คำถามติดแท็ก ct.category-theory

ฉันได้เรียนรู้ทฤษฎีหมวดหมู่เล็กน้อย แน่นอนว่ามันเป็นวิธีที่แตกต่างในการมองสิ่งต่าง ๆ (สรุปคร่าวๆสำหรับผู้ที่ไม่ได้เห็น: ทฤษฎีหมวดหมู่ให้วิธีการแสดงพฤติกรรมทางคณิตศาสตร์ทุกชนิดเพียงอย่างเดียวในแง่ของความสัมพันธ์การทำงานระหว่างวัตถุตัวอย่างเช่นสิ่งต่าง ๆ เช่นผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของทั้งสองชุดถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์ในแง่ของ ฟังก์ชั่นอื่น ๆ ทำงานอย่างไรกับมันไม่ใช่ในแง่ขององค์ประกอบที่เป็นสมาชิกของชุด) ฉันมีความเข้าใจที่คลุมเครือว่าทฤษฎีหมวดหมู่มีประโยชน์ในด้านการเขียนโปรแกรมภาษา / ตรรกะ ("ทฤษฎี B") และฉันสงสัยว่าอัลกอริทึมและความซับซ้อน ("ทฤษฎี A") จะมีประโยชน์มากเพียงใด มันอาจช่วยให้ฉันลงจากพื้นได้ถ้าฉันรู้ว่ามีการใช้งานที่เป็นของแข็งของทฤษฎีหมวดหมู่ในทฤษฎี B. (ฉันอยู่แล้วโดยปริยายสมมติว่าไม่มีการใช้งานในทฤษฎี A ที่พบจนถึงตอนนี้ แต่ถ้าคุณมีบางอย่างนั้น ดีกว่าสำหรับฉัน!) โดย "แอปพลิเคชันแข็ง" ฉันหมายถึง: (1) แอปพลิเคชันขึ้นอยู่กับทฤษฎีหมวดหมู่เป็นอย่างมากซึ่งทำได้ยากมากโดยไม่ต้องใช้เครื่องจักร (2) แอปพลิเคชันจะเรียกใช้อย่างน้อยหนึ่งทฤษฎีที่ไม่น่าสนใจของทฤษฎีหมวดหมู่ (เช่นบทแทรกของ Yoneda) อาจเป็นไปได้ว่า (1) หมายถึง (2) แต่ฉันต้องการตรวจสอบให้แน่ใจว่านี่เป็นแอปพลิเคชัน "ของจริง" ในขณะที่ฉันมีพื้นหลัง "ทฤษฎี B" บางอย่างมันเป็นเวลานานดังนั้นการยกเลิกการพูดปดใด ๆ จะได้รับการชื่นชมมาก (ขึ้นอยู่กับชนิดของคำตอบที่ฉันได้รับฉันอาจเปลี่ยนคำถามนี้เป็นวิกิชุมชนในภายหลัง แต่ฉันต้องการแอปพลิเคชันที่ดีพร้อมคำอธิบายที่ดีดังนั้นจึงเป็นเรื่องน่าอายที่จะไม่ให้รางวัลผู้ตอบด้วยบางสิ่ง)

103 pl.programming-languages  lo.logic  ct.category-theory 

ฉันต้องการที่จะเข้าใจApplicativeในแง่ของทฤษฎีหมวดหมู่ เอกสารสำหรับการApplicativeบอกว่ามันเป็นเรื่องที่มีความแข็งแกร่ง functor ครั้งแรกที่วิกิพีเดียหน้าเกี่ยวกับfunctors monoidalบอกว่า functor monoidal เป็นทั้งหละหลวมหรือที่แข็งแกร่ง ดังนั้นสำหรับฉันดูเหมือนว่าแหล่งใดแหล่งหนึ่งผิดหรือใช้เงื่อนไขต่างกัน มีใครอธิบายได้บ้าง ประการที่สองประเภท monoidal ซึ่งApplicativeเป็น function monoidal คืออะไร? ฉันสมมติว่า functors เป็น endo-functors ในหมวดหมู่ Haskell มาตรฐาน (object = types, morphisms = ฟังก์ชั่น) แต่ฉันไม่รู้ว่าโครงสร้าง monoidal ของหมวดนี้คืออะไร ขอบคุณที่ช่วยเหลือ.

40 lo.logic  type-theory  functional-programming  ct.category-theory 

ฉันมีฐานที่แข็งแกร่งในพีชคณิตนั่นคือ พีชคณิตสลับ พีชคณิต homological ทฤษฎีสนาม ทฤษฎีหมวดหมู่ และฉันกำลังเรียนเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ฉันเป็นวิชาคณิตศาสตร์ที่มีความโน้มเอียงที่จะเปลี่ยนไปใช้วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี การรักษาเขตข้อมูลที่กล่าวถึงข้างต้นในใจซึ่งสาขาใดจะเป็นสาขาที่เหมาะสมที่สุดในวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีที่จะเปลี่ยน? นั่นคือในทางใดที่ทฤษฎีและคณิตศาสตร์สามารถได้รับวุฒิภาวะโดยการใฝ่หาข้อมูลด้านบนจะถูกนำมาใช้เพื่อประโยชน์ของคน?

33 soft-question  algebra  advice-request  ct.category-theory 

มันเหมาะสมหรือไม่ที่จะพิจารณาหมวดหมู่ของปัญหา NP-complete ทั้งหมดโดยมี morphisms เป็นการลดเวลาแบบโพลีระหว่างอินสแตนซ์ต่างๆ มีใครเคยตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับเรื่องนี้และถ้าเป็นเช่นนั้นฉันจะหาได้ที่ไหน

28 cc.complexity-theory  np-hardness  ct.category-theory 

นี่คือปริศนาที่ฉันยังไม่สามารถไขปริศนาได้ ฉันต้องการทราบว่าปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันดีอยู่แล้วหรือมีวิธีแก้ปัญหาที่ง่าย มันเป็นไปได้ที่จะกำหนด bijection โดยใช้คุณสมบัติของประเภทปิด bicartesian Andrej Bauer โพสต์คำอธิบายว่าสิ่งนี้มีความหมายอย่างไรในบล็อกของเขาในชื่อ " Constructive gem: juggling exponentials "3N≅5N3N≅5N 3^\mathbb{N} \cong 5^\mathbb{N} bijection นี้มีคุณสมบัติที่น่าสนใจ: มันคือ "bounded-input" ซึ่งหมายความว่าแต่ละองค์ประกอบของผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับองค์ประกอบหลาย ๆ อย่างของ input อย่างไรก็ตามสำหรับดูเหมือนว่าการก่อสร้างนี้สามารถแสดงให้เห็นว่าk Nและl Nนั้น isomorphic ถ้าkและlแปลกหรือทั้งคู่ ใบนี้เปิดคำถาม:k,l≥2k,l≥2k,l\geq 2kNkN k^\mathbb{N} lNlN l^\mathbb{N} kkklll มี bijection อินพุตที่ถูกป้อนจากถึง3 Nหรือไม่?2N2N 2^\mathbb{N} 3N3N 3^\mathbb{N} นี่คือบันทึกสั้นอธิบายปัญหาในรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่: คาดเดาเกี่ยวกับ bijections กระโดดอินพุตของลำดับอนันต์ คำนิยาม: ฟังก์ชั่นเป็นที่สิ้นสุดอินพุตถ้ามีจำนวนเต็มk …

28 puzzles  ct.category-theory  topology 

Grothendieck ได้ล่วงลับไปแล้ว เขามีผลกระทบอย่างมากในคณิตศาสตร์ศตวรรษที่ 20 ต่อเนื่องในศตวรรษที่ 21 คำถามนี้เป็นคำถามที่ถามบ้างในสไตล์ / จิตวิญญาณเช่นของผลงานอลันทัวริงวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ อะไรคืออิทธิพลสำคัญของGrothendieckเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี?

27 big-picture  ct.category-theory  ho.history-overview 

อาจเป็นแอพพลิเคชั่นที่ใช้กันทั่วไปของประเภทเชิงเส้นใน PL คือการใช้ภาษาเหล่านั้นเพื่อให้นามแฝงควบคุม (กล่าวคือค่าเชิงเส้นมีตัวชี้เดียวให้มากหรือน้อย) แต่มีความไม่ตรงกันเล็กน้อยระหว่างการใช้งานนี้กับโมเดลเชิงเส้นตรงทั่วไปของลอจิกเชิงเส้น IIRC, เบนตันแสดงให้เห็นว่าหากหมวดหมู่ปิดคาร์ทีเซียนมีโมดัลสับเปลี่ยนที่แข็งแกร่งแล้วหมวดหมู่ของพีชคณิตของมันจะถูกปิดแบบสมมาตร (เช่นรูปแบบของตรรกะเชิงเส้น) แต่ทฤษฎีนี้ไม่ได้ใช้กับการใช้นามแฝงในการควบคุมเนื่องจากรัฐ monad ไม่ใช่การสับเปลี่ยน ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาซิมป์สันและเพื่อนร่วมงานของเขาได้ให้แคลคูลัสสำหรับพระที่แข็งแกร่งทั่วไปซึ่งไม่ใช่แคลคูลัสเชิงตรรกะสำหรับเชิงเส้น ดังนั้นคำถามของฉันคืออะไรความหมายเชิง Denotational ของภาษาเชิงเส้นกับรัฐ? มี non-degenerate (เช่นเมตริกซ์ไม่ใช่ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน) ประเภท monoidal ปิดสมมาตรซึ่งการจัดสรรการอ่านและการปรับปรุงเชิงเส้นสามารถเป็นแบบจำลอง?

23 pl.programming-languages  ct.category-theory  imperative-programming  denotational-semantics  linear-logic 

มีคำอธิบายที่เป็นประโยชน์ของฟิวเจอร์สหรือสัญญาในแง่ของทฤษฎีหมวดหมู่หรือไม่? โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่คู่แท้ของอนาคตจะเป็นอย่างไร

22 pl.programming-languages  ct.category-theory  concurrency 

ในคาร์ทีเซียนปิดหมวดหมู่ ( CCC ) ที่มีอยู่ที่เรียกว่าวัตถุชี้แจงเป็นลายลักษณ์อักษรBABAB^Aเมื่อ CCC ถือเป็นรูปแบบของการให้เพียงแค่พิมพ์λλ\lambdaแคลคูลัสวัตถุชี้แจงเช่นBABAB^Aลักษณะพื้นที่ฟังก์ชั่นจากประเภทประเภทB แนะนำให้ใช้ลูกศรชี้แจงแทนวัตถุที่เรียกว่าc u r r y : ( A × B → C ) → ( A → C BAAABBBและกำจัดโดยลูกศรที่เรียกว่าพีพีลิตรY : C B × B → C (ซึ่งน่าเสียดายที่เรียกว่าอีโวลิตรในตำรามากที่สุดในหมวดหมู่ทฤษฎี) คำถามของฉันที่นี่คือ: มีความแตกต่างระหว่างวัตถุเลขชี้กำลัง C Bและลูกศร B → Cหรือไม่curry:(A×B→C)→(A→CB)curry:(A×B→C)→(A→CB)curry : (A \times B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow …

21 type-theory  lambda-calculus  ct.category-theory 

ฉันสังเกตเห็นว่าภาษาปกติของตัวอักษรสามารถคิดได้ว่าเป็น poset และเป็นขัดแตะ ยิ่งไปกว่านั้นการต่อข้อมูลร่วมกับภาษาที่ว่างเปล่ากำหนดโครงสร้าง monoidal ที่เข้มงวดในหมวดหมู่นี้ที่กระจายผ่านการรวม (ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับการพบกัน) นี่เป็นโครงสร้างที่มีประโยชน์ในทางทฤษฎีหรือการปฏิบัติของภาษาปกติหรือไม่? มีส่วนเสริมที่ดีที่จะพบเช่นเราสามารถกำหนดดาว Kleene เป็นหนึ่งได้หรือไม่?ϵΣΣ\Sigmaεϵ\epsilon นี่เป็นสำเนาคำถามที่ถามในหลักสูตร Compilers ที่ Coursera: https://class.coursera.org/compilers/forum/thread?thread_th=311

21 fl.formal-languages  regular-language  ct.category-theory 

ข้อจำกัดความรับผิดชอบ: ฉันไม่ใช่นักทฤษฎี CS มาจากพีชคณิตนามธรรมฉันคุ้นเคยกับสิ่งต่าง ๆ ที่มีความเท่าเทียมกับมอร์ฟิซึ่มส์ - แต่ฉันมีปัญหาในการแปลงแนวคิดนี้เป็นโครงสร้างข้อมูล ฉันแรกคิดว่าตรง morphisms bijective ตั้งทฤษฎีจะพอเพียง แต่ฉันวิ่งเข้าไปในกำแพงค่อนข้างเร็ว - เหล่านั้นเป็นเพียงการเข้ารหัสและไม่จับสาระสำคัญการคำนวณของโครงสร้างข้อมูล มีคำจำกัดความที่เข้มงวดกว่า (แต่มีประโยชน์มากกว่า) หรือไม่? (หรือถ้าไม่ใช่ทำไม?) มีคำจำกัดความตามบัญญัติของหมวดหมู่ "โครงสร้างข้อมูลที่สร้างขึ้น" หรือไม่?

20 ds.data-structures  algebra  ct.category-theory 

ทฤษฎีบทจำนวนมากและ "ความขัดแย้ง" ของต้นเสียง diagonalization, undecidability ของความเกลียดชัง, ความไม่แน่นอนของความซับซ้อนของ Kolmogorov, ความไม่สมบูรณ์ของGödel, ความไม่สมบูรณ์ของ Chaitin, ความขัดแย้งของ Chaitin, ฯลฯ - ทั้งหมดมีหลักฐานเดียวกันโดย diagonalization ทั้งหมดจะได้รับการพิสูจน์โดย diagonalization ค่อนข้างมันรู้สึกว่าทั้งหมดของทฤษฎีบทเหล่านี้จริงๆใช้เดียวกัน diagonalization สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมดูเช่นYanofskyหรือขึ้นสั้นมากและน้อยกรงเล็บบัญชี คำตอบของฉันไปที่คำถามนี้ ) ในความคิดเห็นในคำถามดังกล่าวข้างต้น, Sasho Nikolov ชี้ให้เห็นว่าส่วนใหญ่ของผู้เป็นกรณีพิเศษของLawvere คงจุดทฤษฎีบท หากพวกเขาเป็นกรณีพิเศษทั้งหมดนี่จะเป็นวิธีที่ดีในการรวบรวมความคิดข้างต้น: จะมีผลหนึ่งเดียวที่มีหลักฐานหนึ่งข้อ (Lawvere's) ซึ่งทั้งหมดข้างต้นเป็นไปตามข้อพิสูจน์โดยตรง ตอนนี้สำหรับGödelขาดและ undecidability ของลังเลปัญหาและเพื่อน ๆ ของพวกเขาก็เป็นที่รู้จักกันดีว่าพวกเขาปฏิบัติตามจาก Lawvere คงจุดทฤษฎีบท (ดูเช่นที่นี่ , ที่นี่หรือYanofsky ) แต่ฉันไม่เห็นว่าจะทำเช่นนั้นได้อย่างไรเพื่อความซับซ้อนของ Kolmogorov แม้ความจริงที่ว่าหลักฐานที่พิสูจน์แล้วจะเป็นแบบเดียวกันก็ตาม ดังนั้น: undecidability ของความซับซ้อนของ …

17 lo.logic  computability  ct.category-theory  kolmogorov-complexity 

เริ่มต้นจาก Curry-Howard-Lambek มีทรินิตี้ที่ดีของทฤษฎีประเภท logics และหมวดหมู่ ฉันอยากรู้ว่าคุณมีความหมายเชิงหมวดหมู่อย่างไรเมื่อคุณเพิ่ม subtyping (บีบบังคับ) ให้กับทฤษฎีประเภท - ดูเหมือนว่านี่จะไม่ได้รับการสำรวจมากนักหากเลย โดยทั่วไปการเพิ่ม subtyping ที่บีบบังคับให้กับทฤษฎีประเภทนั้นไม่ได้ทำลายคุณสมบัติ meta-theoretic เช่นการฟื้นฟูที่ปกติดังนั้นความหมายเชิงหมวดหมู่ของมันน่าจะเป็นสิ่งที่น่าสนใจจริงๆ

17 lo.logic  type-theory  ct.category-theory 

Monad ใด ๆ ก็เป็น functor สมัครและ functor สมัครใด ๆ ที่เป็น functor นอกจากนี้ comonad ใด ๆ ก็เป็นนักแสดง มีแนวคิดที่คล้ายกันระหว่าง comonads และ functors บางอย่างเช่น functor co-applicative และคุณสมบัติของมันคืออะไร? \begin{array}{c} \end{array} functors↑ฟังก์ชั่นการใช้งาน↑monadsfunctors↑? ? ?↑Comonadsfunctorsfunctors↑↑ฟังก์ชั่นการใช้งาน???↑↑monadsComonads\begin{array}{cc} \mbox{Functors} & & \mbox{Functors} \\ \uparrow & & \uparrow \\ \mbox{Applicative functors} & & ??? \\ \uparrow & & \uparrow \\ …

17 ct.category-theory  monad  applicative  comonad 

ฉันพยายามอ่าน“ การออกแบบอัลกอริธึมเชิงฟังก์ชัน ” และต่อมา“ พีชคณิตของการเขียนโปรแกรม ” และมีการติดต่อที่ชัดเจนระหว่างชนิดข้อมูลที่กำหนดซ้ำ (และ polynomially) และวัตถุ combinatorial โดยมีนิยามแบบเรียกซ้ำและต่อมาเป็นผู้นำ ในซีรี่ส์พลังที่เป็นทางการเดียวกัน (หรือการสร้างฟังก์ชั่น) ดังที่แสดงไว้ในบทนำของสปีชีส์ combinatorial (ฉันอ่าน "สปีชี่และผู้รอบรู้และประเภท, โอ้มาย! ") ดังนั้นสำหรับคำถามแรกมีวิธีการกู้คืนสมการสร้าง (เรียกซ้ำ) จากชุดพลังงานหรือไม่? นั่นคือความคิดในภายหลัง ฉันสนใจแนวคิดของ algebras เริ่มต้นและ co-algebras สุดท้ายในรูปแบบของ“ การกำหนดขั้นตอนเกี่ยวกับโครงสร้างข้อมูล” มีกฎในทางปฏิบัติบางประการในการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบผลิตภัณฑ์ของการทำแผนที่ระหว่างจีบราส์และที่คล้ายกันซึ่งได้อธิบายไว้ตัวอย่างในบทช่วยสอนนี้. สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่านี่อาจเป็นวิธีที่ทรงพลังทีเดียวในการเข้าหาความซับซ้อนและยกตัวอย่างเช่นมันดูเหมือนตรงไปตรงมามากที่จะกู้คืนทฤษฎีบทของอาจารย์ในบริบทเช่นนั้น (ฉันหมายความว่าคุณต้องทำข้อโต้แย้งเดียวกัน และ catamorphism ที่ไม่เหมือนใครจากพีชคณิตเริ่มต้นและความจริง (ฉันเข้าใจผิด?) ว่าพีชคณิตระหว่าง A และ FA สำหรับ F-polynomial functor isomorphic ทำให้ฉันมองว่าวิธีการดังกล่าวอาจมีประโยชน์มากมายในการวิเคราะห์ความซับซ้อนของ การดำเนินงานมากกว่าโครงสร้างข้อมูล จากมุมมองของภาคปฏิบัติดูเหมือนว่ากฎฟิวชั่น (โดยทั่วไปวิธีในการเขียน morphisms …

17 cc.complexity-theory  co.combinatorics  functional-programming  ct.category-theory