คำถามติดแท็ก asymptotics

เมื่อ O ใหญ่ถูกใช้ครั้งแรกในวิทยาการคอมพิวเตอร์และเมื่อมันกลายเป็นมาตรฐาน? หน้าวิกิพีเดียเกี่ยวกับเรื่องนี้อ้างถึง Knuth, Big Omicron และ Big Omega และ Big Theta , SIGACT เมษายน - มิถุนายน 1976 แต่จุดเริ่มต้นของบทความนั้นอ่าน ส่วนมากของเรามีอากาศที่คุ้นเคยกับความคิดของการใช้สัญกรณ์ ยืนฟังก์ชั่นใด ๆ ที่มีความสำคัญเป็นบนขอบเขตโดยครั้งคงF ( n )สำหรับทุกขนาดใหญ่nต( f( n ) )O(ฉ(n))O(f(n))ฉ( n )ฉ(n)f(n)nnn คำพูดนี้แสดงให้เห็นว่าความคิดและสัญกรณ์นั้นมีการใช้งานทั่วไปอยู่แล้ว หน้า Wikipedia ยังอ้างถึงเอกสารทางคณิตศาสตร์จากปลายปี 1800 และต้นศตวรรษที่ 1900 แต่นั่นก็ไม่ได้ตอบคำถาม โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันได้ยินนักวิจัยที่อยู่แถวหลัง (ในยุค 60 และ 70 ไม่ใช่ช่วงปลายปี 1800) บอกว่าเมื่อมีการใช้การวิเคราะห์เชิงเส้นครั้งแรกบางคนผลักกลับบอกว่าเวลานาฬิกาแขวนเป็นตัวชี้วัดที่ดีกว่า อย่างไรก็ตามไม่มีใครที่ฉันได้พูดคุยเพื่ออ้างถึงเอกสารเฉพาะที่ได้รับการผลักดันเช่นนี้และฉันต้องการหาหลักฐานที่สามารถยืนยันหรือปฏิเสธเรื่องราวเหล่านี้

22 asymptotics  history 

ทฤษฎีบท Master เป็นเครื่องมือที่สวยงามสำหรับการแก้บางชนิดของการกลับเป็นซ้ำ อย่างไรก็ตามเรามักจะปัดส่วนที่สำคัญเมื่อนำไปใช้ ตัวอย่างเช่นระหว่างการวิเคราะห์ของการควบรวมกิจการเราไปอย่างมีความสุข T(n)=T(⌊n2⌋)+T(⌈n2⌉)+f(n)T(n)=T(⌊n2⌋)+T(⌈n2⌉)+f(n)\qquad T(n) = T\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\right) + T\left(\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil\right) + f(n) ถึง T′(n)=2T′(n2)+f(n)T′(n)=2T′(n2)+f(n)\qquad T'(n) = 2 T'\left(\frac{n}{2}\right) + f(n) พิจารณาเพียง k เรามั่นใจ ourselved ว่าขั้นตอนนี้เป็นที่ถูกต้อง - นั่นคือT ∈ Θ ( T ' ) - เพราะTพฤติกรรม "อย่าง" โดยทั่วไปเราถือว่าn = b kสำหรับbตัวส่วนร่วมn=2kn=2kn=2^kT∈Θ(T′)T∈Θ(T′)T \in \Theta(T')TTTn=bkn=bkn=b^kbbb มันเป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างซ้ำซึ่งไม่อนุญาตให้มีความเรียบง่ายนี้โดยการใช้หินฉตัวอย่างเช่นการเกิดซ้ำข้างต้นสำหรับTfffTTT\,/ด้วยT′T′\,T' f(n)={1n,n=2k,elsef(n)={1,n=2kn,else\qquad f(n) …

20 asymptotics  proof-techniques  recurrence-relation  master-theorem 

ขณะนี้ฉันกำลังเรียนรู้ด้วยตัวเอง Intro to Algorithms (CLRS) และมีวิธีการหนึ่งที่พวกเขาร่างในหนังสือเพื่อแก้ปัญหาความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ วิธีการต่อไปนี้สามารถอธิบายได้ด้วยตัวอย่างนี้ สมมติว่าเรามีการเกิดซ้ำ T( n ) = 2 T( n--√) + บันทึกnT(n)=2T(n)+log⁡nT(n) = 2T(\sqrt n) + \log n เริ่มแรกพวกเขาทำการทดแทน m = lg (n) แล้วเสียบกลับเข้าไปที่การเกิดซ้ำและรับ: T( 2)ม.) = 2 T( 2)ม.2) + mT(2m)=2T(2m2)+mT(2^m) = 2T(2^{\frac{m}{2}}) + m เมื่อมาถึงจุดนี้ฉันเข้าใจอย่างสมบูรณ์ ขั้นตอนต่อไปนี้เป็นขั้นตอนที่ทำให้ฉันสับสน ตอนนี้พวกเขา "เปลี่ยนชื่อ" การเกิดซ้ำและปล่อยให้S ( m ) = …

20 asymptotics  recurrence-relation  mathematical-analysis  landau-notation 

หลายครั้งถ้าความซับซ้อนมีค่าคงที่เช่น 3n เราจะละเลยค่าคงที่นี้และพูดว่า O (n) ไม่ใช่ O (3n) ฉันไม่สามารถเข้าใจได้ว่าเราจะเพิกเฉยต่อการเปลี่ยนแปลงทั้งสามนี้ได้อย่างไร บางสิ่งบางอย่างเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็ว 3 เท่ามากกว่าสิ่งอื่น! เหตุใดเราจึงละเลยข้อเท็จจริงนี้

20 complexity-theory  asymptotics  landau-notation 

สร้างสองฟังก์ชันพอใจ:ฉ, g: R+→ R+f,g:R+→R+ f,g: R^+ → R^+ ต่อเนื่อง;ฉ, gf,gf, g เพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อฉ, gf,gf, g และกรัม≠ O ( ฉ )ฉ≠ O ( g)f≠O(g)f \ne O(g)ก.≠ O ( f)g≠O(f)g \ne O(f)

19 asymptotics  landau-notation 

พิจารณาการเกิดซ้ำ T(n)=n−−√⋅T(n−−√)+cnT(n)=n⋅T(n)+cn\qquad\displaystyle T(n) = \sqrt{n} \cdot T\bigl(\sqrt{n}\bigr) + c\,n สำหรับn>2n>2n \gt 2ที่มีอย่างต่อเนื่องในเชิงบวกบางcccและT(2)=1T(2)=1T(2) = 1 1 ฉันรู้ทฤษฎีต้นแบบสำหรับการแก้ไขการเกิดซ้ำ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าเราจะแก้ปัญหาความสัมพันธ์นี้ได้อย่างไรโดยใช้ คุณเข้าใกล้พารามิเตอร์รากที่สองได้อย่างไร

18 asymptotics  recurrence-relation  master-theorem 

ขอบเขตล่างแบบเชิงเส้นกำกับเช่นความแข็งเลขชี้กำลังโดยทั่วไปมักคิดว่าบ่งบอกว่าปัญหาคือ "ยากโดยเนื้อแท้" การเข้ารหัสที่ "ยากโดยเนื้อแท้" ในการทำลายถือว่าเป็นความปลอดภัย อย่างไรก็ตามขอบเขตล่างแบบอะซิมโทติกไม่ได้ตัดทอนความเป็นไปได้ที่อินสแตนซ์ของปัญหาที่มีขนาดใหญ่ แต่มีจำนวน จำกัด นั้นเป็นเรื่องง่าย (เช่นทุกกรณีที่มีขนาดน้อยกว่า )10100010100010^{1000} มีเหตุผลใดบ้างที่คิดว่าการเข้ารหัสที่อิงตามขอบเขตล่างของซีมโทติคจะทำให้เกิดความปลอดภัยในระดับใดระดับหนึ่งหรือไม่? ผู้เชี่ยวชาญด้านความปลอดภัยพิจารณาความเป็นไปได้ดังกล่าวหรือไม่หรือไม่ก็เพิกเฉย ตัวอย่างคือการใช้ฟังก์ชั่นประตูกับดักตามการสลายตัวของจำนวนมากเป็นปัจจัยสำคัญ มีอยู่ช่วงหนึ่งที่คิดว่าเป็นเรื่องยากโดยเนื้อแท้ (ฉันคิดว่าเลขชี้กำลังเป็นการคาดเดา) แต่ตอนนี้หลายคนเชื่อว่าอาจมีอัลกอริทึมพหุนาม (เช่นเดียวกับการทดสอบแบบดั้งเดิม) ดูเหมือนว่าไม่มีใครสนใจเป็นอย่างมากเกี่ยวกับการขาดขอบเขตล่างแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล ฉันเชื่อว่าฟังก์ชั่นประตูกับดักอื่น ๆ ได้รับการเสนอชื่อซึ่งคิดว่าเป็น NP-hard (ดูคำถามที่เกี่ยวข้อง ) และบางคนอาจมีขอบเขตล่างที่พิสูจน์แล้ว คำถามของฉันเป็นพื้นฐานมากขึ้น: มันเป็นสิ่งสำคัญขอบเขต asymptotic คืออะไร? ถ้าไม่เป็นเช่นนั้นความปลอดภัยในทางปฏิบัติของรหัสการเข้ารหัสใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ความซับซ้อนแบบอะซิมโทติคหรือไม่?

16 complexity-theory  cryptography  asymptotics 

สิ่งที่ไม่logO(1)nlogO(1)⁡n\log^{O(1)}nหมายถึง? ฉันตระหนักถึงสัญกรณ์ใหญ่ ๆ แต่สัญกรณ์นี้ไม่สมเหตุสมผลสำหรับฉัน ฉันไม่สามารถหาข้อมูลเกี่ยวกับมันได้เนื่องจากไม่มีเครื่องมือค้นหาตีความอย่างถูกต้อง สำหรับบิตของบริบทประโยคที่ผมพบว่ามันอ่าน "[ ... ] เราเรียกฟังก์ชั่น [ประสิทธิภาพ] ถ้าจะใช้พื้นที่และที่มากที่สุดเวลาเข้าสู่ระบบO ( 1 ) nต่อรายการ."O(logn)O(log⁡n)O(\log n)logO(1)nlogO(1)⁡n\log^{O(1)}n

15 asymptotics  landau-notation 

ฉันได้อ่านIntroduction to Algorithmsโดย Cormen และคณะ และฉันอ่านงบทฤษฎีบทปริญญาโทที่เริ่มต้นในหน้า 73 ในกรณีที่ 3 นอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขปกติที่ต้องมีความพึงพอใจในการใช้ทฤษฎีบท: ... 3. ถ้า ฉ( n ) = Ω ( nเข้าสู่ระบบขa + ε)f(n)=Ω(nlogb⁡a+ε)\qquad \displaystyle f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \varepsilon}) สำหรับค่าคงที่และ ifε > 0ε>0\varepsilon > 0 ฉ( n / b ) ≤ c f( n )af(n/b)≤cf(n)\qquad \displaystyle af(n/b) \leq cf(n) [ …

15 algorithms  asymptotics  mathematical-analysis  landau-notation  master-theorem 

ฉันพยายามหาถูกผูกไว้สำหรับสมการการเกิดซ้ำดังต่อไปนี้:ΘΘ\Theta T( n ) = 2 T( n / 2 ) + T( n / 3 ) + 2 n2+ 5 n + 42T(n)=2T(n/2)+T(n/3)+2n2+5n+42 T(n) = 2 T(n/2) + T(n/3) + 2n^2+ 5n + 42 ฉันเข้าใจว่าทฤษฎีบทของ Master ไม่เหมาะสมเนื่องจากจำนวนย่อยและส่วนย่อยที่แตกต่างกัน นอกจากนี้ยังมีต้นไม้ recursion ไม่ทำงานเนื่องจากไม่มีT( 1 )T(1)T(1)หรือมากกว่าT( 0 )T(0)T(0)(0)

15 asymptotics  recurrence-relation  master-theorem 

เมื่อเราเปรียบเทียบความซับซ้อนของอัลกอริธึมสองตัวมันเป็นกรณีที่หรือ (อาจเป็นได้ทั้งคู่) โดยที่และคือเวลาทำงาน (ตัวอย่าง) ของอัลกอริธึมทั้งสองg ( n ) = O ( f ( n ) ) f gฉ( n ) = O ( g( n ) )ฉ(n)=O(ก.(n))f(n) = O(g(n))ก.( n ) = O ( f( n ) )ก.(n)=O(ฉ(n))g(n) = O(f(n))ฉฉfก.ก.g เป็นเช่นนี้เสมอหรือไม่ นั่นคืออย่างน้อยหนึ่งในความสัมพันธ์และถืออยู่เสมอนั่นคือสำหรับฟังก์ชั่นทั่วไป , ? ถ้าไม่เราต้องตั้งสมมติฐานอะไรและ (ทำไม) มันก็โอเคเมื่อเราพูดถึงอัลกอริทึมที่ใช้เวลา?g ( n ) …

15 asymptotics  mathematical-analysis 

จากสิ่งที่ฉันได้เรียนรู้ขอบเขตที่แน่นแบบไม่มีความหมายหมายความว่ามันถูกผูกไว้จากด้านบนและด้านล่างในสัญกรณ์ที แต่ขอบเขตบนที่มีความตึงเชิงเส้นตรงหมายถึงอะไรสำหรับสัญลักษณ์ Big-O

15 asymptotics 

สมมติว่าเรากำลังได้รับสองหมายเลขและและที่เราต้องการที่จะหาสำหรับL \ le i, \, J \ le Rlllrrrmax(i⊕j)max(i⊕j)\max{(i\oplus j)}l≤i,j≤rl≤i,j≤rl\le i,\,j\le r อัลกอริทึมnaïveเพียงตรวจสอบคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เช่นในทับทิมเรามี: def max_xor(l, r) max = 0 (l..r).each do |i| (i..r).each do |j| if (i ^ j > max) max = i ^ j end end end max end ฉันรู้สึกว่าเราสามารถทำได้ดีกว่าสมการกำลังสอง มีอัลกอริทึมที่ดีกว่าสำหรับปัญหานี้หรือไม่?

14 algorithms  algorithms  machine-learning  statistics  testing  terminology  asymptotics  landau-notation  reference-request  optimization  scheduling  complexity-theory  time-complexity  lower-bounds  communication-complexity  computational-geometry  computer-architecture  cpu-cache  cpu-pipelines  operating-systems  multi-tasking  algorithms  algorithm-analysis  education  correctness-proof  didactics  algorithms  data-structures  time-complexity  computational-geometry  algorithms  combinatorics  efficiency  partitions  complexity-theory  satisfiability  artificial-intelligence  operating-systems  performance  terminology  computer-architecture 

ฉันเขียน ∑i=1n1i=∑i=1nO(1)=O(n)∑i=1n1i=∑i=1nO(1)=O(n)\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i} = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n) แต่เพื่อนของฉันบอกว่านี่มันผิด จากแผ่นโกง TCS ฉันรู้ว่าผลรวมจะเรียกว่าซึ่งมีการเจริญเติบโตในลอการิทึมn ดังนั้นขอบเขตของฉันจึงไม่คมมาก แต่ก็เพียงพอสำหรับการวิเคราะห์ที่ฉันต้องการHnHnH_nnnn ฉันทำอะไรผิด? แก้ไข : เพื่อนของฉันบอกว่าด้วยเหตุผลเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ได้ ∑i=1ni=∑i=1nO(1)=O(n)∑i=1ni=∑i=1nO(1)=O(n)\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n i = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n) เห็นได้ชัดว่านี่ผิด! เกิดขึ้นที่นี่คืออะไร?

14 asymptotics  landau-notation 

ผมเข้าใจว่าจะเร็วกว่าΘ ( n log n )และช้ากว่าΘ ( n / log n ) อะไรคือสิ่งที่ยากสำหรับผมที่จะเข้าใจวิธีการที่จริงเปรียบเทียบΘ ( n log n )และΘ ( n / log n )กับΘ ( n ฉ )ที่0 < ฉ< 1Θ ( n )Θ(n)\Theta(n)Θ ( n บันทึกn )Θ(nlog⁡n)\Theta(n\log n)Θ ( n /บันทึกn )Θ(n/log⁡n)\Theta(n/\log n)Θ ( n บันทึกn )Θ(nlog⁡n)\Theta(n \log n)Θ …

14 asymptotics  mathematical-analysis  landau-notation