คำถามติดแท็ก pde

ในการจำลองเซมิคอนดักเตอร์มันเป็นเรื่องธรรมดาที่สมการจะถูกปรับอัตราส่วนเพื่อให้พวกเขามีค่าปกติ ยกตัวอย่างเช่นในกรณีที่ความหนาแน่นของอิเล็กตรอนในเซมิคอนดักเตอร์อาจแตกต่างกันไปมากกว่า 18 ลำดับความสำคัญและสนามไฟฟ้าสามารถเปลี่ยนรูปร่างได้โดยมีขนาดของคำสั่งมากกว่า 6 (หรือมากกว่า) อย่างไรก็ตามเอกสารไม่เคยให้เหตุผลในการทำเช่นนี้จริงๆ โดยส่วนตัวฉันมีความสุขในการจัดการกับสมการในหน่วยจริงมีข้อได้เปรียบเชิงตัวเลขที่จะทำเช่นนี้เป็นไปไม่ได้หรือไม่? ฉันคิดว่าด้วยความแม่นยำสองเท่าจะมีตัวเลขเพียงพอที่จะรับมือกับความผันผวนเหล่านี้ คำตอบทั้งสองนั้นมีประโยชน์มากขอบคุณมาก!

15 pde  condition-number  scaling 

ฉันกำลังแก้ไขระบบของสอง PDE คู่กันในมิติเชิงพื้นที่และในเวลาที่คำนวณ เนื่องจากการประเมินฟังก์ชั่นมีราคาแพงฉันต้องการใช้วิธีการหลายขั้นตอน (เริ่มต้นด้วยการใช้ Runge-Kutta 4-5) วิธี Adams-Bashforth ที่ใช้การประเมินฟังก์ชั่นห้าครั้งก่อนหน้ามีข้อผิดพลาดระดับโลกของ (นี่คือกรณีที่s = 5ในบทความ Wikipedia ที่อ้างถึงด้านล่าง) และต้องการการประเมินฟังก์ชั่นเดียว (ต่อ PDE) ต่อขั้นตอนO(h5)O(h5)O(h^5)s=5s=5s=5 ในขณะที่วิธี Adams-Moulton นั้นต้องการการประเมินสองฟังก์ชันต่อหนึ่งขั้นตอน: หนึ่งขั้นตอนในการทำนายและอีกวิธีหนึ่งสำหรับขั้นตอนการแก้ไข อีกครั้งถ้าห้าการประเมินผลการทำงานที่มีการใช้ข้อผิดพลาดระดับโลกคือ ) ( s = 4ในบทความ Wikipedia)O(h5)O(h5)O(h^5)s=4s=4s=4 อะไรคือเหตุผลเบื้องหลังที่ใช้ Adams-Moulton เหนือ Adams-Bashforth มันมีข้อผิดพลาดในลำดับเดียวกันสำหรับสองเท่าของการประเมินฟังก์ชั่น โดยสัญชาตญาณมันทำให้รู้สึกว่าวิธีการพยากรณ์ - Corrector ควรจะดี แต่ใครบางคนสามารถอธิบายเรื่องนี้ในเชิงปริมาณ? การอ้างอิง: http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_multistep_method#Adams.E2.80.93Bashforth_methods

14 pde  algorithms  finite-element  error-estimation 

ในการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของการเริ่มต้นโคนค่าขอบเขตมันเป็นเรื่องธรรมดามากที่จะจ้างเท่าเทียมในพื้นที่ มันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะใช้รูปแบบของความเท่าเทียมกันใน discretization เวลาและความเท่าเทียมนั้นมักจะ จำกัด มาก ฉันรับรู้ถึงการเพิ่มขึ้นของรหัสและงานตีพิมพ์ที่แสดงให้เห็นถึงความเท่าเทียมกันทางโลก แต่ไม่มีใครรวมถึงความเท่าเทียมเชิงพื้นที่ มีตัวอย่างของการใช้งานที่มีความเท่าเทียมในพื้นที่และเวลาหรือไม่ ฉันสนใจทั้งสิ่งพิมพ์และรหัสที่มี

14 pde  parallel-computing  time-integration 

ฉันพยายามค้นหาแหล่งข้อมูลเพื่อช่วยอธิบายวิธีการเลือกเงื่อนไขขอบเขตเมื่อใช้วิธีการผลต่าง จำกัด เพื่อแก้ PDE หนังสือและบันทึกที่ฉันมีอยู่ในปัจจุบันสามารถเข้าถึงทุกคนพูดในสิ่งที่คล้ายกัน: กฎทั่วไปที่ควบคุมเสถียรภาพในการปรากฏตัวของเขตแดนนั้นซับซ้อนเกินไปสำหรับข้อความเกริ่นนำ; พวกเขาต้องการเครื่องจักรทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน (A. Iserles เป็นสนามแรกในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์) ตัวอย่างเช่นเมื่อพยายามใช้วิธี leapfrog 2 ขั้นตอนสำหรับสมการการพา: un+1i=un−1i+μ(uni+1−uni−1)uin+1=uin−1+μ(ui+1n−ui−1n)u_i^{n+1} = u_i^{n-1} + \mu (u_{i+1}^n - u_{i-1}^n) ใช้ MATLAB M = 100; N = 100; mu = 0.5; c = [mu 0 -mu]; f = @(x)(exp(-100*(x-0.5).^2)); u = zeros (M, N); x = 1/(M+1) * …

14 pde  finite-difference  boundary-conditions  advection 

เท่าที่ฉันพยายามค้นหาคำอธิบายสั้น ๆ บนอินเทอร์เน็ตฉันไม่สามารถเข้าใจแนวคิดของความแตกต่างที่แน่นอนของการเลียนแบบหรือว่ามันเกี่ยวข้องกับความแตกต่างแน่นอน จำกัด มาตรฐาน มันจะมีประโยชน์จริง ๆ ที่จะเห็นตัวอย่างง่ายๆของวิธีการนำไปใช้สำหรับ PDE เชิงเส้นแบบคลาสสิก (การไฮเพอร์โบลิกรูปไข่และพาราโบลา)

14 pde  finite-difference 

ฉันมีปัญหาเมื่อฉันต้องการใช้การประมาณค่าศูนย์สั่งต่างสูง: (−ui+2,j+16ui+1,j−30ui,j+16ui−1,j−ui−2,j12)(−ui+2,j+16ui+1,j−30ui,j+16ui−1,j−ui−2,j12)\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right) สำหรับสมการปัวซอง ในโดเมนสแควร์ที่เงื่อนไขขอบเขตคือ:(uxx+uyy=0)(uxx+uyy=0)(u_{xx}+u_{yy}=0) Δ x = Δ y = 0.1u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=sinπyu(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=sin⁡πyu(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y Δx=Δy=0.1Δx=Δy=0.1\Delta{x}=\Delta{y}=0.1 เมื่อฉันต้องการได้รับค่าของจุดภายในของโดเมนการพิจารณาประมาณนี้บางจุดขึ้นอยู่กับจุดนอกของขอบเขต ตัวอย่างเช่นจำเป็นต้องมีค่าของu i - 2 , j = u - 1 , 0จุดซึ่งอยู่นอกขอบเขต ใครก็ได้โปรดช่วยฉันในกรณีนี้ u1,1u1,1u_{1,1}ui−2,j=u−1,0ui−2,j=u−1,0u_{i-2,j}=u_{-1,0}

14 pde  finite-difference 

ฉันรู้ว่าวิธีการส่วนใหญ่ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณสำหรับ PDE นั้นขยายขนาดได้ไม่ดีเท่าจำนวนมิติและ Monte Carlo ใช้สำหรับสถานการณ์ที่เรียกว่า ~ 100 มิติ อะไรคือวิธีที่ดีในการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขอย่างมีประสิทธิภาพในช่วง 4-10 มิติ? 10-100? มีวิธีการอื่นใดนอกเหนือจาก Monte Carlo ที่ขยายได้ดีกับจำนวนมิติหรือไม่?

14 pde  monte-carlo  high-dimensional 

วิธี Multigrid มักจะแก้ปัญหา Dirichlet ในระดับ (เช่นจุด Jacobi หรือ Gauss-Seidel) เมื่อใช้วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์แบบต่อเนื่องจะมีค่าใช้จ่ายน้อยกว่ามากในการรวบรวมปัญหาของ Neumann ขนาดเล็กกว่าการรวบรวมปัญหา Dirichlet ขนาดเล็ก วิธีการสลายตัวโดเมนที่ไม่ทับซ้อนกันเช่น BDDC (เช่น FETI-DP) สามารถตีความได้ว่าเป็นวิธีการหลายจุดที่แก้ปัญหา "ตรึง" Neumann ในระดับ น่าเสียดายที่หมายเลขเงื่อนไขสำหรับ BDDC หลายระดับเป็น ค( 1 + บันทึก( Hชั่วโมง) )2 ลิตรค(1+เข้าสู่ระบบ⁡(Hชั่วโมง))2LC \left(1 + \log \left(\frac{H}{h}\right)\right)^{2L} LLLH/ชมH/ชั่วโมงH/h มีวิธีการแก้ปัญหา "ตรึง" ฟอนนอยมันน์โดยไม่สูญเสียความเป็นอิสระในระดับ?

14 pde  multigrid 

ให้เราเริ่มด้วยปัญหาของแบบฟอร์ม (L+k2)u=0(L+k2)u=0(\mathcal{L} + k^2) u=0 ด้วยชุดของเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนด ( Dirichlet , Neumann , Robin , Periodic , Bloch-Periodic ) สิ่งนี้สอดคล้องกับการหาค่าลักษณะเฉพาะและ eigenvector สำหรับตัวดำเนินการLL\mathcal{L}ภายใต้รูปทรงเรขาคณิตและเงื่อนไขขอบเขต เราสามารถรับปัญหาเช่นนี้ได้ในวิชาอะคูสติกแม่เหล็กไฟฟ้าอิลาสโตไดนามิคกลศาสตร์ควอนตัมเป็นต้น ฉันรู้ว่าใครสามารถแยกผู้ปฏิบัติงานโดยใช้วิธีการที่แตกต่างกันเช่นวิธีการผลต่าง จำกัด [A]{U}=k2{U}[A]{U}=k2{U}[A]\{U\} = k^2 \{U\} หรือการใช้วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ [K]{U}=k2[M]{U}.[K]{U}=k2[M]{U}.[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace . ในกรณีที่ได้รับปัญหา eigenvalueและปัญหา eigenvalue ทั่วไปในอื่น ๆ หลังจากได้รับปัญหาที่ไม่ต่อเนื่องแล้วเราจะใช้ตัวแก้ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะ ความคิดบางอย่าง วิธีการของโซลูชันการผลิตไม่เป็นประโยชน์ในกรณีนี้เนื่องจากไม่มีคำที่มาเพื่อสมดุลสมการ [K][K][K][M][M][M] [∇2+ω2/c2]u(ω)=f(ω),∀ω∈[ωmin,ωmax][∇2+ω2/c2]u(ω)=f(ω),∀ω∈[ωmin,ωmax][\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace …

13 pde  finite-element  eigensystem  verification 

ฉันใช้ตัวแก้แบบย้อนกลับ - ออยเลอร์ในไพ ธ อน 3 (โดยใช้หมายเลข) เพื่อความสะดวกของฉันและเป็นแบบฝึกหัดฉันยังเขียนฟังก์ชั่นเล็ก ๆ ที่คำนวณความแตกต่างอัน จำกัด ของการไล่ระดับสีเพื่อที่ฉันจะได้ไม่ต้องพิจารณาจาโคเบียนในเชิงวิเคราะห์ (ถ้าเป็นไปได้!) ใช้คำอธิบายที่มีให้ในAscher และ Petzold 1998ฉันเขียนฟังก์ชันนี้ซึ่งกำหนดระดับความลาดชัน ณ จุดที่กำหนด x: def jacobian(f,x,d=4): '''computes the gradient (Jacobian) at a point for a multivariate function. f: function for which the gradient is to be computed x: position vector of the point for …

13 pde  stability  numpy  scipy  newton-method 

ขอให้เราพิจารณาสภาพเริ่มต้นที่ราบรื่นและสมการความร้อนในหนึ่งมิติ: ในช่วงเวลาที่เปิด] 0 , 1 [และให้เราคิดว่าเราต้องการแก้มันด้วยความแตกต่างแน่นอน∂เสื้อคุณ= ∂x xยู∂tu=∂xxu \partial_t u = \partial_{xx} u] 0 , 1 []0,1[]0,1[ ฉันรู้ว่าสำหรับปัญหาของฉันจะดีถูกวางฉันต้องยกมันด้วยเงื่อนไขขอบเขตที่และx = 1 ฉันรู้ว่า Dirichlet หรือ Neumann ทำงานได้ดีx = 0x=0x=0x = 1x=1x=1 ถ้าฉันมีในกรณีแรกการตกแต่งภายในชี้x k = kยังไม่มีข้อความNNสำหรับk=1,⋯,Nจากนั้นฉันมีNunknowns:uk=u(xk)สำหรับk=1,⋯,Nเพราะคุณถูกกำหนดไว้ที่ขอบเขตxk= kยังไม่มีข้อความ+ 1xk=kN+1x_k=\frac{k}{N+1}k = 1 , ⋯ , Nk=1,⋯,Nk=1,\cdots,Nยังไม่มีข้อความNNยูk= u ( xk)uk=u(xk)u_k=u(x_k)k = 1 , ⋯ , Nk=1,⋯,Nk=1,\cdots,Nยูuu …

13 pde  boundary-conditions  parabolic-pde 

ฉันพยายามเรียนรู้เกี่ยวกับการแก้ปัญหา PDE ด้วยตัวเอง ฉันเริ่มต้นด้วยวิธีไฟไนต์ดิฟเฟอเรนเชียล (FDM) มาระยะหนึ่งแล้วเพราะฉันได้ยินมาว่า FDM เป็นพื้นฐานของวิธีการเชิงตัวเลขมากมายสำหรับ PDE จนถึงตอนนี้ฉันมีความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับ FDM และสามารถเขียนรหัสสำหรับ PDE ง่าย ๆ บางอย่างวางในพื้นที่ปกติด้วยวัสดุที่ฉันพบในห้องสมุดและอินเทอร์เน็ต แต่สิ่งที่แปลกคือวัสดุที่ฉันมักจะพูดถึงเพียงเล็กน้อย เกี่ยวกับการรักษาความผิดปกติของโค้งเขตแดนที่แปลกประหลาดเช่นนี้ ยิ่งกว่านั้นฉันไม่เคยเห็นวิธีง่าย ๆ ในการจัดการกับขอบเขตโค้ง ตัวอย่างเช่นหนังสือโซลูชันเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย - การแนะนำ (Morton K. , Mayers D)ซึ่งมีการสนทนาที่ละเอียดที่สุด (ส่วนใหญ่ใน3.4จาก p71 และ6.4จาก p199) ที่ฉันเคยเห็นจนถึงตอนนี้ได้หันไป การคาดการณ์ที่ยุ่งยากและน่าผิดหวังสำหรับฉันจริงๆ ดังนั้นตามชื่อที่ถามเกี่ยวกับขอบเขตโค้งโดยทั่วไปผู้คนจะจัดการกับมันอย่างไรเมื่อใช้ FDM? กล่าวอีกนัยหนึ่งการรักษาที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคืออะไร? หรือขึ้นอยู่กับประเภทของ PDE มีวิธีที่สง่างามและมีความแม่นยำสูงในการจัดการกับขอบเขตโค้งหรือไม่? หรือมันเป็นแค่ความเจ็บปวดที่หลีกเลี่ยงไม่ได้? ฉันอยากถามด้วยซ้ำจริง ๆ แล้วคนใช้ FDM สำหรับเขตแดนโค้งในปัจจุบัน? ถ้าไม่เป็นวิธีการทั่วไปของมันคืออะไร? ความช่วยเหลือใด ๆ …

13 pde  finite-difference  boundary-conditions 

ผมทำงานเกี่ยวกับการแก้คู่หนึ่งมิติporoelasticityสมการ (โมเดลของ Biot) ให้เป็น: ∂−(λ+2μ)∂2u∂x2+∂p∂x=0−(λ+2μ)∂2u∂x2+∂p∂x=0-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0 ∂∂เสื้อ[ γp + ∂ยู∂x] - κη[ ∂2พี∂x2] =q( x , t )∂∂t[γp+∂u∂x]−κη[∂2p∂x2]=q(x,t)\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t) บนโดเมนและด้วยเงื่อนไขขอบเขต: Ω = ( 0 , 1 )Ω=(0,1)\Omega=(0,1) p = 0 …

13 pde  finite-difference  stability  numerical-analysis 

คำศัพท์ต้นฉบับเช่นคำว่า Bathymetry ในสมการน้ำตื้นจำเป็นต้องบูรณาการในลักษณะพิเศษเพื่อรักษาสถานะคงตัวทางกายภาพ มีวิธีการทั่วไปในการสร้างวิธีการที่สมดุลหรือไม่หรือต้องใช้เทคนิคพิเศษสำหรับแต่ละสมการ?

13 pde  hyperbolic-pde 

ฉันต้องการเขียนตัวแก้สมการออยเลอร์แบบกดได้และที่สำคัญที่สุดคือฉันต้องการให้มันทำงานได้อย่างมีประสิทธิภาพในทุกสถานการณ์ ฉันต้องการให้เป็นแบบ FE (DG ใช้ได้) วิธีการที่เป็นไปได้คืออะไร? ฉันตระหนักถึงการทำลำดับที่ 0 DG (ปริมาณ จำกัด ) และควรทำงานอย่างมีประสิทธิภาพ ฉันใช้ตัวแก้ไข FVM พื้นฐานและใช้งานได้ดี แต่การบรรจบกันค่อนข้างช้า อย่างไรก็ตามนี่เป็นทางเลือกหนึ่งอย่างแน่นอน ฉันใช้ตัวแก้ไข FE (ใช้ได้กับทุก ๆ ตาข่ายและคำสั่งพหุนามในองค์ประกอบใด ๆ ) สำหรับสมการเชิงเส้นออยเลอร์ แต่ฉันได้รับการแกว่งลวงตา ฉันได้อ่านในวรรณคดีว่าต้องมีเสถียรภาพ หากฉันใช้การทำให้มีเสถียรภาพบางอย่างนั่นจะทำงานได้ดีสำหรับปัญหาทั้งหมด (= เงื่อนไขขอบเขตและรูปทรงเรขาคณิต) หรือไม่ อัตราการลู่เข้าจะเป็นอย่างไร? นอกเหนือจากนั้นมีวิธีการที่แข็งแกร่งอื่น ๆ สำหรับสมการออยเลอร์ (เช่นลำดับ DG ที่สูงขึ้นด้วยการทำให้มีเสถียรภาพ) ฉันรู้ว่าหลายคนลองใช้สิ่งต่าง ๆ มากมายในรหัสการวิจัยของพวกเขา แต่ฉันสนใจวิธีการที่แข็งแกร่งซึ่งใช้ได้กับรูปทรงเรขาคณิตและเงื่อนไขขอบเขตทั้งหมด (แก้ไข: ในรูปแบบ 2D และ 3D)

13 pde  hyperbolic-pde  finite-element