คำถามติดแท็ก cg.comp-geom

ฉันกำลังพยายามที่จะครอบคลุมรูปหลายเหลี่ยมเว้าอย่างง่ายที่มีสี่เหลี่ยมขั้นต่ำ สี่เหลี่ยมมุมฉากของฉันมีความยาวเท่าใดก็ได้ แต่มีความกว้างสูงสุดและรูปหลายเหลี่ยมจะไม่มีมุมแหลม ฉันคิดเกี่ยวกับการพยายามที่จะสลายรูปหลายเหลี่ยมเว้าของฉันเป็นรูปสามเหลี่ยมที่สร้างชุดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เหลื่อมกันน้อยที่สุด จำกัด ขอบเขตแต่ละสามเหลี่ยมให้น้อยที่สุดแล้วผสานรูปสี่เหลี่ยมเหล่านั้นเป็นรูปที่ใหญ่กว่า อย่างไรก็ตามฉันไม่คิดว่ามันจะใช้งานได้กับรอยหยักขนาดเล็กในขอบของรูปหลายเหลี่ยม สามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นโดยจุดสะท้อนกลับบนรอยหยักเหล่านั้นจะสร้างสี่เหลี่ยมที่ไม่ถูกต้อง ฉันกำลังมองหารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่จะขยาย / ละเว้นรอยหยัก ฉันไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับเรขาคณิตของการคำนวณดังนั้นฉันจึงไม่แน่ใจว่าจะเริ่มถามคำถามได้อย่างไร ฉันพบโพสต์อื่นที่คล้ายกัน แต่ไม่ใช่สิ่งที่ฉันต้องการ: แบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นจำนวนขั้นต่ำของรูปสามเหลี่ยมและรูปสามเหลี่ยม ครอบคลุมรูปหลายเหลี่ยมโดยพลการด้วยจำนวนสี่เหลี่ยมน้อยที่สุด ค้นหารูปสี่เหลี่ยมเพื่อให้ครอบคลุมจำนวนคะแนนสูงสุดkkk อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาสี่เหลี่ยมน้อยที่สุดเพื่อครอบคลุมชุดสี่เหลี่ยม ตัวอย่างบางส่วน: สีดำคืออินพุต สีแดงเป็นผลลัพธ์ที่ยอมรับได้ Exmaple อื่น: ต้องการผลลัพธ์ที่สอง อย่างไรก็ตามการสร้างเอาต์พุตและใช้ปัจจัยอื่นเพื่อพิจารณาว่าการกำหนดค่าตามความชอบอาจจำเป็นและไม่ใช่ความรับผิดชอบของอัลกอริทึมนี้ รูปหลายเหลี่ยมที่เลียนแบบโค้งนั้นหายากมาก ในสถานการณ์สมมตินี้พื้นที่ส่วนใหญ่ของสี่เหลี่ยมมุมฉากสูญเปล่า อย่างไรก็ตามนี่เป็นสิ่งที่ยอมรับได้เพราะแต่ละสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะปฏิบัติตามข้อ จำกัด ความกว้างสูงสุด นอกจากนี้ฉันพบว่าบทความนี้ใกล้เคียงกับสิ่งที่ฉันต้องการ: ครอบคลุมชิ้นสี่เหลี่ยมโดย Paul Iacob, Daniela Marinescu และ Cristina Luca อาจเป็นคำถามที่ดีกว่าคือ "ฉันจะระบุส่วนที่เป็นรูปหลายเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมเว้าได้อย่างไร" นี่คือภาพแสดงการใช้งานที่ต้องการ: สีเขียวคือการใช้วัสดุจริง สี่เหลี่ยมสีแดงเป็นโครงร่าง สีน้ำเงินคือ MBR ของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด ฉันคิดว่าฉันควรพยายามที่จะรับ MBR น้อยและกรอกพวกเขาสี่เหลี่ยมสีเขียว …

11 co.combinatorics  cg.comp-geom 

แบบฝึกหัดต่อไปนี้มอบให้กับนักเรียนที่ฉันควบคุมดูแล: กำหนดจุดบนเครื่องบินประดิษฐ์อัลกอริธึมที่หาคู่ของจุดที่ระยะทางน้อยที่สุดในทุกจุด อัลกอริทึมควรใช้ในเวลาที่o ( n 2 )nnno(n2)o(n2)o(n^2) มี (ค่อนข้าง) แบ่งและพิชิตอัลกอริทึมง่ายๆที่แก้งานในเวลาที่เป็น )Θ(nlogn)Θ(nlog⁡n)\Theta(n \log n) คำถามที่ 1 : มีอัลกอริทึมที่แก้ปัญหาที่เกิดขึ้นในเวลาที่เลวร้ายที่สุดหรือไม่?o(nlogn)o(nlog⁡n)\mathcal{o}(n \log n) สิ่งที่ทำให้ฉันสงสัยว่าสิ่งนี้อาจเป็นไปได้คือผลลัพธ์ที่ฉันจำได้ว่าได้เห็นในการพูดคุย (อ้างอิงชื่นชม) มันระบุสิ่งที่ตามเส้นที่ไม่เกินค่าคงที่จำนวนจุดสามารถจัดอยู่ในระนาบที่อยู่รอบ ๆ บางจุดPอยู่ภายในวงกลมรัศมีR ∈ RกับRระยะทางที่น้อยที่สุดระหว่างสองจุดที่เกี่ยวข้อง . ฉันคิดว่าc = 7จุดที่สร้างรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ากันหมดที่มีpอยู่ตรงกลาง (ในกรณีที่รุนแรง)c∈Nc∈Nc \in \mathbb{N}pppr∈Rr∈Rr \in \mathbb{R}rrrc=7c=7c=7ppp ในกรณีดังกล่าวอัลกอริทึมต่อไปนี้ควรแก้ไขปัญหาได้ในขั้นตอนnnn fun mindist [] | p::[] = INFINITY | mindist p1::p1::[] = dist(P[0], P[1]) | …

11 ds.data-structures  cg.comp-geom 

ปัญหาแกลเลอรีศิลปะแบบดั้งเดิมตั้งค่าภูมิภาคและผู้คุมด้วยแนวคิดเรื่องการมองเห็นและขอจำนวนยามน้อยที่สุดที่จำเป็นต้องวางเพื่อดูทั่วทั้งภูมิภาค มีใครเคยมองที่อาร์ตแกลเลอรี่สายพันธุ์ที่เขตการมองเห็นที่ถูกกำหนดให้แทนโดยคู่ของยาม ตัวอย่างเช่นสูตรหนึ่งอาจเป็นจุดที่ครอบคลุมถ้ามีคู่ของยามที่มีดิสก์ขอบเขตต่ำสุดครอบคลุมหรือไม่

11 reference-request  cg.comp-geom 

พิจารณาสองพื้นที่วัดและและการฝังY การวัดพื้นที่แบบดั้งเดิม embeddings วัดคุณภาพของเป็นกรณีที่เลวร้ายที่สุดของต้นฉบับ - ระยะทางอัตราส่วน: (X,d)(X,d)(X, d)(Y,f)(Y,f)(Y, f)μ:X→Yμ:X→Y\mu : X \rightarrow Yμμ\muρ=maxp,q∈X{d(x,y)f(μ(x),μ(y)),f(μ(x),μ(y))d(x,y)}ρ=maxp,q∈X{d(x,y)f(μ(x),μ(y)),f(μ(x),μ(y))d(x,y)} \rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \} มีมาตรการอื่น ๆ ที่มีคุณภาพแม้ว่า: Dhamdhere et alศึกษาการบิดเบือน "เฉลี่ย": σ=∑d(x,y)∑f(μ(x),μ(y)).σ=∑d(x,y)∑f(μ(x),μ(y)). \sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}. อย่างไรก็ตามการวัดที่ฉันสนใจที่นี่คือวิธีการที่ใช้โดยวิธีเหมือน MDS ซึ่งดูที่ข้อผิดพลาดการเติมเฉลี่ย: ε2=∑|d(x,y)−f(μ(x),μ(y))|2ε2=∑|d(x,y)−f(μ(x),μ(y))|2 \varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2 …

11 approximation-algorithms  cg.comp-geom  embeddings 

Johnson-Lindenstrauss lemma พูดอย่างคร่าว ๆ ว่าสำหรับคอลเล็กชั่น ofจุดใด ๆในมีแผนที่โดยที่เช่นนั้นสำหรับทั้งหมด : เป็นที่ทราบกันดีว่าคำสั่งที่คล้ายกันนั้นเป็นไปไม่ได้สำหรับตัวชี้วัด แต่เป็นที่รู้กันว่ามีวิธีใดบ้าง ขอบเขตโดยการเสนอการรับประกันที่อ่อนแอกว่า? ตัวอย่างเช่นสามารถมีบทแทรกด้านบนสำหรับSSSnnnRdRd\mathbb{R}^df:Rd→Rkf:Rd→Rkf:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^kk=O(logn/ϵ2)k=O(log⁡n/ϵ2)k = O(\log n/\epsilon^2)x,y∈Sx,y∈Sx, y \in Sℓ 1 ℓ 1(1−ϵ)||f(x)−f(y)||2≤||x−y||2≤(1+ϵ)||f(x)−f(y)||2(1−ϵ)||f(x)−f(y)||2≤||x−y||2≤(1+ϵ)||f(x)−f(y)||2(1-\epsilon)||f(x)-f(y)||_2 \leq ||x-y||_2 \leq (1+\epsilon)||f(x)-f(y)||_2ℓ1ℓ1\ell_1ℓ1ℓ1\ell_1ตัวชี้วัดที่สัญญาว่าจะรักษาระยะห่างของคะแนนส่วนใหญ่ไว้ แต่อาจทำให้มีการบิดเบือนโดยพลการ ที่ไม่รับประกันการคูณสำหรับจุดที่ "ใกล้เกินไป"?

11 ds.algorithms  approximation-algorithms  cg.comp-geom  metrics  embeddings 

ตามหนังสือทฤษฎีกราฟทอพอโลยีโดยกรอสและทักเคอร์ให้เซลล์ฝังกราฟบนพื้นผิว (โดย 'พื้นผิว' ฉันหมายถึงที่นี่ทรงกลมที่มีบางจับและด้านล่างS nหมายถึงทรงกลมที่มีnแน่นอนด้ามจับ) หนึ่งสามารถกำหนดมัลติกราฟแบบคู่โดยการรักษาใบหน้าของกราฟต้นฉบับที่ฝังเป็นจุดยอดและเพิ่มขอบระหว่างจุดยอดสองจุดสำหรับทุกด้านที่ใบหน้าที่เกี่ยวข้องมีเหมือนกันในกราฟต้นฉบับn≥0n≥0n\geq 0SnSnS_nnnn นี่คือฉันปัญหา ได้รับกราฟผมต้องไปหาอีกกราฟG 'เช่นว่ามีอยู่พื้นผิวSและฝังโทรศัพท์มือถือของGบนSดังกล่าวว่าG 'เป็นที่สองของการฝังนี้G ฉันรู้ว่ามีกราฟที่เป็นไปได้มากมายG ′ ; ฉันต้องการค้นหากราฟกราฟGทุกตัวGGGG′G′G'SSSGGGSSSG′G′G'GGGG′G′G'GGG ฉันมีหลายคำถาม กลยุทธ์ปัจจุบันของฉันคือ (1) กำหนดประเภทของG , (2) ค้นหาการฝังGบนS nและ (3) ค้นหาคู่ของการฝังนี้ ทุกขั้นตอนเหล่านั้นมีอัลกอริทึมที่รู้จัก (แม้ว่า (1) คือ NP-Hard) ฉันสงสัยว่ามีวิธีการหาG ′ที่ผ่านการคำนวณของสกุลเพราะนั่นคือคอขวดของวิธีการนี้และนั่นคือคำถามแรกของฉัน คำถามที่สองของฉันคือ: ถ้าฉันรู้ว่าGปกติแล้วนั่นจะช่วยให้การคำนวณสกุลนั้นง่ายขึ้นหรือไม่? และคำถามที่สามของฉันคือคำขอสำหรับการอ้างอิงใด ๆ ที่สามารถช่วยฉันแก้ปัญหานี้ได้nnnGGGGGGSnSnS_nG′G′G'GGG

11 ds.algorithms  reference-request  graph-theory  cg.comp-geom  topological-graph-theory 

มีงานใด ๆ ในการกู้คืนความชันของส่วนของเส้นตรงจากการแปลงเป็นดิจิทัลหรือไม่? เราไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้อย่างสมบูรณ์แบบแน่นอน สิ่งที่เราต้องการคือวิธีการที่ได้มาจากเส้นดิจิตอลในช่วงเวลาของความลาดชันที่เป็นไปได้ (ความคิดของบรรทัดที่ดิจิตัลที่ฉันใช้คือ Rosenfeld's: เซตของคู่โดยที่มีช่วงเหนือจำนวนเต็ม (หรือบล็อกของจำนวนเต็มต่อเนื่อง) และหมายถึงจำนวนเต็ม ใกล้เคียงกับ (ถ้าเราใช้ )ฉันn ฉันn T ( x ) x x = k + 1 / 2 n ฉันn T ( x ) = k( i , n i n t ( a i + b ) )(i,nint(ai+b))(i,nint(ai+b))ผมiin ฉันn t ( …

11 reference-request  cg.comp-geom  cv.computer-vision  image-processing 

ได้รับชุดของคะแนนในdพื้นที่ Euclidean มิติปัญหาคือการตรวจสอบว่าเปลือกนูนมีลูกหน่วยศูนย์กลางที่แหล่งกำเนิดnnnddd ปัญหานี้เป็นปัญหา NP หรือไม่? มันอยู่ใน co-NP เป็นหนึ่งสามารถให้จุดในลูกบอลนอกฮัลล์นูนเป็นพยานและตรวจสอบข้อเท็จจริงนี้โดยใช้โปรแกรมเชิงเส้น การมุ่งเน้นของฉันที่นี่ไม่ได้อยู่ในความแม่นยำของคอมพิวเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับรากที่สองแม้ว่าสิ่งนี้อาจน่าสนใจ (เกี่ยวข้องกับ/mathpro/141782/efficiently-determine-if-convex-hull-contain-the-unit-ball )

10 cc.complexity-theory  cg.comp-geom 

ให้เป็นชุดของคะแนนใน d สำหรับการใด ๆเป็น -spannerเป็นกราฟไม่มีทิศทางถ่วงน้ำหนักภายใต้มาตรการ Euclidian เช่นว่าสองจุดใด ๆ , , ระยะทางที่สั้นใน , , อย่างมากคือคูณระยะทางยูคลิดระหว่างและ ,(โปรดทราบว่าคำจำกัดความนี้สามารถขยายไปยังขอบเขตการวัดโดยพลการได้อย่างง่ายดาย)N R d t ≥ 1 t G = ( P , E ) v u G d ( v , u ) t v u | v u |PPPยังไม่มีข้อความNNRdRd\mathbb{R}^dt ≥ 1t≥1t \geq 1เสื้อttG = ( …

10 cg.comp-geom 

อะไรคือขอบเขตที่ดีที่สุดในปัจจุบันสำหรับการดำเนินการค้นหาช่วงครึ่งสเปซบนชุดของจุด -dimensional ที่แสดงในรูปแบบของการแลกเปลี่ยนเวลา / พื้นที่ ตาม Matousek น้ำเชื้อ 1993 กระดาษ (ทฤษฎีบท 6.2 ขอบเขตการค้นหาที่มีประสิทธิภาพตามลำดับชั้นการปักชำ) เราสามารถทำนับช่วงสำหรับการค้นหาที่มีจุดตัดของพี halfspaces สำหรับ1 ≤ P ≤ d + 1โดยใช้โครงสร้างข้อมูลขนาดO ( m )สำหรับn ≤ m ≤ n dในO ( ndddพีpp1 ≤ p ≤ d+ 11≤p≤d+11 \le p \le d+1O ( m )O(m)O(m)n ≤ m ≤ ndn≤m≤ndn \le m …

10 reference-request  ds.data-structures  cg.comp-geom 

ให้เป็นกราฟที่มีขอบถ่วงน้ำหนัก (บวก) ฉันต้องการที่จะกำหนดแผนภาพ Voronoi สำหรับชุดของโหนด / เว็บไซต์Sเพื่อเชื่อมโยงกับโหนดวี∈ S subgraph R ( วี)ของGที่เกิดจากโหนดทั้งหมดอย่างเคร่งครัดใกล้ชิดกับวีกว่าไปยังโหนดอื่น ๆ ในS , วัด ความยาวของเส้นทางด้วยผลรวมของน้ำหนักบนส่วนโค้ง R ( วี)คือวี 's ภูมิภาค Voronoi ตัวอย่างเช่นโหนดสีเขียวด้านล่างอยู่ในR ( v 1 )GGGSSSv ∈ Sv∈Sv \in SR ( v )R(v)R(v)GGGโวลต์vvSSSR ( v )R(v)R(v)โวลต์vvR ( v1)R(v1)R(v_1)และต่อมน้ำเหลืองที่อยู่ใน ) ฉันต้องการที่จะเข้าใจโครงสร้างของแผนภาพ Voronoi เมื่อเริ่มต้นไดอะแกรมของสองไซต์v 1และv 2มีลักษณะอย่างไรเช่นbisectorแบบ 2 ไซต์มีลักษณะอย่างไร (สีน้ำเงินในตัวอย่างด้านบน) ผมคิดว่าของเส้นแบ่งครึ่งB …

10 reference-request  graph-theory  cg.comp-geom 

เมื่อกำหนดชุดของจุดในพื้นที่คาร์ทีเซียนแบบ 3 มิติฉันกำลังมองหาอัลกอริทึมที่จะเรียงลำดับจุดเหล่านี้เช่นว่าระยะทางแบบยุคลิดต่ำสุดระหว่างจุดสองจุดติดต่อกันจะถูกขยายให้ใหญ่สุด มันก็จะเป็นประโยชน์เช่นกันหากอัลกอริทึมนั้นมีแนวโน้มที่จะมีระยะทางแบบยุคลิดเฉลี่ยสูงกว่าระหว่างจุดต่อเนื่องกัน

10 graph-algorithms  cg.comp-geom  optimization 

สมมติว่าผมมีความเรียบง่ายของรูปหลายเหลี่ยมและจำนวนเต็มk อะไรบางอย่างที่มีอยู่วิธีการหารัศมีที่เล็กที่สุดrเช่นที่ฉันสามารถครอบคลุมSกับkวงกลมรัศมีR ? แล้วถ้าrได้รับการแก้ไขแล้วและฉันต้องการลดk ?SSSkkkRRrSSSkkkRRrRRrkkk

10 cg.comp-geom  planar-graphs  set-cover 

เรารู้ว่าการหาตัวเรือนูนจากจุดnnnบนเครื่องบินมีขอบเขตต่ำกว่าΩ ( n บันทึกn )Ω(nlog⁡n)\Omega(n\log n)ในเวลาทำงาน อย่างไรก็ตามหากมีการให้คะแนนตามลำดับที่เกิดขึ้นตามรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่ายที่มีจุดเหล่านั้นเป็นจุดยอดของมันเรือนูนของพวกเขาสามารถพบได้ในเวลาเชิงเส้น ฉันพบว่าสิ่งนี้น่าสนใจเพราะอาจมีรูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายเกินไปที่มีจุดที่กำหนดเป็นจุดยอดดังนั้นจึงเรียงตามลำดับโดยหนึ่งในนั้นฟังดูเหมือนเป็นข้อมูลที่ไร้ประโยชน์ และยังช่วย ดังนั้นคำถามของฉันคือมีสถานที่อื่นที่ข้อมูลเดียวกันช่วยในการลดเวลาทำงานของอัลกอริทึมหรือไม่ ด้านหนึ่งฉันต้องการทราบขอบเขตของจำนวนเรียงสับเปลี่ยนของชุดจุดที่กำหนดบนระนาบที่มีรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่ายที่มีจุดเหล่านั้นเป็นจุดยอดเพื่อให้ลำดับที่จุดเกิดขึ้นตามรูปหลายเหลี่ยมนั้น เช่นเดียวกับคำสั่งในการเปลี่ยนแปลง มีอะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้บ้าง?

10 cg.comp-geom 

ผลรวมของ Minkowski ของเวกเตอร์สองชุดมอบให้โดยA , B ∈ RdA,B∈RdA, B \in R^d A ⊕ B = { a + b ∣ a ∈ A , b ∈ B }A⊕B={a+b∣a∈A,b∈B} A \oplus B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B \} ฉันเพิ่งได้ยินปัญหาที่น่าสนใจ (มาจาก Dan Halperin): จากรูปร่างมีรูปร่างที่หรือไม่?A A ⊕ …

10 cg.comp-geom