คำถามติดแท็ก random-variable

สำหรับตัวแปรสุ่ม ( ) ฉันรู้สึกว่าสัญชาตญาณ\ mathbb {E} [X | X> x]ควรจะเท่ากับx + \ mathbb {E} [x]ตั้งแต่ความจำโดยคุณสมบัติการกระจายของx | x> xเป็นเช่นเดียวกับที่ของxแต่ขยับตัวไปทางขวาโดยxX∼Exp(λ)X∼Exp(λ)X\sim \text{Exp}(\lambda)E[X]=1λE[X]=1λ\mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda}E[X|X>x]E[X|X>x]\mathbb{E}[X|X > x]x+E[X]x+E[X]x + \mathbb{E}[X]X|X>xX|X>xX|X > xXXXxxx อย่างไรก็ตามฉันกำลังดิ้นรนที่จะใช้คุณสมบัติที่ไม่มีหน่วยความจำเพื่อให้การพิสูจน์ที่เป็นรูปธรรม ความช่วยเหลือใด ๆ ที่ชื่นชมมาก ขอบคุณ

13 random-variable  exponential  conditional-expectation 

การแสดงออกสองอย่างนี้ทำให้ฉันสับสนมากเมื่อฉันเรียนรู้สถิติ ดูเหมือนว่าพวกเขาจะแตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ตัวอย่างสุ่มคือการสุ่มเก็บตัวอย่างจากประชากรในขณะที่ตัวแปรสุ่มเป็นเหมือนฟังก์ชั่นที่แมปชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดสอบเป็นจำนวนจริง อย่างไรก็ตามพูดว่าถ้าฉันวาดตัวอย่าง , ,และ , โดยที่และไม่เป็นที่รู้จักคือ , ,ตัวอย่างสุ่มหรือตัวแปรสุ่ม?X1X1X_1X2X2X_2X3X3X_3Xi∼N(μ,σ2)Xi∼N(μ,σ2)X_i \sim N(\mu,\sigma^2)μμ\muσσ\sigmaX1X1X_1X2X2X_2X3X3X_3

13 mathematical-statistics  random-variable  terminology  sample 

ในหนังสือ "ขีด จำกัด ของทฤษฎีความน่าจะเป็น" โดย Valentin V. Petrov ฉันเห็นความแตกต่างระหว่างคำจำกัดความของการแจกแจงว่า "ต่อเนื่อง" และ "ต่อเนื่องอย่างแน่นอน" ซึ่งระบุไว้ดังต่อไปนี้: ( ∗ )(* * * *)(*) "... การแจกแจงของตัวแปรสุ่มXXXถูกกล่าวว่าจะต่อเนื่องถ้าP( X∈ B ) = 0P(X∈B)=0P\left(X \in B\right)=0สำหรับเซตแน่นอนหรือนับได้BBBของคะแนนของเส้นจริง ๆ มันบอกว่าต่อเนื่องอย่างแน่นอนถ้าP( X∈ B ) = 0P(X∈B)=0P\left(X \in B\right)=0สำหรับ Borel ทุกชุดBBB of Lebesgue วัดศูนย์ ... " แนวคิดที่ฉันคุ้นเคยคือ: ( # )(#)(\#) "หากตัวแปรสุ่มมีฟังก์ชันการแจกแจงสะสมอย่างต่อเนื่องแสดงว่าเป็นตัวแปรที่ต่อเนื่องอย่างแน่นอน" คำถามของฉันคือ:คำถามของฉันคือ:\textbf{My …

13 probability  distributions  random-variable 

วิธีใดที่ใช้สำหรับทดสอบอัลกอริธึมการสร้างตัวแปรแบบสุ่ม

12 algorithms  hypothesis-testing  random-variable  random-generation 

Y X ∼ χ 2 ( n - 1 ) Y ∼ เบต้า( nXXXและมีการกระจายตัวแปรสุ่มแบบอิสระโดยที่และขวา) การกระจายของคืออะไร?YYYX∼χ2(n−1)X∼χ(n−1)2X\sim\chi^2_{(n-1)}Y∼Beta(n2−1,n2−1)Y∼Beta(n2−1,n2−1)Y\sim\text{Beta}\left(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2}-1\right)Z=(2Y−1)X−−√Z=(2Y−1)XZ=(2Y-1)\sqrt X ความหนาแน่นรอยต่อของได้รับจาก(X,Y)(X,Y)(X,Y) fX,Y(x,y)=fX(x)fY(y)=e−x2xn−12−12n−12Γ(n−12)⋅yn2−2(1−y)n2−2B(n2−1,n2−1)1{x&gt;0,0&lt;y&lt;1}fX,Y(x,y)=fX(x)fY(y)=e−x2xn−12−12n−12Γ(n−12)⋅yn2−2(1−y)n2−2B(n2−1,n2−1)1{x&gt;0,0&lt;y&lt;1}f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=\frac{e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n-1}{2}-1}}{2^{\frac{n-1}{2}}\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}\cdot\frac{y^{\frac{n}{2}-2}(1-y)^{\frac{n}{2}-2}}{B\left(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2}-1\right)}\mathbf1_{\{x>0\,,\,00\,,\,|z|<w\}} ไฟล์ PDF ส่วนขอบของนั้นคือ ซึ่งไม่ได้นำพาฉันไปทุกที่ฉZ ( Z ) = ∫ ∞ | z | f Z , W ( z , w )ZZZfZ(z)=∫∞|z|fZ,W(z,w)dwfZ(z)=∫|z|∞fZ,W(z,w)dwf_Z(z)=\displaystyle\int_{|z|}^\infty f_{Z,W}(z,w)\,\mathrm{d}w อีกครั้งในขณะที่ค้นหาฟังก์ชันการกระจายของฟังก์ชันเบต้า / แกมม่าที่ไม่สมบูรณ์จะปรากฏขึ้น:ZZZ FZ(z)=Pr(Z≤z)FZ(z)=Pr(Z≤z)F_Z(z)=\Pr(Z\le z) =Pr((2Y−1)X−−√≤z)=∬(2y−1)x√≤zfX,Y(x,y)dxdy=Pr((2Y−1)X≤z)=∬(2y−1)x≤zfX,Y(x,y)dxdy\quad\qquad=\Pr((2Y-1)\sqrt X\le z)=\displaystyle\iint_{(2y-1)\sqrt{x}\le z}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y …

12 self-study  distributions  mathematical-statistics  random-variable 

วิธีสร้างตัวอย่างของการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ถือสมมติ ?E(1X)=1E(X)E(1X)=1E(X)\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)=\frac{1}{\mathbb{E}(X)}P(X≠0)=1P(X≠0)=1\mathbb{P}(X\ne0)=1 ความไม่เท่าเทียมกันซึ่งต่อไปนี้จากความไม่เท่าเทียมกันของเซ่นสำหรับบวกมูลค่ารถอาร์วีเป็นเหมือน (ความไม่เท่าเทียมกันย้อนกลับถ้า ) เพราะนี่คือการทำแผนที่นูนสำหรับและเว้าสำหรับ&lt;0 ตามเงื่อนไขความเสมอภาคในความไม่เท่าเทียมกันของ Jensen ฉันเดาว่าการกระจายต้องทำให้เสื่อมถอยลงเพื่อให้เกิดความเสมอภาคที่จำเป็น กรณีเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่ความเสมอภาคถือเป็นเรื่องแน่นอนถ้า ae นี่คือตัวอย่างที่ฉันพบในหนังสือปัญหา: พิจารณาตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเช่นนั้นXXXE(1X)≥1E(X)E(1X)≥1E(X)\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)\ge\frac{1}{\mathbb{E}(X)}X&lt;0X&lt;0X<0x↦1xx↦1xx\mapsto\frac{1}{x}x&gt;0x&gt;0x>0x&lt;0x&lt;0x<0X=1X=1X=1XXXP(X=−1)=19,P(X=12)=P(X=2)=49P(X=−1)=19,P(X=12)=P(X=2)=49\mathbb{P}(X=-1)=\frac{1}{9}, \mathbb{P}(X=\frac{1}{2})=\mathbb{P}(X=2)=\frac{4}{9}{9} มันก็จะมีการยืนยันได้อย่างง่ายดายว่า 1E(1X)=1E(X)=1E(1X)=1E(X)=1\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)=\frac{1}{\mathbb{E}(X)}=1 ตัวอย่างนี้แสดงว่าไม่จำเป็นต้องเป็นค่าบวก (หรือลบ) ae สำหรับความเสมอภาคในหัวเรื่องที่จะถือ การกระจายที่นี่ไม่ได้ลดลงเช่นกันXXX ฉันจะสร้างตัวอย่างได้อย่างไรเหมือนอย่างที่ฉันพบในหนังสือเล่มนี้? มีแรงจูงใจอะไรบ้าง?

12 probability  distributions  random-variable  expected-value 

สมมติว่าเรามีตัวแปรสุ่มที่มีช่วงของค่าที่ล้อมรอบด้วยและโดยที่คือค่าต่ำสุดและคือค่าสูงสุดaaabbbaaabbb ฉันบอกว่าเป็นโดยที่คือขนาดตัวอย่างของเราการกระจายตัวตัวอย่างของค่าเฉลี่ยตัวอย่างของเราคือการแจกแจงแบบปกติ นั่นคือการที่เราเพิ่มเราได้ใกล้ชิดและใกล้ชิดกับการกระจายปกติ แต่ขีด จำกัด ที่เกิดขึ้นจริงเป็นคือเท่ากับการกระจายปกติn→∞n→∞n \to \inftynnnnnnn→∞n→∞n \to \infty อย่างไรก็ตามไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความของการแจกแจงแบบปกติที่จะต้องขยายจากเป็น ?−∞−∞- \infty∞∞\infty ถ้าสูงสุดของช่วงของเราคือแล้วตัวอย่างค่าเฉลี่ยสูงสุด (โดยไม่คำนึงถึงขนาดของกลุ่มตัวอย่าง) เป็นไปได้เท่ากับและตัวอย่างขั้นต่ำเฉลี่ยเท่ากับbbbbbbaaa ดังนั้นจึงดูเหมือนว่าฉันว่าแม้ว่าเราจะใช้วงเงินเป็นแนวทางอินฟินิตี้จัดจำหน่ายของเราไม่ได้มีการกระจายปกติที่เกิดขึ้นจริงเพราะมันมีขอบเขตโดยและขnnnaaabbb ฉันกำลังคิดถึงอะไร

12 normal-distribution  sampling  random-variable  central-limit-theorem 

ถ้าเป็นต่อเนื่องและเป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องแล้วสิ่งที่เราสามารถพูดเกี่ยวกับการกระจายของ ? มันต่อเนื่องหรือผสมกันY X + YXXXYYYX+ YX+YX+Y แล้วผลิตภัณฑ์ล่ะ?XYXYXY

12 self-study  distributions  random-variable 

ฉันสับสนเกี่ยวกับรายละเอียดบางอย่างเกี่ยวกับทฤษฎีบทของ Slutsky : ให้{Xn}{Xn}\{X_n\} , {Yn}{Yn}\{Y_n\}เป็นสองลำดับขององค์ประกอบแบบสุ่มสเกลาร์ / เวกเตอร์ / เมทริกซ์ ถ้าXnXnX_nลู่ในการกระจายไปยังองค์ประกอบสุ่มXXXและYnYnY_n ลู่เข้าในความน่าจะเป็นค่าคงที่cccดังนั้นXn+Yn XnYn Xn/Yn →d X+c→d cX→d X/c,Xn+Yn →d X+cXnYn →d cXXn/Yn →d X/c,\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, } ที่cccนั้นกลับด้านได้โดยที่→d→d{\xrightarrow {d}}หมายถึงลู่เข้าหากันในการแจกแจง หากทั้งสองลำดับในทฤษฎีบทของ Slutsky ทั้งคู่มารวมกันเป็นตัวแปรสุ่มที่ไม่เสื่อมโทรมทฤษฎีบทก็ยังคงใช้ได้และถ้าไม่ใช่ (มีคนให้ตัวอย่างเป็นตัวอย่าง) เงื่อนไขพิเศษที่ทำให้มันใช้ได้คืออะไร

12 probability  random-variable  convergence  slutsky-theorem 

ปล่อยเป็นลำดับของตัวแปรสุ่ม stในความเป็นไปได้โดยที่เป็นค่าคงที่คงที่ ฉันพยายามที่จะแสดงต่อไปนี้: และ ทั้งคู่ในความน่าจะเป็น ฉันมาที่นี่เพื่อดูว่าตรรกะของฉันเป็นเสียงหรือไม่ นี่คืองานของฉัน{Xn}n≥1{Xn}n≥1\{X_n\}_{n\geq 1}Xn→aXn→aX_n \to aa&gt;0a&gt;0a>0Xn−−−√→a−−√Xn→a\sqrt{X_n} \to \sqrt{a}aXn→1aXn→1\frac{a}{X_n}\to 1 พยายาม สำหรับส่วนแรกเรามี สังเกตว่า หลังจากนั้น |Xn−−−√−a−−√|&lt;ϵ⟸|Xn−a|&lt;ϵ|Xn−−−√+a−−√|=ϵ|(Xn−−−√−sqrta)+2a−−√||Xn−a|&lt;ϵ⟸|Xn−a|&lt;ϵ|Xn+a|=ϵ|(Xn−sqrta)+2a||\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|<\epsilon \impliedby |X_n-a|<\epsilon|\sqrt{X_n}+\sqrt{a}|=\epsilon|(\sqrt{X_n}-sqrt{a})+2\sqrt{a}| ≤ϵ|Xn−−−√−a−−√|+2ϵa−−√&lt;ϵ2+2ϵa−−√≤ϵ|Xn−a|+2ϵa&lt;ϵ2+2ϵa\leq \epsilon|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|+2\epsilon\sqrt{a}<\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a}ϵ2+2ϵa−−√&gt;ϵa−−√ϵ2+2ϵa&gt;ϵa\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a}>\epsilon\sqrt{a}P(|Xn−−−√−a−−√|≤ϵ)≥P(|Xn−a|≤ϵa−−√)→1asn→∞P(|Xn−a|≤ϵ)≥P(|Xn−a|≤ϵa)→1asn→∞P(|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|\leq \epsilon)\geq P(|X_n-a|\leq \epsilon\sqrt{a})\to 1 \;\;as\;n\to\infty ⟹Xn−−−√→a−−√inprobability⟹Xn→ainprobability\implies \sqrt{X_n}\to\sqrt{a} \;\;in\;probability สำหรับส่วนที่สองเรามี ตอนนี้เนื่องจากเป็นเรามีเป็นลำดับล้อมรอบ ในคำอื่น ๆ ที่มีอยู่เป็นจำนวนจริง STM ดังนั้น ดูที่ความน่าจะเป็นเรามี |aXn−1|=|Xn−aXn|&lt;ϵ⟸|Xn−a|&lt;ϵ|Xn||aXn−1|=|Xn−aXn|&lt;ϵ⟸|Xn−a|&lt;ϵ|Xn||\frac{a}{X_n}-1|=|\frac{X_n-a}{X_n}|<\epsilon \impliedby |X_n-a|<\epsilon|X_n|Xn→aXn→aX_n \to an→∞n→∞n \to \inftyXnXnX_nM&lt;∞M&lt;∞M<\infty|Xn|≤M|Xn|≤M|X_n|\leq M|Xn−a|&lt;ϵ|Xn|⟸|Xn−a|&lt;ϵM|Xn−a|&lt;ϵ|Xn|⟸|Xn−a|&lt;ϵM|X_n-a|<\epsilon|X_n|\impliedby |X_n-a|<\epsilon MP(|aXn−1|&gt;ϵ)=P(|Xn−a|&gt;ϵ|Xn|)≤P(|Xn−a|&gt;ϵM)→0asn→∞P(|aXn−1|&gt;ϵ)=P(|Xn−a|&gt;ϵ|Xn|)≤P(|Xn−a|&gt;ϵM)→0asn→∞P(|\frac{a}{X_n}-1|>\epsilon)=P(|X_n-a|>\epsilon|X_n|)\leq P(|X_n-a|>\epsilon M)\to …

12 random-variable  convergence  asymptotics  probability-inequalities  coverage-probability 

ความแปรปรวนของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มที่สัมพันธ์กันคืออะไร?kkk

12 variance  random-variable 

ฉันมีสองตัวแปรสุ่มและ0X&gt;0X&gt;0X > 0Y&gt;0Y&gt;0Y > 0 เนื่องจากฉันสามารถประมาณฉันจะประมาณCov(X,Y),Cov(X,Y),\text{Cov}(X, Y),Cov(log(X),log(Y))?Cov(log⁡(X),log⁡(Y))?\text{Cov}(\log(X), \log(Y))?

12 data-transformation  covariance  random-variable 

ฉันกำลังคิดถึงความหมายของครอบครัวในระดับตำแหน่ง ความเข้าใจของฉันคือสำหรับสมาชิกทุกคนในตระกูลมาตราส่วนตำแหน่งที่ตั้งที่มีพารามิเตอร์ตำแหน่งและมาตราส่วนจากนั้นการกระจายของไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ใด ๆ และมันก็เหมือนกันสำหรับทุกที่เป็นของตระกูลนั้นXXXaaabbbZ=(X- a ) / bZ=(X−a)/bZ =(X-a)/bXXX ดังนั้นคำถามของฉันคือคุณสามารถให้ตัวอย่างที่สุ่มสองตัวจากตระกูลการแจกจ่ายเดียวกันเป็นมาตรฐาน แต่ไม่ส่งผลให้ตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเดียวกันได้หรือไม่ พูดว่าและมาจากตระกูลการแจกจ่ายเดียวกัน (โดยที่ครอบครัวฉันหมายถึงตัวอย่างเช่น Normal หรือ Gamma และอื่น ๆ .. ) กำหนด:XXXYYY Z1=X-μσZ1=X−μσZ_1 = \dfrac{X-\mu}{\sigma} Z2=Y-μσZ2=Y−μσZ_2 = \dfrac{Y-\mu}{\sigma} เรารู้ว่าทั้งสองและมีความคาดหวังเหมือนกันและแปรปรวน 1Z1Z1Z_1Z2Z2Z_2μZ= 0 , σ2Z= 1μZ=0,σZ2=1\mu_Z =0, \sigma^2_Z =1 แต่พวกเขาสามารถมีช่วงเวลาที่สูงขึ้นแตกต่างกันได้หรือไม่ ความพยายามของฉันที่จะตอบคำถามนี้คือถ้าการแจกแจงของและขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์มากกว่า 2 ตัว และฉันกำลังคิดถึง general ทั่วไปที่มี 3 พารามิเตอร์XXXYYYt - s t ude n …

12 probability  distributions  mathematical-statistics  random-variable  moments 

สมมติว่าเรามีความสุ่มเวกเตอร์ , ดึงออกมาจากการกระจายกับฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็น{x}) ถ้าเราแปลงเชิงเส้นโดยอันดับเต็มเมทริกซ์เพื่อรับดังนั้นความหนาแน่นของจะถูกกำหนดโดยX⃗ ∈RnX→∈Rn\vec{X} \in \mathbb{R}^nfX⃗ (x⃗ )fX→(x→)f_\vec{X}(\vec{x})n×nn×nn \times nAAAY⃗ =AX⃗ Y→=AX→\vec{Y} = A\vec{X}Y⃗ Y→\vec{Y}fY⃗ (y⃗ )=1|detA|fX⃗ (A−1y⃗ ).fY→(y→)=1|detA|fX→(A−1y→). f_{\vec{Y}}(\vec{y}) = \frac{1}{\left|\det A\right|}f_{\vec{X}}(A^{-1}\vec{y}). ตอนนี้บอกว่าเราเปลี่ยนX⃗ X→\vec{X}แทนโดยm×nm×nm \times nเมทริกซ์BBBกับm&gt;nm&gt;nm > nให้Z⃗ =BX⃗ Z→=BX→\vec{Z} = B\vec{X}{X} เห็นได้ชัดว่าZ∈RmZ∈RmZ \in \mathbb{R}^mแต่มัน "ชีวิตในที่" nnnมิติสเปซG⊂RmG⊂RmG \subset \mathbb{R}^mเมตร อะไรคือความหนาแน่นของเงื่อนไขของZ⃗ Z→\vec{Z}ให้ที่เรารู้ว่ามันอยู่ในGGG ? สัญชาตญาณแรกของฉันคือการใช้หลอกผกผันของBBBBถ้าB=USVTB=USVTB = U S V^Tคือการสลายตัวมูลค่าเอกพจน์BBBแล้วB+=VS+UTB+=VS+UTB^+ = …

12 references  random-variable  pdf  linear 

ให้ ~และ ~เป็นสองตัวแปรสุ่มอิสระพร้อมการแจกแจงที่กำหนด การกระจายของคืออะไร?XXXยู( 0 , 2 )U(0,2)U(0,2)YYYยู( - 10 , 10 )U(−10,10)U(-10,10)V= XYV=XYV=XY ฉันได้ลองทำข้อตกลงโดยรู้ว่า h ( v ) = ∫Y= + ∞Y= - ∞1YฉY(y) fX( vY) dYh(v)=∫y=−∞y=+∞1yfY(y)fX(vy)dyh(v) = \int_{y=-\infty}^{y=+\infty}\frac{1}{y}f_Y(y) f_X\left (\frac{v}{y} \right ) dy นอกจากนี้เรายังรู้ว่า , ฉY( y) = 120fY(y)=120f_Y(y) = \frac{1}{20} h(v)=1h ( v ) = 120∫Y= 10Y= …

12 distributions  random-variable