คำถามติดแท็ก fourier-analysis

หลายปีที่ฉันคุ้นเคยกับการเห็นทฤษฎีบท TCS จำนวนมากที่พิสูจน์แล้วโดยใช้การวิเคราะห์ฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง การแปลง Walsh-Fourier (Hadamard) มีประโยชน์ในแทบทุกสาขาย่อยของ TCS รวมถึงการทดสอบคุณสมบัติการปลอมแปลงความซับซ้อนการสื่อสารและการคำนวณควอนตัม ในขณะที่ฉันรู้สึกสบายใจกับการใช้การวิเคราะห์ฟูริเยร์ของฟังก์ชั่นบูลีนเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มากเมื่อฉันจัดการกับปัญหาและแม้ว่าฉันจะมีลางสังหรณ์ที่ดีซึ่งกรณีที่ใช้การวิเคราะห์ฟูริเยร์อาจให้ผลลัพธ์ที่ดี ฉันต้องยอมรับว่าฉันไม่แน่ใจจริงๆว่ามันคืออะไรที่ทำให้การเปลี่ยนแปลงพื้นฐานนี้มีประโยชน์มาก ไม่มีใครมีสัญชาตญาณว่าทำไมการวิเคราะห์ฟูริเยร์จึงมีผลในการศึกษา TCS หรือไม่? ทำไมปัญหาที่ยากลำบากมากมายดูเหมือนจะได้รับการแก้ไขโดยการเขียนส่วนขยายฟูริเยร์และดำเนินการจัดการบางอย่าง? หมายเหตุ: ปรีชาหลักของฉันป่านนี้น้อยอาจเป็นว่าเรามีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับวิธีการทำงานของพหุนามและการแปลงฟูริเยร์เป็นวิธีธรรมชาติของการดูฟังก์ชั่นเป็นพหุนามหลายชั้น แต่ทำไมฐานนี้โดยเฉพาะ มีอะไรพิเศษในฐานของความเท่าเทียมกัน?

59 soft-question  boolean-functions  fourier-analysis 

ได้รับแรงบันดาลใจจากคำถามนี้และโดยเฉพาะอย่างยิ่งย่อหน้าสุดท้ายของคำตอบของ Or ฉันมีคำถามต่อไปนี้: คุณรู้เกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีการเป็นตัวแทนของกลุ่มสมมาตรใน TCS หรือไม่? กลุ่มสมมาตรSnSnS_nคือกลุ่มของพีชคณิตทั้งหมดของ{ 1 , … , n }{1,…,n}\{1, \ldots, n\}มีองค์ประกอบการทำงานเป็นกลุ่ม เป็นตัวแทนของSnSnS_nเป็น homomorphism จากSnSnS_nเพื่อให้ตรงกลุ่มทั่วไปของ invertible n × nn×nn \times nเมทริกซ์ที่ซับซ้อน การเป็นตัวแทนกระทำบนCnCn\mathbb{C}^nโดยการคูณเมทริกซ์ การเป็นตัวแทนลดลงของSnSnS_nคือการกระทำที่ทำให้ไม่มีช่องว่างที่เหมาะสมของCnCn\mathbb{C}^nไม่แปรเปลี่ยน การเป็นตัวแทนที่ไม่ลดทอนของกลุ่ม จำกัด อนุญาตให้กลุ่มหนึ่งนิยามฟูเรียร์มากกว่ากลุ่มที่ไม่ใช่ศาสนาคริสต์ ฟูริเยร์นี้แปลงคุณสมบัติที่ดีบางส่วนของฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องที่แปลงเป็นกลุ่มวงจร / abelian ยกตัวอย่างเช่นการบิดกลายเป็นการคูณแบบพอยต์ในพื้นฐานฟูริเยร์ ทฤษฎีการแสดงของกลุ่มสมมาตรคือรวมกันอย่างสวยงาม แต่ละแทนที่ลดลงของSnSnS_nสอดคล้องกับพาร์ทิชันจำนวนเต็มของnโครงสร้างนี้และ / หรือการแปลงฟูริเยร์เหนือกลุ่มสมมาตรพบการใช้งานใด ๆ ใน TCS หรือไม่?nnn

42 co.combinatorics  permutations  fourier-analysis  gr.group-theory 

ให้เป็นฟังก์ชันบูลีนและขอให้คิดเกี่ยวกับ F เป็นฟังก์ชันจากจะ\} ในภาษานี้การขยายฟูริเยร์ของ f เป็นเพียงการขยายตัวของ f ในรูปของ monomials แบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสอิสระ ( monomials เหล่านี้เป็นพื้นฐานของพื้นที่ของฟังก์ชันจริงใน . ผลรวมของกำลังสองของสัมประสิทธิ์คือดังนั้นนำไปสู่การแจกแจงความน่าจะเป็นบน monomials แบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสอิสระ เราเรียกการกระจายตัวนี้ว่าการกระจายตัวแบบ Fฉฉf{ - 1 , 1 }n{-1,1}n\{-1,1\}^n{ - 1 , 1 }{-1,1}\{ -1,1 \}2n2n2^n{ - 1 , 1 }n{-1,1}n\{-1,1\}^n111ฉฉf ถ้า f สามารถอธิบายได้ด้วยวงจรเชิงลึกที่มีขอบเขตของขนาดพหุนามเราก็รู้จากทฤษฎีของ Linial, Mansour และ Nisan ว่าการแจกแจงแบบ F นั้นเน้นไปที่ monomials ของขนาดจนถึงน้ำหนักน้อยมาก สิ่งนี้ได้มาจาก Hastad …

29 cc.complexity-theory  lower-bounds  circuit-complexity  boolean-functions  fourier-analysis 

เครื่องจะได้รับการเข้าถึงของออราเคิลเพื่อสุ่มแบบบูลฟังก์ชั่นและสองฟูริเยร์สเปกตรัมและเอชPHPHPHf:{0,1}n→{−1,1}f:{0,1}n→{−1,1}f:\{0,1\}^n \to \{ -1,1 \}ggghhh Fourier spectra ของฟังก์ชันถูกกำหนดเป็น :fffF:{0,1}n→RF:{0,1}n→RF:\{0,1\}^n \to R F(s)=∑x∈{0,1}n(−1)(s⋅xmod 2)f(x)F(s)=∑x∈{0,1}n(−1)(s⋅xmod 2)f(x)F(s)=\sum_{x\in\{0,1\}^n} (-1)^\left( s\cdot x \mod\ 2 \right) f(x) หนึ่งในgggหรือhhhคือสเปกตรัมฟูเรียร์ที่แท้จริงของfffและอีกหนึ่งเป็นเพียงสเปกตรัมปลอมของฟูริเยร์ที่เป็นของฟังก์ชันบูลีนสุ่มที่ไม่รู้จัก ไม่ยากที่จะแสดงให้เห็นว่าเครื่องPHPHPHไม่สามารถประมาณค่าF(s)F(s)F(s)สำหรับsใด ๆsssได้ ความซับซ้อนของแบบสอบถามในการตัดสินใจด้วยความน่าจะเป็นที่ประสบความสำเร็จสูงเป็นที่หนึ่งจริงหรือไม่ เป็นที่น่าสนใจกับผมเพราะถ้าปัญหานี้ไม่ได้อยู่ในPHPHPHแล้วสามารถแสดงให้เห็นว่ามีการพยากรณ์ญาติที่BQPBQPBQPไม่เซตของPHPHPHPH

26 cc.complexity-theory  lg.learning  boolean-functions  fourier-analysis 

คุณสมบัติพื้นฐานของเวกเตอร์สเปซคือเวกเตอร์สเปซของมิติn - dสามารถกำหนดได้โดยdข้อ จำกัด เชิงเส้นอิสระเชิงเส้น - นั่นคือมีเวกเตอร์อิสระdเชิงเส้นw 1 , … , w d ∈ F n 2ที่ตั้งฉากกับVV⊆ Fn2V⊆F2nV \subseteq \mathbb{F}_2^nn - dn−dn-dddddddW1, … , wd∈ Fn2w1,…,wd∈F2nw_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^nVVV จากมุมมองของฟูริเยร์นี้จะเทียบเท่ากับบอกว่าตัวบ่งชี้ที่ฟังก์ชั่นของVได้วันที่ linearly อิสระที่ไม่ใช่ศูนย์สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ โปรดทราบว่า1 Vมีค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ที่ไม่ใช่ศูนย์รวมอยู่2 dแต่มีเพียงdเท่านั้นที่มีความเป็นอิสระเชิงเส้น1V1V1_VVVVddd 1V1V1_V2d2d2^dddd ฉันกำลังมองหาเวอร์ชั่นโดยประมาณของคุณสมบัติของช่องว่างเวกเตอร์ โดยเฉพาะฉันกำลังมองหาคำสั่งของแบบฟอร์มต่อไปนี้: Let จะมีขนาด2 n - d จากนั้นฟังก์ชั่นตัวบ่งชี้ที่1 Sมีที่มากที่สุดd ⋅ ล็อก( 1 / …

19 co.combinatorics  linear-algebra  boolean-functions  fourier-analysis 

ฟังก์ชั่นทั้งหมดที่มีน้ำหนักของฟูเรียร์จดจ่ออยู่กับเซตขนาดเล็ก (หรือเงื่อนไขที่มีระดับต่ำ) คำนวณโดยวงจรหรือไม่C0AC0\mathsf{AC}^0

18 cc.complexity-theory  circuit-complexity  boolean-functions  fourier-analysis 

ในปัญหาที่ฉันกำลังทำงานอยู่มีผู้ดำเนินการส่วนขยายเสียงเกิดขึ้นตามธรรมชาติและฉันอยากรู้ว่ามีงานก่อนหน้านี้หรือไม่ ก่อนอื่นให้ฉันแก้ไขโอเปอเรเตอร์เสียงรบกวนพื้นฐานTεTεT_{\varepsilon}ในฟังก์ชั่นบูลีนที่มีมูลค่าจริง กำหนดฟังก์ชั่นf:{0,1}n→Rf:{0,1}n→Rf: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}และεε\varepsilon , ppp ST 0≤ε≤10≤ε≤10 \leq \varepsilon \leq 1 , ε=1−2pε=1−2p\varepsilon = 1 - 2pเรากำหนดTε→RTε→RT_{\varepsilon} \to \mathbb{R}เป็น Tεf(x)=Ey∼μp[f(x+y)]Tεf(x)=Ey∼μp[f(x+y)]T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)] μpμp\mu_pคือการกระจายของได้รับโดยการตั้งค่าบิตของ bit แต่ละบิตให้เป็นอย่างอิสระโดยมีความน่าจะเป็นและอย่างอื่น เท่าที่เราสามารถคิดของกระบวนการนี้เป็นพลิกบิตของแต่ละกับความน่าจะเป็นอิสระพีตอนนี้ผู้ปฏิบัติงานด้านเสียงนี้มีคุณสมบัติที่มีประโยชน์มากมายรวมถึงการเป็นทวีคูณและมี eigenvalues ​​ที่ดีและ eigenvectors (โดยที่เป็นของพื้นฐานพาริตี)n 1 p 0 x p T ε 1 T ε 2 = T …

16 boolean-functions  fourier-analysis 

เราบอกว่าฟังก์ชั่นบูลีนf : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 }f:{0,1}n→{0,1}f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}เป็นkkk -junta ถ้าfffมีตัวแปรที่มีอิทธิพลต่อkส่วนใหญ่kk ให้f : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 }f:{0,1}n→{0,1}f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}เป็น2 k2k2k -junta แสดงว่าตัวแปรของฉffโดยx 1 , x 2 , ... , xx1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n …

16 co.combinatorics  boolean-functions  fourier-analysis  property-testing 

ผลที่ 1: ทฤษฎีบทของ Linial-Mansour-Nisan กล่าวว่าน้ำหนักของฟูริเยร์ของฟังก์ชันที่คำนวณโดยวงจรจะเน้นไปที่เซตย่อยที่มีขนาดเล็กและมีความน่าจะเป็นสูงC0Aค0\mathsf{AC}^0 ส่งผลให้เกิด 2: P A R I T YPARผมTY\mathsf{PARITY}มีน้ำหนักฟูเรียร์ของความเข้มข้นในการร่วมที่มีประสิทธิภาพของการศึกษาระดับปริญญาnnnn คำถาม: มีวิธีพิสูจน์ (ถ้าพิสูจน์ได้) P A R I T YPARผมTY\mathsf{PARITY}ไม่สามารถคำนวณได้โดยC0Aค0\mathsf{AC}^0วงจรผ่าน / ใช้ผลลัพธ์ 1 และ 2 หรือไม่?

14 cc.complexity-theory  circuit-complexity  boolean-functions  fourier-analysis 

ความซับซ้อนของการสืบค้นที่รู้จักกันดีที่สุดของอัลกอริทึมการเรียนรู้ Goldreich-Levin คืออะไร? บันทึกการบรรยายจากบล็อก Luca Trevisan ของ , บทแทรกที่ 3 ระบุว่ามันเป็นn) นี่เป็นที่รู้จักกันดีที่สุดในแง่ของการพึ่งพาหรือไม่? ฉันจะขอบคุณเป็นพิเศษสำหรับการอ้างอิงไปยังแหล่งข้อมูลอ้างอิง!O ( 1 / ϵ4ไม่มีบันทึกn )O(1/ε4nเข้าสู่ระบบ⁡n)O(1/\epsilon^4 n \log n)nnn คำถามที่เกี่ยวข้อง: ความซับซ้อนของการสืบค้นที่รู้จักกันดีที่สุดของอัลกอริทึมการเรียนรู้ Kushilevitz-Mansour คืออะไร?

14 cc.complexity-theory  reference-request  lg.learning  fourier-analysis 

สมมติว่าเรามีฟังก์ชั่นf:Zn2→Rf:Z2n→Rf:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R}เช่นนั้น∑x∈Zn2f(x)2=1∑x∈Z2nf(x)2=1\sum _{x\in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 = 1 (ดังนั้นเราจึงคิดว่า{f(x)2}x∈Zn2{f(x)2}x∈Z2n\{ f(x)^2\} _{x\in \mathbb{Z}_2^n}เป็นการกระจาย) . มันเป็นธรรมชาติที่จะกำหนดเอนโทรปีของฟังก์ชั่นดังต่อไปนี้: H(f)=−∑x∈Zn2f(x)2log(f(x)2).H(f)=−∑x∈Z2nf(x)2log⁡(f(x)2).H(f) = -\sum _{x \in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 \log \left( f(x)^2 \right) . ตอนนี้พิจารณาบิดของด้วยตัวเอง: [ F * F ] ( x ) = Σ Y ∈ Z n 2ฉ( Y ) F ( x + Y ) …

12 it.information-theory  boolean-functions  fourier-analysis 

ปัญหาเปิดที่น่าสนใจมากในการศึกษาการวัดความซับซ้อนของฟังก์ชันบูลีนคือความไวที่เรียกว่าการเปรียบเทียบความไวกับการบล็อกความไว สำหรับพื้นหลังกับความไวไวเมื่อเทียบกับบล็อกที่คุณสามารถดูบล็อกโพสต์ต่อไปของเอส Aaronson ที่http://www.scottaaronson.com/blog/?p=453 ความรู้ชั้นยอดที่ดีที่สุดที่รู้จักในในแง่ของs ( f )คือb s ( f ) = O ( e s ( f ) √bs(f)bs(f)bs(f)s(f)s(f)s(f) ) [Kenyon, Kutin paper] แต่แน่นอนว่ามันอาจจะสะดวกกว่าในการเชื่อมโยงs(f)กับความซับซ้อนอื่น ๆ ของการวัดfพูดว่าdeg(f), ระดับfเป็นพหุนามมากกว่าRคือขนาดของสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์สูงสุด .bs(f)=O(es(f)s(f)−−−−√)bs(f)=O(es(f)s(f))bs(f)=O(e^{s(f)}\sqrt{s(f)})s(f)s(f)s(f)fffdeg(f)deg⁡(f)\deg(f)fffRR\mathbb{R} คำถามคืออะไรขอบเขตบนที่ดีที่สุดที่รู้จักในในแง่ของs ( f ) ?deg(f)deg⁡(f)\deg(f)s(f)s(f)s(f)

11 cc.complexity-theory  reference-request  fourier-analysis 

ให้เป็นกลุ่ม abelian ที่มีขอบเขต จำกัด และให้Pเป็น polytope ในR Γที่กำหนดให้เป็นจุดx ที่สอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ΓΓ\GammaPPPRΓRΓ\mathbb{R}^\Gammaxxx ∑g∈Gxg≤|G|xg≥0∀G≤Γ∀g∈Γ∑g∈Gxg≤|G|∀G≤Γxg≥0∀g∈Γ\begin{array}{cl} \sum_{g\in G} x_g \le |G| & \forall G \le \Gamma \\ x_g \ge 0 & \forall g \in \Gamma \end{array} ที่หมายความGเป็นกลุ่มย่อยของΓ คือPหนึ่ง? ถ้าเป็นเช่นนั้นเราสามารถอธิบายลักษณะของจุดยอดได้หรือไม่?G≤ΓG≤ΓG \le \GammaGGGΓΓ\GammaPPP แต่เดิมคำถามของฉันเกิดขึ้นกับซึ่งมีตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ ( n = 2 , 3 ) แนะนำว่าคำตอบคือ "ใช่" และ "อาจจะ …

10 gr.group-theory  fourier-analysis  convex-geometry 

Braverman แสดงให้เห็นว่าการกระจายซึ่งเป็น ( l o gม.ε)โอ(d2)(logmϵ)O(d2)(log \frac{m}{\epsilon})^{O(d^2)}- อิสระ εϵ\epsilon- ความลึกของคนโง่ ddd AC0AC0AC^0 วงจรขนาด mmm โดย "การติดกาวเข้าด้วยกัน" การประมาณ Smolensky และการประมาณฟูริเยร์ของ AC0AC0AC^0ฟังก์ชั่นบูลีนที่คำนวณได้ ผู้เขียนและผู้ที่เคยคาดคะเนว่าการคาดเดาในขั้นต้นว่าเลขชี้กำลังนั้นสามารถลดลงได้O(d)O(d)O(d)และฉันอยากรู้ว่าถ้ามีความคืบหน้าเกี่ยวกับเรื่องนี้ในขณะที่ฉันคิดว่ามันจะเกี่ยวข้องกับการผลิตพหุนามซึ่งอยู่ใกล้กับระยะทางสหสัมพันธ์และเห็นด้วยกับฟังก์ชั่นในอินพุตจำนวนมากและฉันคิดว่ามันจะ เป็นการประมาณที่น่าสนใจมากที่จะหาโดยไม่ต้องติดกาวทั้งสองเข้าด้วยกัน มีเหตุผลบางอย่างที่คาดหวังว่าการประมาณดังกล่าวจะต้องมีระดับO(d2)O(d2)O(d^2) ไม่เป็นที่รู้จักเมื่อ Braverman เขียนบทความของเขาในปี 2010? คำถามอื่นเกี่ยวกับกระดาษนี้ฉันมีคือการคาดเดาเดิมคล้ายกับความไวของ Boppana แม้ว่ามันจะเป็นในกระดาษที่เขียนก่อนที่จะผูกพันนี้ แน่นอนว่านี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญเพราะขอบเขตนี้จะสอดคล้องกับความเข้มข้นของฟูริเยร์ที่คุณสามารถได้รับจากขอบเขตของ Boppana ถ้าพหุนามฟูริเยร์ทำงาน แต่มีสัญชาตญาณที่ดีกว่าที่คุณรู้มากกว่า "ถ้าพหุนามฟูริเยร์ทำงาน นี่คือสิ่งที่คุณจะได้รับ "หนึ่ง"

9 boolean-functions  fourier-analysis