) ตัวอย่างเช่นสำหรับกราฟ circulant สามารถคำนวณt ( G )เสื้อ(G)t(G)ในO ( n lgn )O(nLG⁡n)O(n \lg n)การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ผ่าน identity t ( G ) = 1nλ1⋯ …
1
ภาพเรขาคณิตหลังตัวขยายควอนตัม
(ถามที่นี่ไม่มีคำตอบ) A -quantum expander เป็นการกระจายไปยังกลุ่มที่รวมด้วยคุณสมบัติที่: a) , b)โดยที่\ mu_Hคือการวัด Haar ถ้าแทนที่จะเป็นการแจกแจงหน่วยการเรียนรู้เราพิจารณาการแจกแจงผ่านเมทริกซ์การเปลี่ยนรูปมันไม่ยากที่จะเห็นว่าเรากู้คืนคำจำกัดความตามปกติของกราฟตัวขยายแบบd-ผิดปกติ สำหรับพื้นหลังเพิ่มเติมดูเช่น: เครื่องมือขยายผลิตภัณฑ์ควอนตัมเทนเซอร์อย่างมีประสิทธิภาพและการออกแบบ kโดย Harrow และ Low(d,λ)(d,λ)(d,\lambda)νν\nuU(d)U(d)\mathcal{U}(d)|supp ν|=d|supp ν|=d|\mathrm{supp} \ \nu| =d∥EU∼νU⊗U†−EU∼μHU⊗U†∥∞≤λ‖EU∼νU⊗U†−EU∼μHU⊗U†‖∞≤λ\Vert \mathbb{E}_{U \sim \nu} U \otimes U^{\dagger} - \mathbb{E}_{U \sim \mu_H} U \otimes U^{\dagger}\Vert_{\infty} \leq \lambdaμHμH\mu_Hddd คำถามของฉัน - ไม่ขยายควอนตัมยอมรับชนิดของการตีความทางเรขาคณิตใด ๆ คล้ายกับขยายคลาสสิก (ที่ช่องว่างสเปกตรัม∼∼\sim isoperimetry / การขยายตัวของกราฟอ้างอิง)? ฉันไม่ได้นิยาม "การก่อให้เกิดทางเรขาคณิต" อย่างเป็นทางการ แต่ในทางแนวคิดแล้วเราสามารถหวังได้ว่าเกณฑ์สเปกตรัมล้วนๆสามารถแปลเป็นภาพเรขาคณิตบางรูปแบบได้ …
1
การสุ่มตัวอย่างจากหลายตัวแปร Gaussian ด้วยกราฟ Laplacian (ผกผัน) ความแปรปรวนร่วม
เรารู้จากเช่นKoutis-Miller-Peng (จากงานของ Spielman & Teng) ว่าเราสามารถแก้ระบบเชิงเส้นสำหรับเมทริกซ์อย่างรวดเร็วซึ่งเป็นเมทริกซ์ Laplacian สำหรับกราฟที่มีน้ำหนักเบาบางที่ไม่เป็นลบ .Ax=bAx=bA x = bAAA ตอนนี้ (คำถามแรก) ลองใช้หนึ่งในกราฟ Laplacian เมทริกซ์เป็นความแปรปรวนร่วมหรือ (คำถามที่สอง) เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมผกผันของการแจกแจงปกติแบบศูนย์หลายค่าเฉลี่ยหรือ1}) สำหรับแต่ละกรณีฉันมีคำถามสองข้อ:AAAN ( 0 , A - 1 )N(0,A)N(0,A)\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, A)N(0,A−1)N(0,A−1)\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, A^{-1}) A. เราสามารถดึงตัวอย่างจากการกระจายนี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพแค่ไหน? (โดยทั่วไปการวาดตัวอย่างเราคำนวณการสลายตัวของ Cholesky , วาดมาตรฐานปกติจากนั้นคำนวณตัวอย่างเป็นx = L ^ { -1} y ) y ∼ N ( 0 , I ) …
2
ความไม่สมดุลสูงสุดในกราฟ?
ให้เป็นกราฟที่เชื่อมต่อกับโหนดและขอบEให้แสดงน้ำหนัก (จำนวนเต็ม) ของกราฟด้วยน้ำหนักรวมในกราฟ น้ำหนักเฉลี่ยต่อโหนดแล้ว n ให้แสดงการเบี่ยงเบนของโหนดจากค่าเฉลี่ย เราเรียกความไม่สมดุลของโหนดฉันG = ( V , E ) V = 1 ... n E W ฉัน G Σ ฉันW ฉัน = เมตรˉ W = เมตร/ n e ฉัน = W ฉัน - ˉ Wฉัน| e i |GGGG=(V,E)G=(V,E)G = (V,E)V=1…nV=1…nV = 1 \dots nEEEwiwiw_iGGG∑iwi=m∑iwi=m\sum_i w_i = …
2
การประยุกต์ทฤษฎีกราฟสเปกตรัมในสารสนเทศและทฤษฎีการเข้ารหัส
ฉันต้องการค้นหาว่าแอปพลิเคชั่นของ SGT ในด้านข้อมูลและทฤษฎีการเข้ารหัสและการสื่อสารอาจเป็นอย่างไร สิ่งที่เกี่ยวข้องที่สุดที่นึกถึงคือการทำงานกับ Expander Codes Michael Sipser และ Daniel Spielman, "Expander Codes", ธุรกรรม IEEE กับทฤษฎีข้อมูล, Vol 42, No 6, pp. 1710-1722 1996 ตัวอย่างอื่น ๆ ?
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.