คำถามติดแท็ก lo.logic

นี่เป็นคำถามติดตาม อะไรคือข้อแตกต่างระหว่างการพิสูจน์และโปรแกรม (หรือระหว่างข้อเสนอและประเภท)? โปรแกรมอะไรจะสอดคล้องกับการที่ไม่สร้างสรรค์ (คลาสสิก) หลักฐานของแบบฟอร์ม∀k T(e,k)∨¬∀k T(e,k)∀k T(e,k)∨¬∀k T(e,k)\forall k \ T(e,k) \lor \lnot \forall k \ T(e,k) ? (สมมติว่าTTTเป็นความสัมพันธ์ที่สามารถตัดสินใจได้ที่น่าสนใจเช่นeee th TM ไม่หยุดในขั้นตอนkkk ) (ps: ฉันกำลังโพสต์คำถามนี้ส่วนหนึ่งเพราะฉันสนใจที่จะเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับความหมายของ Neel โดย " การแปล Godel-Gentzenเป็นการเปลี่ยนแปลงที่ต่อเนื่อง" ในความคิดเห็นของเขา )

29 lo.logic  pl.programming-languages  proof-theory 

ฉันเป็นผู้เริ่มต้นในการทำงานกับวิธีการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของโปรแกรม ฉันได้อ่านบทความสองสามฉบับเกี่ยวกับการนิยามความสัมพันธ์เชิงตรรกะหรือการจำลองเพื่อพิสูจน์ว่าโปรแกรมสองโปรแกรมนั้นมีความเท่าเทียมกัน แต่ฉันค่อนข้างสับสนเกี่ยวกับเทคนิคทั้งสองนี้ ฉันรู้ว่าความสัมพันธ์เชิงตรรกะนั้นมีการกำหนดแบบ inductively ขณะที่การจำลองขึ้นอยู่กับการทำเงิน ทำไมพวกเขาจึงนิยามในรูปแบบดังกล่าว? อะไรคือข้อดีและข้อเสียของพวกเขาตามลำดับ? ฉันควรเลือกอันไหนในสถานการณ์ที่แตกต่างกัน

29 lo.logic  pl.programming-languages  logical-relations  parametricity 

ฉันกำลังมองหาการสร้างสัญลักษณ์สำหรับกฎที่นับได้จำนวนมากใน "วิธีธรรมชาติ" โดย "วิธีธรรมชาติ" ผมหมายความว่าได้รับการอุปนัยชนิดข้อมูล X เท่าเทียมกันที่ควรจะเป็นความเท่าเทียมกันตามปกติ recursive (เดียวกับที่deriving Eqใน Haskell จะผลิต) และคำสั่งที่ควรจะเป็นปกติ recursive lexicographical สั่งซื้อ (เดียวกับที่deriving Ordใน Haskell จะผลิต ) และมีภาคแสดงที่ตัดสินใจได้ซึ่งกำหนดว่าสมาชิกของ X เป็นเครื่องหมายแสดงลำดับที่ถูกต้องหรือไม่ ตัวอย่างเช่นเลขลำดับที่น้อยกว่าcan 0สามารถแสดงได้ด้วยรายการที่มีการจัดเรียงแบบ จำกัด ทางพันธุกรรมและเป็นไปตามข้อกำหนดเหล่านี้ กำหนด X เป็นμα μβ 1 + α×β, รายการ จำกัด ทางพันธุกรรมหรือที่รู้จักกันโดยทั่วไป กําหนดisValidการตรวจสอบว่า X มีการเรียงลำดับและสมาชิกทุกคนของ X isValidเป็น สมาชิกที่ถูกต้องของ X คือเลขลำดับทั้งหมดน้อยกว่าε 0ภายใต้คำสั่งทางพจนานุกรมปกติ ผมคาดเดาว่าμα 0 . …

28 lo.logic  type-theory  proof-theory 

สมมติว่าฉันต้องการทำข้อพิสูจน์ของทัวริงให้เป็นทางการเกี่ยวกับปัญหาการหยุดชะงักเพื่อให้เครื่องสามารถตรวจสอบได้ ระบบพิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติที่เป็นที่รู้จัก ได้แก่ Mizar, Coq และ HOL4 ฉันดาวน์โหลดและทดลองใช้ Coq แต่ไม่มีห้องสมุดสำหรับเครื่องทัวริง ฉันคิดว่าต้องเขียนรหัสด้วยตัวเอง แต่พบว่าการสอนไม่เพียงพอและภาษายากต่อการรับ คำถามของฉันคือ: มีผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติที่ดีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับเครื่องทัวริงหรือไม่? ฉันจะพิจารณาทฤษฎีบทดังกล่าวว่า "ดี" ถ้ามันสามารถพิสูจน์ให้เห็นถึงความลังเลของปัญหาการลังเลโดยใช้ห้องสมุดที่มีอยู่แล้ว ฉันจะพิจารณามันให้ดียิ่งขึ้นถ้ามันค่อนข้างง่ายต่อการรับ (สำหรับบันทึกฉันมักจะไม่ได้มีปัญหากับภาษาการเขียนโปรแกรม) ขอบคุณ ฟิลิป

28 lo.logic  turing-machines  software  proof-assistants  automated-theorem-proving 

ฉันสับสนกับข้อแตกต่างเล็กน้อยระหว่างข้อเสนอและการตัดสินเมื่อสัมผัสกับทฤษฎีประเภทสัญชาตญาณ มีใครสามารถอธิบายให้ฉันฟังได้ว่าอะไรคือประเด็นของการแยกแยะพวกเขาและอะไรที่ทำให้พวกเขาแตกต่าง? โดยเฉพาะอย่างยิ่งในมุมมองของ Curry-Howard Isomorphsim

27 lo.logic  pl.programming-languages  type-theory 

ผมเพิ่งอ่านสอง dualities การคำนวณ: ประเภทเชิงลบและ กระดาษขยายผลรวมชนิดและสินค้าประเภทให้ความหมายไปชนิดและa - ba/b ซึ่งแตกต่างจากการเพิ่มและการคูณไม่มีหนึ่งในสองผู้ผกผันของการยกกำลังลอการิทึมและการรูท หากฟังก์ชันประเภท (a → b) เป็นการยกกำลังตามทฤษฎีประเภทให้ประเภทa → b(หรือb^a) มันมีความหมายว่ามีประเภทlogb(c)หรือประเภทa√c? มันสมเหตุสมผลไหมที่จะขยายลอการิทึมและรูทเป็นประเภทเลย? ถ้าเป็นเช่นนั้นมีงานใด ๆ ในพื้นที่นี้และมีคำแนะนำที่ดีเกี่ยวกับวิธีที่จะเข้าใจผลกระทบอย่างไรบ้าง? ฉันพยายามหาข้อมูลเกี่ยวกับเรื่องนี้ผ่านทางตรรกะโดยหวังว่าการโต้ตอบของ Curry-Howard จะช่วยฉันได้ แต่ก็ไม่มีประโยชน์

27 lo.logic  pl.programming-languages  type-theory  algebra 

คุณมักจะพบวิธีการตัดระนาบ, การขยายพันธุ์ตัวแปร, สาขาและขอบเขต, การเรียนรู้ประโยค, การย้อนรอยอย่างชาญฉลาดหรือแม้กระทั่งการทำฮิวริสติกของมนุษย์ในการแก้ปัญหา SAT ทว่านักแก้ปัญหา SAT ที่ดีที่สุดใช้เทคนิคการพิสูจน์ความละเอียดอย่างหนักมาหลายสิบปีและใช้การรวมกันของสิ่งอื่น ๆ เพื่อช่วยในการค้นหาและค้นหาสไตล์ความละเอียด เห็นได้ชัดว่ามันเป็นที่สงสัยว่าอัลกอริทึมใด ๆ จะล้มเหลวในการตัดสินใจคำถามความพึงพอใจในเวลาพหุนามอย่างน้อยในบางกรณี ในปี 1985, Haken ได้รับการพิสูจน์ในบทความของเขาว่า "ความสามารถในการแก้ไขปัญหา"ที่หลักการหลุมของนกพิราบที่เข้ารหัสใน CNF ไม่ยอมรับการพิสูจน์พหุนามขนาด ในขณะที่สิ่งนี้พิสูจน์ให้เห็นบางอย่างเกี่ยวกับความสามารถในการแทรกซึมของอัลกอริธึมที่ใช้ความละเอียด แต่ก็ให้เกณฑ์ที่นักตัดสินขอบตัดสามารถตัดสินได้ - และในความเป็นจริงหนึ่งในข้อควรพิจารณาหลายอย่างที่ออกแบบการแก้ SAT ในกรณีที่ 'ยาก' ที่รู้จักกัน การมีรายการคลาสของสูตรบูลีนที่พิสูจน์ได้ว่าพิสูจน์ความละเอียดขนาดเอ็กซ์โปเนนเชียลมีประโยชน์ในแง่ที่มันให้สูตร 'ยาก' เพื่อทดสอบตัวแก้ SAT ใหม่ มีการทำงานอะไรในการรวบรวมคลาสดังกล่าวด้วยกัน? ใครบ้างมีการอ้างอิงที่มีรายการดังกล่าวและหลักฐานที่เกี่ยวข้อง? โปรดระบุสูตรบูลีนหนึ่งคลาสต่อคำตอบ

27 reference-request  big-list  sat  proof-complexity  lo.logic 

เมื่อไม่นานมานี้ฉันได้อ่านแนวคิดและประวัติของงานที่ไม่หยุดยั้งซึ่งดำเนินการโดยนักตรรกศาสตร์และนักคณิตศาสตร์หลายคนเกี่ยวกับความสามารถในการคำนวณ ในขณะที่แนวคิดของแต่ละคนค่อนข้างชัดเจนสำหรับฉันฉันกำลังพยายามที่จะเข้าใจอย่างชัดเจนว่ามีความสัมพันธ์ระหว่างกันและระดับนามธรรมที่เชื่อมโยงกันทั้งหมด เรารู้ว่าทฤษฎีของคริสตจักร (หรือมากกว่านั้นเป็นบทพิสูจน์ที่เป็นอิสระของEntscheidungsproblemของฮิลแบร์ตโดย Alonzo Church และ Alan Turing) พิสูจน์ว่าโดยทั่วไปแล้วเราไม่สามารถคำนวณได้ว่าคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่ระบุในระบบที่เป็นทางการเป็นจริงหรือเท็จ ดังที่ฉันเข้าใจวิทยานิพนธ์ของทัวริสต์ทัวริสต์ได้ให้คำอธิบายที่ชัดเจนเกี่ยวกับความเท่าเทียม (isomorphism) ระหว่างแลมบ์ดาลัสของคริสตจักรและทัวริงของเครื่องจักรดังนั้นเราจึงมีรูปแบบการรวม (หมายเหตุ: เท่าที่ฉันรู้หลักฐานของทัวริงใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่าปัญหาการหยุดชะงักไม่สามารถตัดสินใจได้แก้ไขให้ฉันถ้าฉันผิด) ตอนนี้ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ครั้งแรกของGödelระบุว่าไม่ใช่ทุกข้อความในระบบที่เป็นทางการที่สอดคล้องกับกำลังทางคณิตศาสตร์ที่เพียงพอซึ่งอาจพิสูจน์หรือหักล้าง (ตัดสินใจ) ภายในระบบนี้ ในหลาย ๆ ทางสิ่งนี้ดูเหมือนว่าฉันจะพูดในสิ่งเดียวกันกับฉันในฐานะทฤษฏีของศาสนจักรโดยพิจารณาจากแลมบ์ดาแคลคูลัสและเครื่องกลึงทั้งสองแบบเป็นระบบที่มีประสิทธิภาพอย่างเป็นทางการ! นี่คือการตีความแบบองค์รวมของฉันและฉันก็หวังว่าจะมีใครซักคนที่จะเข้าใจรายละเอียด ทฤษฎีทั้งสองนี้เทียบเท่ากันอย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่? มีรายละเอียดย่อยให้สังเกตไหม? หากทฤษฎีเหล่านี้ดูความจริงสากลที่เหมือนกันในรูปแบบที่แตกต่างกันทำไมพวกเขาถึงมาจากมุมที่แตกต่างกันเช่นนี้? (มีการพิสูจน์ Godel มากกว่า 6 ปีหรือน้อยกว่า 6 ปี) ในที่สุดเราสามารถบอกได้ไหมว่าแนวคิดของการพิสูจน์ในระบบที่เป็นทางการ (แคลคูลัสพิสูจน์) นั้นเหมือนกับแนวคิดของการคำนวณได้ในทฤษฎีการเรียกซ้ำ (Turing Machines / lambda แคลคูลัส)?

27 lo.logic  computability  turing-machines 

ดูเหมือนว่าจอร์จ Gonthier และทำงานร่วมกันของเขาได้เสร็จสิ้นอย่างเป็นทางการสั่งทฤษฎีบทแปลก ในงานก่อนหน้านี้ของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีบทสี่สีกอนเทียร์ได้คิดค้นอัลกอริธึมใหม่ ๆ (ส่วนใหญ่เป็นสายพันธุ์ของ BDDs และอัลกอริธึมกราฟ) ซึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งคล้อยตามการยืนยันอย่างเป็นทางการ เนื่องจากเขาบอกว่าเขายังคงใช้รูปแบบการสะท้อนขนาดเล็กของการตรวจสอบในการทำงานกับทฤษฎีกลุ่ม จำกัด ฉันยังสงสัยว่าเทคนิคอัลกอริธึมใหม่ที่พัฒนาขึ้นระหว่างการพัฒนานี้คืออะไร?

26 lo.logic  proof-assistants 

คำถามนี้ถูกโยกย้ายจาก Stack Overflow เพราะสามารถตอบได้ใน Theoretical Computer Science Exchange Exchange อพยพ 8 ปีที่ผ่านมา เนื่องจากCurry-Howard Correspondenceแพร่กระจายอย่างกว้างขวางดังนั้นจึงมีความแตกต่างระหว่างหลักฐานและโปรแกรม (หรือระหว่างข้อเสนอและประเภท)? เราสามารถระบุได้จริงเหรอ?

26 lo.logic  pl.programming-languages 

เป็นไปได้หรือไม่ที่จะแปลสูตรบูลีน B ให้เป็นฮอร์นของอนุประโยคที่เทียบเท่ากัน? บทความ Wikipedia เกี่ยวกับHornSATดูเหมือนจะบอกเป็นนัย แต่ฉันไม่สามารถไล่ตามการอ้างอิงใด ๆ โปรดทราบว่าฉันไม่ได้หมายถึง "ในเวลาพหุนาม" แต่ "ค่อนข้าง"

26 reference-request  lo.logic  sat 

ACSL (ภาษาข้อกำหนดของ Ansi C) เป็นข้อกำหนดสำหรับรหัส C ซึ่งมีหมายเหตุประกอบเป็นความคิดเห็นพิเศษที่ช่วยให้สามารถตรวจสอบรหัส C ได้อย่างเป็นทางการ ฉันไม่ได้ดูมัน แต่ฉันคิดว่าวิธีการอย่างเป็นทางการที่ใช้ในการตรวจสอบACSLจะคล้ายกับ Hoare Logic สำหรับภาษาที่ใช้งานได้จริงเช่น Haskell ฉันไม่สามารถจินตนาการได้ว่าจะใช้วิธีการแบบใดในการยืนยันที่เป็นทางการ มีใครทำสิ่งที่คล้ายกับACSLแต่สำหรับภาษาทำงานบริสุทธิ์? ถ้าไม่ได้มีการวิจัยใด ๆ เกี่ยวกับการตรวจสอบอย่างเป็นทางการในรูปแบบคำอธิบายประกอบข้อมูลจำเพาะสำหรับภาษาทำงาน ฉันรู้ว่ามีการพิมพ์ที่ต้องพึ่งพาซึ่งรองรับหลายภาษา (Agda, Idris, ฯลฯ ... ) แต่ในการพิมพ์ที่ขึ้นอยู่กับ Haskell นั้นเป็นเรื่องยากโดยไม่ต้องใช้ตัวช่วยพิมพ์ (ไม่สามารถอ่านได้บ้าง) ด้วยความคิดนั้นและเนื่องจาก Haskell มีการสนับสนุนห้องสมุดที่ดีกว่า Agda และ Idris ฉันจึงเชื่อว่าระบบดังกล่าวสำหรับการตรวจสอบการทำงานอย่างเป็นทางการอาจมีประโยชน์ แต่ฉันไม่ทราบว่ามีการทำวิจัยนี้หรือไม่

25 lo.logic  pl.programming-languages  functional-programming  formal-methods  haskell 

ฉันอ่านมากเกี่ยวกับระบบการพิมพ์และฉันเข้าใจว่าทำไมพวกเขาถึงได้รับการแนะนำ (เพื่อแก้ไขความขัดแย้งของรัสเซล) ฉันยังเข้าใจความเกี่ยวข้องในทางปฏิบัติในภาษาโปรแกรมและระบบพิสูจน์อย่างคร่าวๆ อย่างไรก็ตามฉันไม่มั่นใจอย่างเต็มที่ว่าแนวคิดของฉันคือสิ่งที่ถูกต้อง คำถามของฉันคือมันถูกต้องที่จะอ้างว่าประเภทเป็นข้อเสนอ กล่าวอีกนัยหนึ่งคำว่า "n คือจำนวนธรรมชาติ" สอดคล้องกับคำสั่ง "n มีประเภท 'จำนวนธรรมชาติ'" หมายถึงกฎพีชคณิตทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับจำนวนธรรมชาติถือสำหรับ n (กล่าวคืออีกวิธีหนึ่งกฎเกี่ยวกับพีชคณิตคือข้อความงบเหล่านั้นที่ถือเป็นจริงสำหรับตัวเลขธรรมชาติยังถือจริงสำหรับ n) นี่หมายความว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์สามารถมีมากกว่าหนึ่งประเภทได้หรือไม่? นอกจากนี้ฉันรู้ว่าชุดนั้นไม่เทียบเท่ากับประเภทเพราะคุณไม่สามารถมีชุดทั้งหมดได้ ฉันจะเรียกร้องว่าถ้าชุดเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์คล้ายกับจำนวนหรือฟังก์ชั่นเป็นประเภทคือการจัดเรียงของวัตถุ meta-ทางคณิตศาสตร์และตรรกะเดียวกันเป็นชนิดเป็น meta-meta-คณิตศาสตร์วัตถุ? (ในแง่ที่ว่า "meta" ทุกตัวบ่งบอกถึงระดับที่สูงขึ้นของนามธรรม ... ) สิ่งนี้มีการเชื่อมโยงกับทฤษฎีหมวดหมู่หรือไม่?

25 lo.logic  type-theory  proof-theory 

พิจารณาคำถามนี้แก้ไข ฉันจะไม่เลือกคำตอบที่ดีที่สุดเพราะทุกคนมีส่วนทำให้ฉันเข้าใจหัวข้อ ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งที่เป็นประโยชน์เรามีอย่างเป็นทางการโดยการกำหนดความหมายของตรรกะภาคแสดง แต่ฉันเห็นคุณค่าในการมีแคลคูลัสพิสูจน์อย่างเป็นทางการ ประเด็นของฉันคือเราไม่ต้องการซีแมนทิกส์แบบทางการเพื่อพิสูจน์กฎการอนุมานของแคลคูลัสเชิงพิสูจน์ เราสามารถกำหนดแคลคูลัสที่เลียนแบบ "กฎแห่งความคิด" เช่นกฎการอนุมานที่นักคณิตศาสตร์ใช้มานับร้อยปีเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของพวกเขา แคลคูลัสดังกล่าวมีอยู่แล้ว: การหักตามธรรมชาติ จากนั้นเราจะกำหนดแคลคูลัสนี้ให้เป็นเสียงที่สมบูรณ์ สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการตระหนักว่าซีแมนทิกส์เชิงตรรกะของเพรดิเคตเชิงตรรกะเป็นเพียงตัวอย่างเท่านั้น ความเหมาะสมของแบบจำลองสามารถพิสูจน์ได้อย่างสมเหตุสมผลเท่านั้น ดังนั้นการแสดงให้เห็นว่าการหักตามธรรมชาตินั้นสมบูรณ์และสมบูรณ์โดยการอ้างอิงถึงความหมายที่เป็นทางการไม่ได้ทำให้การลดลงตามธรรมชาติมากขึ้น "จริง" มันจะดีเหมือนกันถ้าเราจะพิสูจน์ให้เห็นถึงกฎของการลดธรรมชาติโดยตรงอย่างสังหรณ์ใจ ทางอ้อมโดยใช้ความหมายอย่างเป็นทางการทำให้เราไม่มีอะไร จากนั้นเมื่อมีการนิยามการหักตามธรรมชาติให้เป็นเสียงและสมบูรณ์เราสามารถแสดงความสมบูรณ์และความสมบูรณ์ของแคลคูลัสอื่น ๆ โดยแสดงให้เห็นว่าหลักฐานที่พวกเขาสร้างขึ้นสามารถแปลเป็นการหักตามธรรมชาติและในทางกลับกัน ภาพสะท้อนของฉันด้านบนถูกต้องหรือไม่ ทำไมจึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะพิสูจน์ความสมบูรณ์และความสมบูรณ์ของแคลคูลัสพิสูจน์โดยอ้างอิงถึงความหมายที่เป็นทางการ?

25 lo.logic  semantics 

ในคำตอบของเขาที่จะคำถามนี้ , สเตฟานดอนชี้ให้ฉันไปเป็นขั้นตอนวิธีการฟื้นฟูพหุนามเวลาสำหรับการพิสูจน์ในตรรกะเชิงเส้น การพิสูจน์ในกระดาษของ Girard ใช้อวนพิสูจน์ซึ่งเป็นลักษณะเชิงตรรกะเชิงเส้นที่จริงฉันไม่รู้มากเกี่ยวกับ ตอนนี้ฉันได้ลองอ่านเอกสารเกี่ยวกับมุ้งมาก่อน (เช่นบันทึกของ Pierre-Louis Curienที่พวกเขา) แต่ฉันไม่เข้าใจพวกเขาจริงๆ ดังนั้นคำถามของฉันคือฉันจะคิดถึงพวกเขาอย่างไร โดย "วิธีคิดเกี่ยวกับพวกเขา" ฉันหมายถึงทั้งสัญชาตญาณอย่างไม่เป็นทางการที่อยู่เบื้องหลังพวกเขา (เช่นวิธีที่พวกเขาประพฤติตนคำนวณหรือวิธีที่พวกเขาเกี่ยวข้องกับการเรียงลำดับ) และทฤษฎีบทเกี่ยวกับพวกเขาที่ฉันควรพิสูจน์ด้วยตนเองว่า ในการตอบคำถามนี้คุณสามารถสันนิษฐานได้ว่า (1) ฉันรู้ทฤษฎีการพิสูจน์ของลอจิกเชิงเส้นอย่างดี (รวมถึงสิ่งต่าง ๆ เช่นวิธีการพิสูจน์การตัดการตัดและในรูปแบบที่โฟกัสด้วย), (2) ความหมายเชิงของพวกมัน หรือผ่านการโน้มน้าวระหว่างวันและ (3) พื้นฐานขั้นพื้นฐานของการก่อสร้าง GoI

24 lo.logic  soft-question  pl.programming-languages  linear-logic