การแก้สมการแฮมิลตัน - จาโคบี - เบลล์แมน; จำเป็นและเพียงพอสำหรับการมองโลกในแง่ดี?
พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ดังต่อไปนี้ โดยที่ คือสถานะและเป็นตัวแปรควบคุม โซลูชันได้รับจาก โดยที่เป็นสถานะ inital ที่กำหนดxUx(T)=x0+∫ T 0 F(x(s),U(s))ds x0:=x(0)x˙(t)=f(x(t),u(t))x˙(t)=f(x(t),u(t))\begin{align} \dot x(t)=f(x(t),u(t)) \end{align}xxxuuux(t)=x0+∫t0f(x(s),u(s))ds.x(t)=x0+∫0tf(x(s),u(s))ds.\begin{align} x(t)=x_0 + \int^t_0f(x(s),u(s))ds. \end{align}x0:=x(0)x0:=x(0)x_0:=x(0) ตอนนี้ให้พิจารณาโปรแกรมต่อไปนี้ s.t. V(x0):=maxu∫∞0e−ρtF(x(t),u(t))dtx˙(t)=f(x(t),u(t))x(0)=x0V(x0):=maxu∫0∞e−ρtF(x(t),u(t))dts.t. x˙(t)=f(x(t),u(t))x(0)=x0\begin{align} &V(x_0) := \max_u \int^\infty_0 e^{-\rho t}F(x(t),u(t))dt\\ s.t.~&\dot x(t)=f(x(t),u(t))\\ &x(0) = x_0 \end{align} โดยที่ρ>0ρ>0\rho > 0หมายถึงการตั้งค่าเวลาV(⋅)V(⋅)V(\cdot)คือค่าและF(⋅)F(⋅)F(\cdot)ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ แอปพลิเคชันทางเศรษฐกิจแบบคลาสสิกคือโมเดล Ramsey-Cass-Koopmans ของการเติบโตที่เหมาะสม สมการแฮมิลตัน - จาโคบี - เบลล์แมนกำหนดโดย ρV(x)=maxu[F(x,u)+V′(x)f(x,u)],∀t∈[0,∞).ρV(x)=maxu[F(x,u)+V′(x)f(x,u)],∀t∈[0,∞).\begin{align} \rho V(x)=\max_u [F(x,u) + …