คำถามติดแท็ก pde

ให้ΩΩ\Omegaจะนูนล้อมรอบหลายเหลี่ยมโดเมน Lipschitz ในR2R2\mathbb R^2ให้ฉ∈ ล2( Ω )ฉ∈L2(Ω)f \in L^2(\Omega) ) Δ u = fΔยู=ฉ\Delta u = fΩΩ\Omegaติดตามคุณ= 0ติดตาม⁡ยู=0\operatorname{trace} u = 0∂Ω∂Ω\partial\OmegaH2H2H^2คคC∥ u ∥H2≤ C∥ f∥L2‖ยู‖H2≤ค‖ฉ‖L2\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2} สำหรับการประมาณค่าไฟไนต์เอลิเมนต์พูดด้วยองค์ประกอบที่จุดบนกริดสม่ำเสมอยูชั่วโมงยูชั่วโมงu_h ∥ u - uชั่วโมง∥H1≤ Ch ∥ u ∥H2‖ยู-ยูชั่วโมง‖H1≤คชั่วโมง‖ยู‖H2\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u \|_{H^2} ดูเหมือนว่า (บางทีฉันผิดกับเรื่องนั้น) ที่คนมักจะไม่ใช้การประเมินข้อผิดพลาดที่เห็นได้ชัด …

10 pde  finite-element  error-estimation 

ฉันรู้ว่าเราสามารถใช้เทคนิคการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เพื่อพิสูจน์ว่า IVP หรือ BVP มีวิธีแก้ปัญหาไม่เหมือนใครและขึ้นอยู่กับขอบเขต / ค่าเริ่มต้นอย่างต่อเนื่อง สำหรับบาง PDE โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ไม่ใช่เชิงเส้น pde ของมันเป็นเรื่องยากมากถ้าไม่เป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ว่า posedness มีเทคนิคเชิงตัวเลขใด ๆ ในการตรวจสอบว่าปัญหาเกิดขึ้นจริงหรือไม่?

10 pde  well-posedness 

ฉันแก้ตัวเลข PDE ได้มากมาย แต่การใช้คณิตศาสตร์ไม่ใช่สาขาของฉัน ฉันยังไม่ได้เลือกวารสารทางคณิตศาสตร์ที่ฉันควรอ่านเพื่อให้ทันกับพัฒนาการล่าสุดในสาขานี้ วารสารดีๆที่ควรอ่านเพื่อติดตามพัฒนาการล่าสุดในการแก้ปัญหาพีดีเอเป็นตัวเลขคืออะไร

10 pde  publications 

ตอนนี้ฉันมีรหัสที่ใช้อัลกอริทึม Crank-Nicholson แต่ฉันคิดว่าฉันต้องการย้ายไปยังอัลกอริทึมที่มีลำดับสูงกว่าสำหรับการจับเวลา ฉันรู้ว่าอัลกอริทึม Crank-Nicholson มีความเสถียรในโดเมนที่ฉันต้องการทำงาน แต่ฉันกังวลว่าอัลกอริทึมอื่น ๆ อาจไม่เป็นเช่นนั้น ฉันรู้วิธีคำนวณพื้นที่เสถียรภาพของอัลกอริธึม แต่มันก็เป็นความเจ็บปวด ไม่มีใครทราบถึงการอ้างอิงที่ดีสำหรับคุณสมบัติความมั่นคงของอัลกอริทึมการจับเวลาจำนวนมากสำหรับพาราโบลา PDE หรือไม่?

10 pde  stability  parabolic-pde 

ดูเหมือนว่าผู้คนมักจะใช้การประมาณค่าแบบแอคทีฟอิเล็คตรอนเดี่ยว (SAE) เพื่อจัดการกับระบบอิเลคตรอนแบบมัลติซึ่งเปลี่ยนปัญหาให้เป็นปัญหาอิเลคตรอนเดี่ยว ยกตัวอย่างเช่นในการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของฮีเลียมอะตอมมีปฏิสัมพันธ์กับสนามเลเซอร์ผู้คนมักจะประมาณรวมถึงผลกระทบของอิเล็กตรอนอิเล็กตรอนโดยการหลอกศักยภาพและโดยพื้นฐานแล้วแก้ปัญหาอิเล็กตรอนตัวเดียว เหตุใดจึงยากที่จะแก้สมการของSchrödingerหลายอิเล็กตรอนเชิงตัวเลข มันยากกว่าปัญหาตัว n คลาสสิกหรือไม่? ฉันเคยเห็นว่ามีปัญหาคลาสสิกคนจำนวนมากที่แก้ไขได้ในเชิงตัวเลขแม้ในเวลาจริงตัวอย่างเช่นที่นี่จำลองแบบเรียลไทม์การปะทะกันของกาแลคซีสองแห่งที่เกี่ยวข้องกับการปฏิสัมพันธ์ของอนุภาค 280000nnn

10 pde  quantum-mechanics 

ฉันรู้ว่าประมาณชิ้นองค์ประกอบ จำกัด เชิงเส้นของ พอใจ ให้Uเป็นพอราบรื่นและฉ \ in L ^ 2 (U)uhuhu_hΔu(x)=f(x)in Uu(x)=0on ∂UΔu(x)=f(x)in Uu(x)=0on ∂U \Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U ∥u−uh∥H10(U)≤Ch∥f∥L2(U)‖u−uh‖H01(U)≤Ch‖f‖L2(U) \|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)} UUUf∈L2(U)f∈L2(U)f\in L^2(U) คำถาม:ถ้าf∈H−1(U)∖L2(U)f∈H−1(U)∖L2(U)f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)เรามีการประมาณการแบบอะนาล็อกต่อไปนี้หรือไม่ซึ่งอนุพันธ์ตัวหนึ่งถูกนำออกไปทั้งสองด้าน: ∥u−uh∥L2(U)≤Ch∥f∥H−1(U)?‖u−uh‖L2(U)≤Ch‖f‖H−1(U)? \|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad? คุณสามารถให้การอ้างอิง? ความคิด:เนื่องจากเรายังคงมีu∈H10(U)u∈H01(U)u\in H^1_0(U)ก็ควรจะเป็นไปได้ที่จะได้รับการบรรจบกันในL2(U)L2(U)L^2(U)(U) โดยสังหรณ์ใจสิ่งนี้ควรเป็นไปได้ด้วยฟังก์ชั่นค่าคงที่ทีละชิ้น

9 finite-element  pde  reference-request  convergence  elliptic-pde 

ฉันกำลังอ่านกระดาษ[1]ซึ่งพวกเขาแก้สมการไม่เชิงเส้นต่อไปนี้ โดยใช้วิธีผลต่างอันตะ พวกเขายังวิเคราะห์เสถียรภาพของโครงร่างโดยใช้การวิเคราะห์เสถียรภาพของ Von Neumann อย่างไรก็ตามตามที่ผู้เขียนตระหนักถึงสิ่งนี้สามารถใช้ได้กับ PDE เชิงเส้นเท่านั้น ดังนั้นผู้เขียนทำงานรอบนี้ด้วย "แช่แข็ง" ระยะที่ไม่ใช่เชิงเส้นคือพวกเขาแทนที่ระยะยาวกับที่คือ "ถือว่าเป็นตัวแทนของค่าคงที่ในประเทศของ ."ยูเสื้อ+ยูx+ uยูx-ยูx x t= 0ut+ux+uux−uxxt=0\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation}ยูยูxuuxuu_xยูยูxUuxUu_xยูUUยูuu ดังนั้นคำถามของฉันคือสองเท่า: 1: วิธีการตีความวิธีนี้และทำไมมัน (ไม่) ทำงานอย่างไร 2: เราสามารถแทนที่คำว่าด้วยคำว่าโดยที่ถูก "พิจารณาว่าเป็นตัวแทนค่าคงที่ในท้องถิ่นของ "ยูยูxuuxuu_xยูยูxuUxuU_xยูxUxU_xยูxuxu_x อ้างอิง Eilbeck, JC และ GR McGuire "การศึกษาเชิงตัวเลขของสมการคลื่นยาวแบบปกติ I: วิธีเชิงตัวเลข" วารสารฟิสิกส์เชิงคำนวณ 19.1 (1975): 43-57

9 pde  finite-difference  numerical-analysis  nonlinear-equations  stability 

ฉันมีฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ขึ้นอยู่กับค่าโดยที่\ phi (x, t)คือคำตอบของ PDE ฉันกำลังเพิ่มประสิทธิภาพEโดยสายเลือดลาดในสภาวะเริ่มต้นของ PDE นี้: \ พี (x, t = 0.0) นั่นคือฉันอัปเดต\ phi (x, t = 0.0)แล้วต้องรวม PDE เพื่อคำนวณส่วนที่เหลือของฉัน นั่นหมายความว่าถ้าฉันทำการค้นหาบรรทัดสำหรับขนาดขั้นตอนการไล่ระดับสีไล่ระดับ (เรียกว่า\ alpha ) สำหรับทุกค่าที่เป็นไปได้ของ\ alphaฉันจะต้องรวม PDE ทั้งหมดอีกครั้งEEEϕ(x,t=1.0)φ(x,เสื้อ=1.0)\phi(x, t = 1.0)ϕ(x,t)ϕ(x,t)\phi(x, t)EEEϕ(x,t=0.0)ϕ(x,t=0.0)\phi(x, t = 0.0)ϕ(x,t=0.0)ϕ(x,t=0.0)\phi(x, t = 0.0)αα\alphaαα\alpha ในกรณีของฉันที่จะมีราคาแพง มีตัวเลือกอื่นสำหรับขนาดขั้นบันไดที่มีการไล่ระดับสีที่ปรับได้ ฉันไม่เพียงแค่มองหาโครงร่างหลักการทางคณิตศาสตร์ที่นี่ (แม้ว่าแน่นอนว่าจะดีกว่าถ้ามีอยู่) แต่จะมีความสุขกับสิ่งที่โดยทั่วไปดีกว่าขนาดคงที่ ขอบคุณ!

9 optimization  pde  conjugate-gradient 

ฉันได้พบว่าวิธีการของเส้นเป็นวิธีที่เป็นธรรมชาติมากที่จะคิดเกี่ยวกับการแยกส่วนของ PDE ดังนั้นฉันมักจะเริ่มต้นที่ความคิดนั้นเมื่อนำเสนอด้วยชุดของสมการใหม่ ฉันไม่เคยเห็น PDE มาก่อนซึ่งสิ่งนี้จะไม่ทำงาน สิ่งที่ฉันสงสัยคือถ้ามีวิธีการแยกประเภท (หรือประเภทของ PDE) ซึ่งไม่สามารถกำหนดผ่านวิธีของบรรทัด ฉันคาดหวังว่า PDE ใด ๆ ที่อนุพันธ์เวลามีความหมายโดยนัยในสมการและไม่สามารถแก้ไขได้สำหรับกรณีนี้จะเป็นกรณีหนึ่ง (แม้ว่าฉันจะไม่รู้ตัวอย่างที่แท้จริงของเรื่องนี้) ฉันกำลังมองหาเหตุผลว่าทำไมวิธีการของเส้นใช้งานได้เสมอหรือตัวอย่างเคาน์เตอร์

9 pde  method-of-lines 

ในวรรณกรรม FEM มักใช้วิธีกึ่งผันแปรในการแก้ปัญหาของ PDE ที่ขึ้นกับเวลา ฉันไม่ได้เห็นวิธีการแปรปรวนอย่างเต็มที่นั่นคือที่ FEM พื้นที่และเวลา discretised โดยบางทีอาจช่วยให้การใช้ตาข่ายเวลาอวกาศที่ไม่มีโครงสร้าง ถึงแม้ว่าวิธีการลงเวลาอาจจะง่ายกว่าในการใช้งาน แต่มีเหตุผลบางประการที่ว่าทำไมการผสานเวลาว่างไม่สามารถใช้งานได้? ฉันคิดว่าเราต้องปรับแต่งตาข่ายให้เคารพคุณสมบัติทางกายภาพของปัญหาที่กำหนด แต่ฉันไม่แน่ใจ

9 pde  finite-element  discretization  time-integration 

ฉันสนใจคำแนะนำสำหรับการอ้างอิงหนังสือเกี่ยวกับเรื่องของตัวเลข PDE และ ODE โดยเฉพาะอย่างยิ่งการวิเคราะห์อย่างเข้มงวดของวิธีการดังกล่าวในลักษณะที่เขียนขึ้นสำหรับนักคณิตศาสตร์มืออาชีพ ไม่จำเป็นต้องครอบคลุมอย่างยิ่งในแง่ของการระบุวิธีการที่แตกต่างกันหลายร้อยหรือหลายพัน แต่ฉันจะสนใจในสิ่งที่อย่างน้อยครอบคลุมแนวคิดที่สำคัญที่สุดที่เป็นแนวทางในเทคนิคที่ทันสมัย ฉันคิดว่ามันเหมาะสมที่จะนำไปเปรียบเทียบกับตำราเรียนในพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขซึ่งฉันคุ้นเคยมากขึ้น ฉันกำลังมองหาบางสิ่งที่เกี่ยวข้องกับความเสถียรและการตัดทอนข้อผิดพลาดในสมการเชิงอนุพันธ์เชิงตัวเลขเนื่องจากความแม่นยำและความเสถียรของอัลกอริธึมของ Higham คือความมั่นคงและข้อผิดพลาดรอบในพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขและสิ่งที่กล่าวถึงเทคนิคสมัยใหม่ และการคำนวณเมทริกซ์ของ Van Loan กล่าวถึงเทคนิคหลัก ๆ ส่วนใหญ่สำหรับพีชคณิตเชิงเส้น จริง ๆ แล้วฉันรู้น้อยมากเกี่ยวกับตัวเลข ODE และ PDE ฉันได้อ่านบันทึกทางออนไลน์หลายประเภทแล้วและฉันมีหนังสือวิธีการผลต่าง จำกัด สำหรับหนังสือทั่วไปและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยโดย Randall LeVeque ซึ่งเป็นหนังสือที่ชัดเจน แต่ไม่เชิงลึกเพียงพอสำหรับจุดประสงค์ของฉัน เป็นตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมมากขึ้นของระดับที่ฉันกำลังมองหาฉันหวังว่าส่วนใด ๆ ในสมการรูปไข่และพาราโบลาถือว่าผู้อ่านมีความคุ้นเคยกับทฤษฎีของช่องว่าง Sobolev และงานแต่งงานของพวกเขาและวิธีแก้ปัญหาที่อ่อนแอสำหรับ PDE จากทฤษฎีนั้นค่อนข้างอิสระในการได้รับการประเมินข้อผิดพลาดสำหรับองค์ประกอบ จำกัด ฯลฯ

9 pde  reference-request  ode 

ฉันกำลังใช้กล่องเครื่องมือ Matlab pde เพื่อแก้สมการรูปไข่ใน 2D การแก้ปัญหานั้นใช้ได้แม้ว่าฉันจะต้องพล็อตมันตามเส้นที่กำหนดนั่นก็คือการตัดชิ้นส่วนภาพถ่ายจากตาข่าย 3D แทนการแก้ปัญหา ฉันไม่สามารถหาวิธีที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชั่นกล่องเครื่องมืออย่างชาญฉลาด (เช่นไม่เกี่ยวข้องกับการแก้ไขระดับต่ำในตาข่ายสามเหลี่ยม) ความช่วยเหลือใด ๆ ชื่นชม

9 pde  matlab 

ฉันกำลังดำดิ่งสู่โลกอันน่าทึ่งของการวิเคราะห์องค์ประกอบ จำกัด และต้องการที่จะแก้ปัญหาเครื่องจักรกลเทอร์โมขนาดใหญ่ (เฉพาะกลไกทางความร้อน , ไม่มีข้อเสนอแนะ)→→\rightarrow สำหรับปัญหาทางกลฉันได้เข้าใจจากคำตอบของเจฟฟ์แล้วว่าฉันจะต้องใช้ตัวแก้ซ้ำเนื่องจากขนาดตาข่ายของฉัน ฉันอ่านเพิ่มเติมในคำตอบของ Mattว่าการเลือกอัลกอริทึมการวนซ้ำที่ถูกต้องเป็นงานที่น่ากังวล ฉันถามที่นี่หากมีประสบการณ์เกี่ยวกับปัญหาการยืดตัวเชิงเส้นแบบสามมิติขนาดใหญ่ที่จะช่วยให้ฉัน จำกัด การค้นหาเพื่อประสิทธิภาพที่ดีที่สุดหรือไม่ ในกรณีของฉันมันเป็นโครงสร้างที่มีฟิล์มบาง ๆ มีลวดลายและวัสดุที่วางผิดปกติ (ทั้ง high-CTE และ low-CTE) ไม่มีการเสียรูปขนาดใหญ่ในการวิเคราะห์เชิงกลทางความร้อน ฉันสามารถใช้ HPC ในมหาวิทยาลัยของฉัน [1.314 โหนดพร้อมโปรเซสเซอร์ AMD Opteron 2 ตัว (แต่ละ 2.2 GHz / 8 คอร์)] ฉันคิดว่าPETScอาจมีบางสิ่งที่น่าสนใจโดยเฉพาะอย่างยิ่งอัลกอริทึมที่ใช้ในการแยกโดเมน (FETI, multigrid) แต่ฉันรู้สึกสับสนกับตัวเลือกและไม่มีประสบการณ์ ฉันชอบวลีที่ว่า"สิ่งมีชีวิตที่มีความรู้ทางเรขาคณิต"แต่ไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้จะช่วยฉันได้หรือไม่ ฉันยังไม่ได้พบสิ่งที่เพ่งความสนใจไปที่กลศาสตร์ต่อเนื่องเชิงเส้น Strong Scaling (Amdahl) มีความสำคัญมากในใบสมัครของฉันเพราะพันธมิตรอุตสาหกรรมของฉันไม่สามารถรอผลการจำลองเป็นเวลานาน ฉันไม่เพียง แต่ชื่นชมคำตอบเท่านั้น แต่ยังมีคำแนะนำสำหรับการอ่านเพิ่มเติมในความคิดเห็น

9 pde  parallel-computing  petsc  hpc  iterative-method 

สมมติว่าฉันมีปัญหาการพา 1D ต่อไปนี้เป็นระยะ: ∂u∂t+c∂u∂x=0∂u∂t+c∂u∂x=0\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0 ใน Ω=[0,1]Ω=[0,1]\Omega=[0,1] u(0,t)=u(1,t)u(0,t)=u(1,t)u(0,t)=u(1,t) u(x,0)=g(x)u(x,0)=g(x)u(x,0)=g(x) ที่ไหน g(x)g(x)g(x) มีความไม่ต่อเนื่องกระโดดที่ x∗∈(0,1)x∗∈(0,1)x^*\in (0,1). มันเป็นความเข้าใจของฉันว่าสำหรับความแตกต่าง จำกัด เชิงเส้นของลำดับสูงกว่าลำดับแรกการแกว่งลวงตาเกิดขึ้นใกล้กับความไม่ต่อเนื่องเนื่องจากมีการประกาศเมื่อเวลาผ่านไปทำให้เกิดการบิดเบือนของสารละลายจากรูปร่างคลื่นที่คาดหวัง ตามคำอธิบายของวิกิพีเดียดูเหมือนว่าการแกว่งเหล่านี้มักเกิดขึ้นเมื่อฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องถูกประมาณด้วยอนุกรมฟูเรียร์ที่แน่นอน ด้วยเหตุผลบางอย่างฉันไม่สามารถเข้าใจได้ว่าอนุกรมฟูริเยร์ที่ จำกัด สามารถสังเกตได้ในการแก้ปัญหาของ PDE นี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันจะประมาณขอบเขตของ "over-shot" analytically ได้อย่างไร

9 pde  finite-difference  advection 

ฉันได้ยินมาว่าการแปลงฟูเรียร์แบบเร็วสามารถใช้แก้ปัญหาปัวซองได้เมื่อเงื่อนไขขอบเขตเป็นประเภทเดียว ... ซีรีส์ไซน์สำหรับ dirichlet, โคไซน์สำหรับนิวมันน์และทั้งสองเป็นคาบ เมื่อพิจารณาถึงโดเมนสี่เหลี่ยม 2 มิติสมมติว่าทั้งสองฝั่งตรงข้ามมีเงื่อนไขขอบเขตเป็นระยะและอีกสองรายการมีเงื่อนไข dirichlet การแปลงฟูเรียร์แบบเร็วสามารถนำไปใช้แก้ปัญหานี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่? ถ้าใช่รูปแบบเลขชี้กำลังจะเพียงพอหรือไม่ ถ้าไม่คุณจะขอคำแนะนำอะไรสำหรับสถานการณ์นี้

9 pde  fourier-analysis  boundary-conditions  poisson