คำถามติดแท็ก proof-theory

คำถามเกี่ยวกับการวิเคราะห์การพิสูจน์ในทฤษฎี

4
ฉันจะเรียนรู้ทฤษฎีพื้นฐานของผู้ช่วยพิสูจน์ Coq ได้อย่างไร
ฉันกำลังจะไปดูรายละเอียดหลักสูตรที่CIS 500: ฐานรากซอฟต์แวร์และแบบฝึกหัดสนุกมาก ฉันเป็นแค่ชุดออกกำลังกายชุดที่สาม แต่ฉันต้องการทราบเพิ่มเติมเกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อฉันใช้กลยุทธ์เพื่อพิสูจน์สิ่งต่าง ๆ เช่นforall (n m : nat), n + n = m + m -> n = m.

3
Curry-Howard และโปรแกรมจากบทพิสูจน์ที่ไม่สร้างสรรค์
นี่เป็นคำถามติดตาม อะไรคือข้อแตกต่างระหว่างการพิสูจน์และโปรแกรม (หรือระหว่างข้อเสนอและประเภท)? โปรแกรมอะไรจะสอดคล้องกับการที่ไม่สร้างสรรค์ (คลาสสิก) หลักฐานของแบบฟอร์ม∀k T(e,k)∨¬∀k T(e,k)∀k T(e,k)∨¬∀k T(e,k)\forall k \ T(e,k) \lor \lnot \forall k \ T(e,k) ? (สมมติว่าTTTเป็นความสัมพันธ์ที่สามารถตัดสินใจได้ที่น่าสนใจเช่นeee th TM ไม่หยุดในขั้นตอนkkk ) (ps: ฉันกำลังโพสต์คำถามนี้ส่วนหนึ่งเพราะฉันสนใจที่จะเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับความหมายของ Neel โดย " การแปล Godel-Gentzenเป็นการเปลี่ยนแปลงที่ต่อเนื่อง" ในความคิดเห็นของเขา )

1
ประเภทอุปนัยสำหรับสัญลักษณ์ลำดับที่นับได้ขนาดใหญ่
ฉันกำลังมองหาการสร้างสัญลักษณ์สำหรับกฎที่นับได้จำนวนมากใน "วิธีธรรมชาติ" โดย "วิธีธรรมชาติ" ผมหมายความว่าได้รับการอุปนัยชนิดข้อมูล X เท่าเทียมกันที่ควรจะเป็นความเท่าเทียมกันตามปกติ recursive (เดียวกับที่deriving Eqใน Haskell จะผลิต) และคำสั่งที่ควรจะเป็นปกติ recursive lexicographical สั่งซื้อ (เดียวกับที่deriving Ordใน Haskell จะผลิต ) และมีภาคแสดงที่ตัดสินใจได้ซึ่งกำหนดว่าสมาชิกของ X เป็นเครื่องหมายแสดงลำดับที่ถูกต้องหรือไม่ ตัวอย่างเช่นเลขลำดับที่น้อยกว่าcan 0สามารถแสดงได้ด้วยรายการที่มีการจัดเรียงแบบ จำกัด ทางพันธุกรรมและเป็นไปตามข้อกำหนดเหล่านี้ กำหนด X เป็นμα μβ 1 + α×β, รายการ จำกัด ทางพันธุกรรมหรือที่รู้จักกันโดยทั่วไป กําหนดisValidการตรวจสอบว่า X มีการเรียงลำดับและสมาชิกทุกคนของ X isValidเป็น สมาชิกที่ถูกต้องของ X คือเลขลำดับทั้งหมดน้อยกว่าε 0ภายใต้คำสั่งทางพจนานุกรมปกติ ผมคาดเดาว่าμα 0 . …

1
ข้อเสนอประเภทคืออะไร? (ประเภทใดกันแน่)
ฉันอ่านมากเกี่ยวกับระบบการพิมพ์และฉันเข้าใจว่าทำไมพวกเขาถึงได้รับการแนะนำ (เพื่อแก้ไขความขัดแย้งของรัสเซล) ฉันยังเข้าใจความเกี่ยวข้องในทางปฏิบัติในภาษาโปรแกรมและระบบพิสูจน์อย่างคร่าวๆ อย่างไรก็ตามฉันไม่มั่นใจอย่างเต็มที่ว่าแนวคิดของฉันคือสิ่งที่ถูกต้อง คำถามของฉันคือมันถูกต้องที่จะอ้างว่าประเภทเป็นข้อเสนอ กล่าวอีกนัยหนึ่งคำว่า "n คือจำนวนธรรมชาติ" สอดคล้องกับคำสั่ง "n มีประเภท 'จำนวนธรรมชาติ'" หมายถึงกฎพีชคณิตทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับจำนวนธรรมชาติถือสำหรับ n (กล่าวคืออีกวิธีหนึ่งกฎเกี่ยวกับพีชคณิตคือข้อความงบเหล่านั้นที่ถือเป็นจริงสำหรับตัวเลขธรรมชาติยังถือจริงสำหรับ n) นี่หมายความว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์สามารถมีมากกว่าหนึ่งประเภทได้หรือไม่? นอกจากนี้ฉันรู้ว่าชุดนั้นไม่เทียบเท่ากับประเภทเพราะคุณไม่สามารถมีชุดทั้งหมดได้ ฉันจะเรียกร้องว่าถ้าชุดเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์คล้ายกับจำนวนหรือฟังก์ชั่นเป็นประเภทคือการจัดเรียงของวัตถุ meta-ทางคณิตศาสตร์และตรรกะเดียวกันเป็นชนิดเป็น meta-meta-คณิตศาสตร์วัตถุ? (ในแง่ที่ว่า "meta" ทุกตัวบ่งบอกถึงระดับที่สูงขึ้นของนามธรรม ... ) สิ่งนี้มีการเชื่อมโยงกับทฤษฎีหมวดหมู่หรือไม่?

3
funsplit และขั้วของ Pi-types
ในหัวข้อที่ผ่านมาใน AGDA รายชื่อที่ส่งคำถามของกฎหมายโผล่ขึ้นมาซึ่งในปีเตอร์แฮนค็อกทำกระตุ้นความคิดคำพูดηη\eta ความเข้าใจของฉันคือกฎหมายมาพร้อมกับประเภทติดลบเช่น การเชื่อมต่อซึ่งกฎการแนะนำจะย้อนกลับได้ หากต้องการปิดใช้งานสำหรับฟังก์ชั่นแฮงค์แนะนำให้ใช้ตัวกำจัดแบบกำหนดเอง, funsplitแทนกฎแอปพลิเคชันทั่วไป ฉันต้องการที่จะเข้าใจคำพูดของแฮงค์ในแง่ของขั้วηη\etaηη\eta ตัวอย่างเช่นมีสองงานนำเสนอ -type มีตัวแยกแยก Martin-Löfแบบดั้งเดิมในลักษณะบวก:ΣΣ\Sigma แกมมา⊢ ฉ: ( a : A ) ( b : Ba ) → C( a , b )แกมมา⊢ P : Σ : Bแกมมา⊢ s พีลิตรฉันทีฉหน้า: CพีΓ⊢ฉ:(a:A)(ข:Ba)→ค(a,ข)Γ⊢พี:Σa:A.BΓ⊢sพีล.ผมเสื้อฉพี:คพี \begin{array}{l} \Gamma \vdash f : (a : A)(b : B\: a) \to …

3
เราสามารถพิสูจน์การทำให้เป็นมาตรฐานที่อ่อนแอสำหรับ System F โดยการเหนี่ยวนำในลำดับ transfinite
ฟื้นฟูอ่อนแอง่ายพิมพ์แลมบ์ดาแคลคูลัสสามารถพิสูจน์ได้ (ทัวริง) โดยการเหนี่ยวนำใน 2 แคลคูลัสแลมบ์ดาขยาย recursors ในจำนวนธรรมชาติ (Gentzen) มีกลยุทธ์การฟื้นฟูที่อ่อนแอโดยการเหนี่ยวนำในε 0ω2ω2\omega^2ε0ε0\epsilon_0 สิ่งที่เกี่ยวกับ System F (หรืออ่อนแอกว่า)? มีหลักฐานการทำให้ปกติในรูปแบบนี้อ่อนแอหรือไม่? ถ้าไม่สามารถทำได้เลย

3
ทำไมคอนสตรัคติวิสต์ดูเหมือนจะไม่สนใจเรื่องโทร / cc มากเกินไป
เมื่อสักครู่ก่อนฉันมีคนบอกฉันว่าการเรียก / สำเนาลับสามารถอนุญาตวัตถุพิสูจน์สำหรับการพิสูจน์แบบดั้งเดิมโดยใช้กฎหมายของเพียรซ ฉันเพิ่งคิดเกี่ยวกับหัวข้อเมื่อเร็ว ๆ นี้และฉันไม่สามารถหาข้อบกพร่องได้ อย่างไรก็ตามฉันดูเหมือนจะไม่เห็นคนอื่นพูดถึงมันจริงๆ ดูเหมือนว่าเป็นโมฆะของการสนทนา สิ่งที่ช่วยให้? สำหรับฉันดูเหมือนว่าถ้าคุณมีสิ่งปลูกสร้างเช่นในบางบริบทดังนั้นหนึ่งในสองสิ่งนั้นเป็นจริง ไม่ว่าคุณจะมีการเข้าถึงอินสแตนซ์⊥อย่างใดในบริบทปัจจุบันซึ่งในการควบคุมการไหลกรณีที่จะไม่เคยไปถึงที่นี่และเรามีความปลอดภัยที่จะคิดหรือสิ่งที่กำหนดว่าF : ¬ ( ¬ P )หมายถึงF : ( P →การ⊥ ) →การ⊥วิธีเดียวที่fสามารถส่งคืน⊥คือสร้างอินสแตนซ์ของPf:¬(¬P)f:¬(¬P)f : \neg(\neg P)⊥⊥\botf:¬(¬P)f:¬(¬P)f : \neg(\neg P)f:(P→⊥)→⊥f:(P→⊥)→⊥f : (P \to \bot) \to \botfff⊥⊥\botPPPและการประยุกต์ใช้มันสองมันอาร์กิวเมนต์ (ตัวอย่างของ ) ในกรณีเช่นนี้มีบางวิธีในการสร้างอินสแตนซ์ของP อยู่แล้ว ดูเหมือนว่าเหมาะสมสำหรับการโทร / ซีซีเพื่อดึงสิ่งก่อสร้างนี้ออกมาให้ฉัน เหตุผลของฉันที่นี่ดูเหมือนจะสงสัยว่าฉัน แต่ความสับสนของฉันยังคงยืนอยู่ หากการโทร / cc ไม่เพียงสร้างอินสแตนซ์ของPออกมาจากอากาศ (ฉันไม่เห็นว่ามันเป็นอย่างไร) แล้วปัญหาคืออะไรP→⊥)P→⊥)P …

2
การแก้ปัญหาเชิงประพจน์เป็นระบบพิสูจน์ที่สมบูรณ์หรือไม่
คำถามนี้เกี่ยวกับตรรกะเชิงประพจน์และควรอ่าน "การแก้ไข" ที่เกิดขึ้นทั้งหมดว่า "การแก้ปัญหาเชิงประพจน์" คำถามนี้เป็นสิ่งที่ธรรมดามาก แต่รบกวนฉันมาระยะหนึ่งแล้ว ฉันเห็นคนยืนยันว่าการแก้ปัญหาเชิงประพจน์เสร็จสมบูรณ์ แต่ฉันก็เห็นด้วยว่าผู้คนยืนยันว่าการลงมตินั้นไม่สมบูรณ์ ฉันเข้าใจความหมายของการแก้ปัญหาที่ไม่สมบูรณ์ ฉันเห็นด้วยเช่นกันว่าทำไมผู้คนถึงอ้างว่ามันสมบูรณ์ แต่คำว่า "สมบูรณ์" แตกต่างจากวิธีที่ "สมบูรณ์" เมื่อใช้อธิบายการหักตามธรรมชาติหรือแคลคูลัสตามลำดับ แม้แต่การคัดเลือก "การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์" ก็ไม่ได้ช่วยเพราะสูตรต้องอยู่ใน CNF และการแปลงสูตรเป็นสูตร CNF ที่เทียบเท่าหรือสูตร CNF ที่ไม่น่าพอใจผ่านการแปลง Tseitin ไม่ได้ถูกนำมาใช้ในระบบพิสูจน์ ความสมบูรณ์และความสมบูรณ์ ให้เราสมมติว่าการตั้งค่าของตรรกะเชิงประพจน์คลาสสิกกับความสัมพันธ์ระหว่างจักรวาลของโครงสร้างบางอย่างกับชุดของสูตรและแนวคิดเกี่ยวกับความจริง Tarskian คลาสสิกในโครงสร้าง เราเขียน⊨ φถ้าφเป็นจริงในโครงสร้างทั้งหมดได้รับการพิจารณา ฉันจะถือว่าระบบ⊢สำหรับการหาสูตรจากสูตร⊨⊨\models⊨φ⊨φ\models \varphiφφ\varphi⊢⊢\vdash ระบบเป็นเสียงที่เกี่ยวกับ⊨ถ้าเมื่อใดก็ตามที่เรามี⊢ ไวเรายังมี⊨ไว ระบบ⊢คือสมบูรณ์ด้วยความเคารพ⊨ถ้าเมื่อใดก็ตามที่เรามี⊨ ไวเรายังมี⊢ไว⊢⊢\vdash⊨⊨\models⊢φ⊢φ\vdash \varphi⊨φ⊨φ\models \varphi⊢⊢\vdash⊨⊨\models⊨φ⊨φ\models \varphi⊢φ⊢φ\vdash \varphi กฎการแก้ปัญหา ตัวอักษรเป็นข้อเสนออะตอมหรือการปฏิเสธของมัน ประโยคเป็นความแตกต่างของตัวอักษร สูตรใน CNF คือการรวมกันของข้อ กฎการแก้ปัญหาอ้างว่า กฎการแก้ปัญหาอ้างว่าหากการรวมกันของข้อกับข้อ¬ …

1
กำลังมองหาเอกสารและบทความเกี่ยวกับ Tarskian Möglichkeit
บางหลัง: Łukasiewicz logics หลายมูลค่าตั้งใจเป็นคำกริยา logics และŁukasiewiczให้extensionalนิยามของผู้ประกอบกิริยา: (ซึ่งเขาแอตทริบิวต์ Tarski)◊A=def¬A→A◊A=def¬A→A\Diamond A =_{def} \neg A \to A นี้จะช่วยให้ตรรกะกิริยาแปลกที่มีความขัดแย้งบางอย่างถ้าไม่ได้ไร้สาระทฤษฎีบทดูเหมือนสะดุดตา ) ทดแทน¬ AสำหรับBเพื่อดูว่าทำไมมันถึงได้ถูกผลักไสไปยังเชิงอรรถในประวัติศาสตร์ของตรรกะโมดัล(◊A∧◊B)→◊(A∧B)(◊A∧◊B)→◊(A∧B)(\Diamond A\land \Diamond B) \to \Diamond (A\land B)¬A¬A\neg ABBB อย่างไรก็ตามฉันได้ตระหนักว่ามันไร้สาระน้อยลงเมื่อนิยามของโอเปอเรเตอร์ที่เป็นไปได้นั้นถูกนำไปใช้กับ Linear Logic และ logics substructural อื่น ๆ ฉันมีการพูดคุยอย่างไม่เป็นทางการเกี่ยวกับเรื่องนี้เมื่อต้นเดือน ลิงก์ไปยังการพูดคุยนั้นอยู่ที่http://www.cs.st-andrews.ac.uk/~rr/pubs/lablunch-20110308.pdf (หนึ่งในเหตุผลที่ฉันถามเกี่ยวกับคำกริยา log substructural คือการเปรียบเทียบความหมายของ logics เหล่านั้นกับการใช้ตัวดำเนินการนี้) อย่างไรก็ตามงานที่ไม่สำคัญเพียงอย่างเดียวที่ฉันได้พบการอ้างอิงถึงคือการพูดคุยโดย A. Turquette, "ความทั่วไปของ Tarski ของMöglichkeit" ที่สมาคมออสตราเลเซียนประจำปี 1997 …

5
กำลังมองหาเอกสารและบทความเกี่ยวกับ logics substructural modal
ฉันกำลังมองหาเอกสารและบทความเกี่ยวกับ logics substructural modal - ไม่ได้อยู่ในความหมายของ modalities ตรรกะเชิงเส้น แต่ใน logics substructural เพิ่มกับผู้ประกอบการ modal มาตรฐานเช่น substructural K (เช่น MALL กับผู้ประกอบการกล่องความจำเป็นและกฎ K)

1
การลดชั้นในสุดอยู่ตลอดใน ty-แคลคูลัสที่ไม่มีการพิมพ์หรือไม่?
(ฉันได้ถามเรื่องนี้ที่ MathOverflow แล้ว แต่ไม่มีคำตอบอยู่ที่นั่น) พื้นหลัง ในแคลคูลัสแลมบ์ดา untyped คำที่อาจจะมี redexes จำนวนมากและทางเลือกที่แตกต่างกันเกี่ยวกับการเป็นที่หนึ่งในการลดอาจให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันอย่างดุเดือด (เช่นซึ่งในทางหนึ่ง ขั้นตอน ( -) ลดทั้งหรือตัวเอง) ที่แตกต่างกัน (ลำดับ) ทางเลือกในการที่จะลดจะเรียกว่ากลยุทธ์การลด คำกล่าวจะnormalizingถ้ามีกลยุทธ์การลดลงซึ่งนำไปแบบปกติ คำกล่าวจะnormalizing อย่างยิ่งถ้ากลยุทธ์ลดทุกนำ( λ x . y) ( ( λ x . x x ) λ x . x x )(λx.Y)((λx.xx)λx.xx)(\lambda x.y)((\lambda x.xx)\lambda x.xx)ββ\betat t t tYYyเสื้อเสื้อtเสื้อเสื้อtเสื้อเสื้อtเสื้อเสื้อtสู่รูปแบบปกติ (ฉันไม่ได้กังวลเกี่ยวกับสิ่งที่ แต่การบรรจบกันรับประกันว่ามีความเป็นไปได้มากกว่าหนึ่งไม่ได้) กลยุทธ์การลดการกล่าวถึงเป็นnormalizing (และอยู่ในความรู้สึกบางอย่างที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้) ถ้าเมื่อใดก็ตามมีรูปแบบปกติแล้วว่าของที่เราจะจบลง …

1
ความสอดคล้องสัมพัทธ์ของ PA และทฤษฎีบางประเภท
สำหรับทฤษฎีประเภทโดยความสอดคล้องฉันหมายความว่ามันมีประเภทที่ไม่ได้อาศัยอยู่ จากการฟื้นฟูที่แข็งแกร่งของแลมบ์ดาคิวบ์นั้นจะตามมาว่าระบบFFFและระบบFωFωF_\omegaนั้นสอดคล้องกัน MLTT + อุปนัยประเภทนี้ยังมีหลักฐานการฟื้นฟู อย่างไรก็ตามสิ่งเหล่านี้ควรมีพลังมากพอที่จะสร้างแบบจำลองของ PA ซึ่งพิสูจน์ว่า PA นั้นสอดคล้องกับทฤษฎีเหล่านี้ ระบบFFFคือมีประสิทธิภาพมากดังนั้นผมจึงคาดว่าจะสามารถที่จะพิสูจน์ความสอดคล้องของ PA โดยการสร้างรูปแบบการใช้เลขคริสตจักร MLTT + IT มีตัวเลขอุปนัยตามธรรมชาติและควรพิสูจน์ความสอดคล้องเช่นกัน ทั้งหมดนี้แสดงให้เห็นว่าการพิสูจน์การทำให้เป็นมาตรฐานสำหรับทฤษฎีเหล่านี้ไม่สามารถนำมาใช้ภายใน PA ได้ ดังนั้น: ระบบFFF , ระบบFωFωF_\omega , และ MLTT + IT สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องของ PA ได้จริงหรือไม่? หากสามารถทำได้แล้วจำเป็นต้องมีอภิธานศัพท์อะไรบ้างที่จะพิสูจน์การทำให้เป็นมาตรฐานสำหรับระบบFFF , FωFωF_\omega , และ MLTT + IT? มีการอ้างอิงที่ดีสำหรับทฤษฎีการพิสูจน์ของทฤษฎีประเภททั่วไปหรือสำหรับทฤษฎีประเภทเหล่านี้โดยเฉพาะหรือไม่?

1
หลักฐานการลดลงของ Barendregt สำหรับ
ฉันพบปัญหาในการพิสูจน์การลดเรื่องของ Barendregt (Thm 4.2.5 ของแลมบ์ดานิ่วประเภท ) ขั้นตอนสุดท้ายของการพิสูจน์ (หน้า 60) พูดว่า: "และด้วยเหตุนี้โดย Lemma 4.1.19 (1), ".Γ,x:ρ⊢P:σ′Γ,x:ρ⊢P:σ′\quad\Gamma,x:\rho\vdash P:\sigma' แต่ตามบทแทรก 4.1.19 (1) มันควรจะเป็นตั้งแต่ทดแทนจะทำให้บริบททั้งไม่เพียง แต่จะx : ρ ' .Γ[α⃗ :=τ⃗ ],x:ρ⊢P:σ′Γ[α→:=τ→],x:ρ⊢P:σ′\Gamma[\vec{\alpha}:=\vec{\tau}],x:\rho\vdash P:\sigma'x:ρ′x:ρ′x:\rho' ผมคิดว่าวิธีการแก้ปัญหามาตรฐานอาจจะเป็นอย่างใดพิสูจน์ได้ว่าแต่ผมไม่แน่ใจว่าα⃗ ∉FV(Γ)α→∉FV(Γ)\vec{\alpha}\notin FV(\Gamma) ฉันมีหลักฐานที่ทำให้มันง่ายขึ้นโดยการผ่อนคลายบทแทรกของ abstractions แต่เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันพบว่ามีข้อผิดพลาดและหลักฐานของฉันผิดดังนั้นฉันไม่แน่ใจว่าจะแก้ปัญหานี้ได้อย่างไร ใครช่วยกรุณาบอกฉันว่าฉันหายไปไหน

2
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราพยายามดึงพยานออกมา แต่จริงๆแล้วมันไม่ได้มีอยู่จริงจากเทอมของประเภทที่มีอยู่จริง?
ที่กำหนดระยะเวลาt : ∀x.∃y.(¬(x = 0) ⇒ x = S(y))ในประเภททฤษฎีมาร์ตินลอฟ-ของสิ่งที่คุ้มค่าของการw(t(0))ที่wเป็นผู้ประกอบการที่สารสกัดจากพยานของระยะเวลาของประเภทการดำรงอยู่หรือไม่?

2
การอ้างอิงถึงภาษาการเขียนโปรแกรมโดยยึดตามตรรกะแบบมีเงื่อนไข
logics มีเงื่อนไขนี้ logics ซึ่งขยายความหมายตรรกะแบบดั้งเดิมกับผู้ประกอบกิริยาที่สอดคล้องกับความคิดอื่น ๆ ของสภาพ (เช่นสาเหตุเงื่อนไขอ่าน " ทำให้เกิด 'B' หรือ probabilistic ปรับอากาศ " " ซึ่งอ่าน "กำหนด")A□→ BA◻→BA\; \square\!\!\!\!\to BAAAA | BA|BA|BAAABBB โดยทั่วไปแล้ว logics เหล่านี้จะได้รับการศึกษาในรูปแบบตามหลักทฤษฏี แต่ฉันสงสัยเกี่ยวกับแอพพลิเคชั่นของพวกเขาในการออกแบบภาษาการเขียนโปรแกรม (ตัวอย่างเช่น ฉันขอขอบคุณที่อ้างอิงถึงทฤษฎีการพิสูจน์ของพวกเขา (เช่นแคลคูลัสตามลำดับ / การหักตามธรรมชาติ) หรือภาษาโปรแกรมที่มีประเภทตามตัวดำเนินการประเภทนี้ ขอบคุณ! แก้ไข: สารานุกรมปรัชญาสแตนฟอร์ดมีการแนะนำที่ดีเกี่ยวกับเรื่องนี้

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.