คำถามติดแท็ก random-variable

พิสูจน์ / หักล้างE[1A|Ft]=0 or 1 a.s. ⇒E[1A|Fs]=E[1A|Ft] a.s.E[1A|Ft]=0 or 1 a.s. ⇒E[1A|Fs]=E[1A|Ft] a.s.E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{or} \ 1 \ \text{a.s.} \ \Rightarrow E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.} กำหนดพื้นที่น่าจะเป็นกรอง(Ω,F,{Fn}n∈N,P)(Ω,F,{Fn}n∈N,P)(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \mathbb{P})ให้{F}A∈FA∈FA \in \mathscr{F} สมมติว่ามันติดตามแล้วล่ะE [ 1 A | F s ] …

10 probability  conditional-probability  random-variable  filter 

หนึ่งในปัญหาในหนังสือเรียนของฉันถูกวางไว้ดังนี้ เวกเตอร์ต่อเนื่องสุ่มสองมิติมีฟังก์ชันความหนาแน่นต่อไปนี้: fX,Y(x,y)={15xy20if 0 &lt; x &lt; 1 and 0 &lt; y &lt; xotherwisefX,Y(x,y)={15xy2if 0 &lt; x &lt; 1 and 0 &lt; y &lt; x0otherwise f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases} แสดงว่าฟังก์ชันความหนาแน่นของส่วนขอบและคือ:f YfXfXf_XfYfYf_Y fX(x)={5x40if 0 &lt; …

10 self-study  random-variable  marginal  joint-distribution 

บ่อยครั้งในบทความวิจัยที่คุณอ่านนักวิจัยได้ควบคุมตัวแปรบางอย่าง สิ่งนี้สามารถทำได้โดยวิธีการต่าง ๆ เช่นการจับคู่การบล็อก ฯลฯ แต่ฉันคิดเสมอว่าการควบคุมตัวแปรนั้นเป็นสิ่งที่ทำในเชิงสถิติโดยการวัดตัวแปรหลายอย่างที่อาจมีอิทธิพลและทำการวิเคราะห์เชิงสถิติเกี่ยวกับตัวแปรเหล่านั้นซึ่งสามารถทำได้ทั้งในการทดลองจริงและเสมือนจริง ตัวอย่างเช่นคุณจะมีแบบสำรวจหรือแบบทดสอบอื่นที่คุณวัดตัวแปรอิสระและตัวแปรที่อาจทำให้สับสนและทำการวิเคราะห์บางอย่าง เป็นไปได้ที่จะควบคุมตัวแปรในการทดลองเสมือนหรือไม่? การเชื่อมโยงระหว่างวิธีเช่นการจับคู่และการควบคุมสถิติสำหรับตัวแปรคืออะไร?

10 experiment-design  random-variable  controlling-for-a-variable 

ปล่อยให้และเป็นตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวที่มีการกระจายตัวแบบเดียวกันมีความหนาแน่นXXXU ( 0 , 1 )YYYยู( 0 , 1 )ยู(0,1)U(0,1) 0 ≤ x ≤ 1 0ฉ( x ) = 1ฉ(x)=1f(x)=1ถ้า (และที่อื่น)0≤x≤10≤x≤10≤x≤1000 ให้เป็นตัวแปรสุ่มจริงที่กำหนดโดย:ZZZ Z=X−YZ=X−YZ=X-Yถ้า (และที่อื่น)0X&gt;YX&gt;YX>Y000 สืบทอดมากระจายของZZZZ คำนวณความคาดหวังและความแปรปรวน(Z)V ( Z )E(Z)E(Z)E(Z)V(Z)V(Z)V(Z)

10 self-study  random-variable 

ฉันมีข้อสงสัย: พิจารณาตัวแปรสุ่มที่มีค่าจริง XXX และ ZZZ ทั้งสองถูกกำหนดบนพื้นที่ความน่าจะเป็น (Ω,F,P)(Ω,F,P)(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}). ปล่อย Y:=g(X,Z)Y=ก.(X,Z)Y:= g(X,Z)ที่ไหน g(⋅)ก.(⋅)g(\cdot)เป็นฟังก์ชั่นมูลค่าที่แท้จริง ตั้งแต่YYY เป็นฟังก์ชั่นของตัวแปรสุ่มมันเป็นตัวแปรสุ่ม ปล่อย x:=X(ω)x=X(ω)x:=X(\omega) เช่นการก่อให้เกิด XXX. คือ P(Y|X=x)=P(g(X,Z)|X=x)P(Y|X=x)=P(ก.(X,Z)|X=x)\mathbb{P}(Y|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)|X=x) เท่ากับ P(g(x,Z))P(ก.(x,Z))\mathbb{P}(g(x,Z))?

10 probability  random-variable 

สมมติว่าและมีความเป็นอิสระตัวแปรสุ่มเรขาคณิตกับพารามิเตอร์พีความน่าจะเป็นที่คืออะไร?X1X1X_1X2X2X_2pppX1≥X2X1≥X2X_1 \geq X_2 ฉันสับสนเกี่ยวกับคำถามนี้เพราะเราไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับและนอกเหนือจากพวกเขาเป็นรูปทรงเรขาคณิต สิ่งนี้จะไม่เป็นเพราะและสามารถเป็นอะไรก็ได้ในช่วงนี้X1X1X_1X2X2X_250%50%50\%X1X1X_1X2X2X_2 แก้ไข: ความพยายามใหม่ P(X1≥X2)=P(X1&gt;X2)+P(X1=X2)P(X1≥X2)=P(X1&gt;X2)+P(X1=X2)P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2) P(X1=X2)P(X1=X2)P(X1 = X2) = =∑x∑x\sum_{x} (1−p)x−1p(1−p)x−1p(1−p)x−1p(1−p)x−1p(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}pp2−pp2−p\frac{p}{2-p} P(X1&gt;X2)P(X1&gt;X2)P(X1 > X2) = และP(X1&lt;X2)P(X1&lt;X2)P(X1 < X2)P(X1&lt;X2)+P(X1&gt;X2)+P(X1=X2)=1P(X1&lt;X2)+P(X1&gt;X2)+P(X1=X2)=1P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1 ดังนั้น = =เพิ่มถึงฉันจะได้ =P(X1&gt;X2)P(X1&gt;X2)P(X1 > X2)1−P(X1=X2)21−P(X1=X2)2\frac{1-P(X1 = …

9 self-study  random-variable  geometric-distribution 

เป็นไปได้ไหมที่จะมี PDF ของความแตกต่างของรูปลักษณ์ของ iid rv สองอันที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (แทนที่จะบอกว่าสามเหลี่ยมที่เราได้รับถ้า rv ถูกนำมาจากการแจกแจงแบบเดียวกัน) เช่นเป็นไปได้หรือไม่ที่ PDF f ของ jk (สำหรับสอง iid rv ที่นำมาจากการแจกแจงบางส่วน) ให้มี f (x) = 0.5 สำหรับ -1 ทั้งหมด &lt;&lt;&lt;1? ไม่มีข้อ จำกัด ในการแจกแจงที่เราใช้ j และ k ยกเว้นว่าค่าต่ำสุดคือ -1 และค่าสูงสุดคือ 1 หลังจากการทดลองฉันคิดว่ามันอาจเป็นไปไม่ได้

9 random-variable  pdf  iid 

โดยทั่วไปแล้วไฟล์ PDF จะเขียนเป็นโดยที่ตัวพิมพ์เล็กนั้นถือว่าเป็นการรับรู้หรือผลลัพธ์ของตัวแปรสุ่มซึ่งมี pdf นั้น ในทำนองเดียวกัน CDF เขียนเป็นซึ่งมีความหมาย&lt;x) อย่างไรก็ตามในบางสถานการณ์เช่นคำจำกัดความของฟังก์ชั่นการให้คะแนนและการได้มาซึ่ง cdf นั้นมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอปรากฏว่าตัวแปรสุ่มถูกเสียบเข้ากับ pdf / cdf ของตัวเอง เราจะได้ตัวแปรสุ่มใหม่หรือf(x|θ)f(x|θ)f(x|\theta)xxxXXXFX(x)FX(x)F_X(x)P(X&lt;x)P(X&lt;x)P(X<x)XXX Y=f(X|θ)Y=f(X|θ)Y=f(X|\theta)Z=FX(X)Z=FX(X)Z=F_X(X). ฉันไม่คิดว่าเราจะเรียกไฟล์นี้ว่า pdf หรือ cdf ได้อีกต่อไปเพราะตอนนี้มันเป็นตัวแปรสุ่มและในกรณีหลัง "การตีความ"ดูเหมือนไร้สาระสำหรับฉันFX(X)=P(X&lt;X)FX(X)=P(X&lt;X)F_X(X)=P(X<X) นอกจากนี้ในกรณีหลังข้างต้นฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจคำแถลงว่า "cdf ของตัวแปรสุ่มตามการแจกแจงแบบเดียวกัน" cdf เป็นฟังก์ชั่นไม่ใช่ตัวแปรสุ่มดังนั้นจึงไม่มีการแจกแจง แต่สิ่งที่มีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอคือตัวแปรสุ่มที่แปลงโดยใช้ฟังก์ชันที่แสดงถึง cdf ของตัวเอง แต่ฉันไม่เห็นว่าทำไมการแปลงนี้จึงมีความหมาย เช่นเดียวกันกับฟังก์ชันคะแนนซึ่งเราเสียบตัวแปรสุ่มเข้ากับฟังก์ชันที่แสดงถึงโอกาสในการบันทึกของมันเอง ฉันพยายามทำลายสมองของฉันเป็นเวลาหลายสัปดาห์เพื่อพยายามหาความหมายที่เข้าใจง่ายเบื้องหลังการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ แต่ฉันติดอยู่ ความเข้าใจใด ๆ จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก!

9 random-variable  pdf  cdf  intuition 

ถ้า X∼ C( 0 , 1 )X∼C(0,1)X\sim\mathcal C(0,1)หาการกระจายของ Y=2 X1 -X2Y=2X1−X2Y=\frac{2X}{1-X^2}. เรามี FY( y) = P r ( Y≤ y)FY(y)=Pr(Y≤y)F_Y(y)=\mathrm{Pr}(Y\le y) = P r (2 X1 -X2≤ y)=Pr(2X1−X2≤y)\qquad\qquad\qquad=\mathrm{Pr}\left(\frac{2X}{1-X^2}\le y\right) =⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪Pr(X∈(−∞,−1−1+y2√y])+Pr(X∈(−1,−1+1+y2√y]),ify&gt;0Pr(X∈(−1,−1+1+y2√y])+Pr(X∈(1,−1−1+y2√y]),ify&lt;0={Pr(X∈(−∞,−1−1+y2y])+Pr(X∈(−1,−1+1+y2y]),ify&gt;0Pr(X∈(−1,−1+1+y2y])+Pr(X∈(1,−1−1+y2y]),ify&lt;0\qquad\qquad=\begin{cases} \mathrm{Pr}\left(X\in\left(-\infty,\frac{-1-\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right)+\mathrm{Pr}\left(X\in\left(-1,\frac{-1+\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right),\text{if}\quad y>0\\ \mathrm{Pr}\left(X\in\left(-1,\frac{-1+\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right)+\mathrm{Pr}\left(X\in\left(1,\frac{-1-\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right),\text{if}\quad y<0 \end{cases} ฉันสงสัยว่าความแตกต่างของกรณีด้านบนนั้นถูกต้องหรือไม่ ในทางตรงกันข้ามต่อไปนี้ดูเหมือนว่าวิธีที่ง่ายกว่า: เราสามารถเขียน Y=tan(2tan- 1X)Y=tan⁡(2tan−1⁡X)Y=\tan(2\tan^{-1}X) ใช้ตัวตน 2 ตันZ1 -สีน้ำตาล2Z= ผิวสีแทน2 z2tan⁡z1−tan2⁡z=tan⁡2z\frac{2\tan z}{1-\tan^2z}=\tan 2z ตอนนี้ X∼ …

9 self-study  distributions  mathematical-statistics  random-variable 

ทำให้แสดงถึงความเป็นอิสระของและC o v ( f( X) , Y) = 0∀ฉ( . )Cov(f(X),Y)=0∀f(.)\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(.)XXXYYY? ฉันคุ้นเคยกับคำจำกัดความความเป็นอิสระต่อไปนี้เท่านั้น XXX และ YYY. ฉx , y( x , y) =ฉx( x )ฉY( y)ฉx,Y(x,Y)=ฉx(x)ฉY(Y) f_{x,y}(x,y) = f_x(x)f_y(y)

9 random-variable  independence 

ให้จะ IID และx_i ดูเหมือนชัดเจน แต่ฉันมีปัญหาอย่างเป็นทางการที่ได้มาXiXiX_iX¯=∑ni=1XiX¯=∑i=1nXi\bar{X} = \sum_{i=1}^{n} X_iE[XiX¯]= ?E[XiX¯]= ? E\left[\frac{X_i}{\bar{X}}\right] = \ ?

9 probability  random-variable  expected-value 

เราไม่สามารถดูตัวอย่างhttps://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence สำหรับตัวอย่างที่น่าสนใจ แต่คำถามที่แท้จริงคือ: มีวิธีที่จะเสริมสร้างสภาพเพื่อให้ความเป็นอิสระดังต่อไปนี้? ตัวอย่างเช่นมีชุดของฟังก์ชั่นดังนั้นถ้าสำหรับทั้งหมดจึงเป็นอิสระต่อไปนี้? และชุดฟังก์ชั่นดังกล่าวต้องใหญ่ขนาดไหนไม่มีที่สิ้นสุด?g1,…,gng1,…,gng_1, \dotsc, g_nEgi(X)gj(Y)=Egi(X)Egj(Y)E⁡gi(X)gj(Y)=E⁡gi(X)E⁡gj(Y)\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)i,ji,ji,j และนอกจากนี้มีการอ้างอิงที่ดีที่ปฏิบัติต่อคำถามนี้หรือไม่?

9 probability  mathematical-statistics  references  random-variable  independence 

ฉันพยายามค้นหาการกระจายความน่าจะเป็นของผลรวมของตัวแปรสุ่มจำนวนหนึ่งที่ไม่ได้กระจายตัวแบบเดียวกัน นี่คือตัวอย่าง: จอห์นทำงานที่ศูนย์บริการลูกค้า เขารับสายที่มีปัญหาและพยายามแก้ปัญหา สิ่งที่เขาไม่สามารถแก้ไขได้เขาจะส่งต่อไปยังหัวหน้าของเขา สมมติว่าจำนวนการโทรที่เขาได้รับในหนึ่งวันเป็นไปตามการแจกแจงปัวซองด้วยค่าเฉลี่ยμμ\mu. ความยากลำบากของแต่ละปัญหาแตกต่างกันไปจากสิ่งที่เรียบง่าย (ซึ่งเขาสามารถจัดการได้อย่างแน่นอน) กับคำถามที่พิเศษมากซึ่งเขาไม่รู้วิธีแก้ปัญหา สมมติว่าความน่าจะเป็นที่เขาจะสามารถแก้ปัญหาi -th ตามการแจกแจงแบบเบต้าพร้อมพารามิเตอร์และและเป็นอิสระจากปัญหาก่อนหน้านี้ จำนวนการโทรติดต่อที่เขาแก้ไขในแต่ละวันคือเท่าไหร่?pipip_iαα\alphaββ\beta เป็นทางการมากขึ้นฉันมี: Y=I(N&gt;0)∑Ni=0XiY=I(N&gt;0)∑i=0NXiY = I(N > 0)\sum_{i = 0}^{N} X_i สำหรับ i=0,1,2,...,Ni=0,1,2,...,Ni = 0, 1, 2, ..., N ที่ ,และN∼Poisson(μ)N∼Poisson(μ)N \sim \mathrm{Poisson}(\mu)(Xi|pi)∼Bernoulli(pi)(Xi|pi)∼Bernoulli(pi)(X_i | p_i) \sim \mathrm{Bernoulli}(p_i)pi∼Beta(α,β)pi∼Beta(α,β)p_i \sim \mathrm{Beta}(\alpha, \beta) โปรดทราบว่าสำหรับตอนนี้ฉันยินดีที่จะสมมติว่า XiXiX_iเป็นอิสระ ฉันก็ยอมรับว่าพารามิเตอร์μ,αμ,α\mu, \alpha และ ββ\beta ไม่ส่งผลกระทบซึ่งกันและกันแม้ว่าในตัวอย่างจริงของเรื่องนี้เมื่อใด μμ\mu มีขนาดใหญ่พารามิเตอร์ …

9 probability  distributions  random-variable 

ฉันสนใจที่จะสร้างตัวแปรสุ่มซึ่งความไม่เท่าเทียมกันของ Markov หรือ Chebyshev แน่น ตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ คือตัวแปรสุ่มต่อไปนี้ P(X=1)=P(X=−1)=0.5P(X=1)=P(X=-1)=0.5P(X=1)=P(X=-1) = 0.50.5 ค่าเฉลี่ยของมันคือศูนย์แปรปรวนคือ 1 และ1 สำหรับตัวแปรสุ่ม chebyshev นี้จะแน่น (ถือด้วยความเสมอภาค)P(|X|≥1)=1P(|X|≥1)=1P(|X| \ge 1) = 1 P(|X|≥1)≤Var(X)12=1P(|X|≥1)≤Var(X)12=1P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1 มีตัวแปรสุ่มที่น่าสนใจ (ไม่เหมือนกัน) ที่ Markov และ Chebyshev แน่นกว่านี้หรือไม่? ตัวอย่างบางส่วนจะดี

9 probability  distributions  random-variable  probability-inequalities 

ตามทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระขนาดใหญ่มีแนวโน้มที่จะเป็นปกติ ดังนั้นเราสามารถพูดได้ว่าผลรวมของตัวแปรสุ่ม Cauchy อิสระจำนวนมากนั้นเป็นปกติหรือไม่

9 random-variable  central-limit-theorem  cauchy