คำถามติดแท็ก algebraic-complexity

ในตัวอย่างตัวนับที่โด่งดังเกี่ยวกับกราฟมอร์ฟิซึมผ่านวิธี Weisfeiler-Lehman (WL) แกดเจ็ตต่อไปนี้สร้างขึ้นในบทความนี้โดย Cai, Furer และ Immerman พวกเขาสร้างกราฟกำหนดโดยXk= ( Vk, Ek)Xk=(Vk,Ek)X_k = (V_k, E_k) Vk= Ak∪ Bk∪ Mk ที่ไหน Ak= { aผม∣ 1 ≤ i ≤ k } ,Bk= { bผม| 1 ≤ ฉัน≤ k } , และ Mk= { mS| S⊆ { 1 , 2 , … , …

12 graph-theory  graph-algorithms  graph-isomorphism  algebraic-complexity 

จากการนับการโต้แย้งเราสามารถแสดงให้เห็นว่ามีพหุนามของระดับ n ใน 1 ตัวแปร (เช่นรูปแบบที่มีวงจรซับซ้อน n นอกจากนี้เรายังสามารถแสดงให้เห็นว่าพหุนามเช่นต้องการอย่างน้อยคูณ (คุณต้องการเพียงเพื่อให้ได้ระดับที่สูงพอ) มีตัวอย่างที่ชัดเจนของชื่อพหุนามใน 1 ตัวแปรที่มีขอบเขตความซับซ้อนน้อยกว่าหรือไม่? (ผลการค้นหาในทุกสาขาจะน่าสนใจ)anxn+ an - 1xn - 1+ ⋯ + a0)anxn+an−1xn−1+⋯+a0)a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0)บันทึก2 nxnxnx^nเข้าสู่ระบบ2nlog2⁡n\log_2 n

12 cc.complexity-theory  circuit-complexity  polynomials  algebraic-complexity 

ให้เป็นบางฟิลด์ ตามปกติสำหรับ เรากำหนดจะเป็นความซับซ้อนเส้นตรงของมากกว่า kให้เป็นชุดของ monomials ของคือ monomials ที่ปรากฏในโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์f ∈ k [ x 1 , x 2 , … , x n ] L ( f ) f k F f fkkkฉ∈ k [ x1, x2, … , xn]ฉ∈k[x1,x2,...,xn]f\in k[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]L (ฉ)L(ฉ)L(f)ฉฉfkkkFFFฉฉfฉฉf จริงหรือที่ ?∀ m ∈ F: L ( m ) ≤ …

11 cc.complexity-theory  algebraic-complexity  arithmetic-circuits 

ฉันพยายามที่จะเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างความซับซ้อนของอัลกอริทึมและความซับซ้อนของวงจรของตัวกำหนดและการคูณเมทริกซ์ เป็นที่รู้จักกันว่าปัจจัยของนั้นเมทริกซ์สามารถคำนวณใน~ O ( M ( n ) )เวลาที่M ( n )เป็นเวลาขั้นต่ำที่จำเป็นในการคูณสองn × nเมทริกซ์ เป็นที่ทราบกันว่าความซับซ้อนของวงจรที่ดีที่สุดของดีเทอร์มิแนนต์คือพหุนามที่ระดับความลึกO ( log 2 ( n ) )และเลขชี้กำลังn × nn×nn\times nO~( M( n ) )O~(M(n))\tilde{O}(M(n))M( n )M(n)M(n)n × nn×nn\times nO ( บันทึก2( n ) )O(เข้าสู่ระบบ2⁡(n))O(\log^{2}(n)) ที่ความลึก 3 แต่ความซับซ้อนของวงจรของการคูณเมทริกซ์สำหรับความลึกคงที่ใด ๆ เป็นเพียงพหุนาม เหตุใดจึงมีความแตกต่างในความซับซ้อนของวงจรสำหรับตัวกำหนดและการคูณเมทริกซ์ในขณะที่เป็นที่ทราบกันว่าจากการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์มุมมองของอัลกอริทึมนั้นคล้ายกับการคูณเมทริกซ์ โดยเฉพาะทำไมซับซ้อนวงจรมีช่องว่างที่ชี้แจง depth- ?333 อาจอธิบายได้ง่าย แต่ฉันไม่เห็นมัน …

11 algebraic-complexity  arithmetic-circuits  matrix-product  determinant 

สมมุติฐานของ Riemannอายุมากกว่า1½ศตวรรษมีความเกี่ยวพันอย่างลึกซึ้งในวิชาคณิตศาสตร์และทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ขนาดใหญ่ได้พิสูจน์แล้วว่ามีเงื่อนไขกับมันและตัวแปรมากมาย ฉันเพิ่งเจอการอ้างอิงถึงผลตามเงื่อนไขใน TCS ตามสมมติฐานของ Riemann ดังนั้นฉันสงสัย อะไรคือนัยสำคัญของสมมติฐานของรีมันน์ใน TCS? เป็นจุดเริ่มต้นที่นี่เป็นตัวอย่างจากบทความล่าสุดชื่อโฮโมมอร์ฟิซึ่มส์พหุนามสมบูรณ์สำหรับ VPโดย Durand, Mahajan, Malod, de Rugy-Altherre และ Saurab จากการแนะนำของกระดาษ: หนึ่งในคำถามเปิดที่สำคัญที่สุดในทฤษฎีความซับซ้อนเชิงพีชคณิตคือการตัดสินใจว่าคลาส VP และ VNP แตกต่างกันหรือไม่ คลาสเหล่านี้, แรกที่กำหนดโดย Valiant ใน [13, 12], เป็น analogues เชิงพีชคณิตของคลาส Boolean ซับซ้อน P และ NP, และการแยกพวกมันเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการแยก P จาก NP (อย่างน้อยไม่สม่ำเสมอและสมมติสมมติฐาน Riemann ทั่วไป, เหนือสนาม , [3])CC\mathbb{C}

10 cc.complexity-theory  algebraic-complexity  arithmetic-circuits 

มัวร์เมทริกซ์คล้ายกับเมทริกซ์ Vandermonde แต่มีนิยามที่ปรับเปลี่ยนเล็กน้อย http://en.wikipedia.org/wiki/Moore_matrix ความซับซ้อนของการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของn×nn×nn \times nแบบเต็มอันดับคืออะไรเมทริกซ์โมดูโลจำนวนเต็มบางตัว? Moore Moore สามารถลดลงได้จากO(n3)O(n3)O(n^{3})โดยใช้เทคนิค FFT เป็นO(nlogan)O(nloga⁡n)O(n\log^{a}n)สำหรับa∈R+∪{0}a∈R+∪{0}a \in \mathbb{R}_{+} \cup \{0\}บ้างไหม? ความซับซ้อนของ Moore det modulo เป็นจำนวนเต็มและ Vandermonde det เหมือนกันหรือไม่? ความซับซ้อนของตัวกำหนด Vandermonde คือO(nlog2n)O(nlog2⁡n)O(n\log^{2}n) (หน้า 644 ในคู่มือวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี: อัลกอริทึมและความซับซ้อนโดย Jan Leeuwen) โพสต์ที่คล้ายกับปัจจุบัน: กำหนดโมดูโล m

10 cc.complexity-theory  algebraic-complexity 

ในSODA 1995 Jeff Erickson แสดงขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับความพึงพอใจเชิงเส้น (การตรวจสอบว่า -subset ของจำนวนจริงตรงกับสมการเชิงเส้นบนตัวแปร ) วิธีหลักฐานที่ใช้ infinitesimals และของ Tarski หลักการถ่ายโอนRRrnnnRRr ใครช่วยอธิบายสัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังเส้นทางที่ใช้เพื่อพิสูจน์ขอบเขตนี้ อะไรคือความยากลำบากในการหาข้อพิสูจน์โดยตรงเช่นนี้: "รับต้นไม้การตัดสินใจที่ใช้จำนวนจริงนี่คือวิธีที่เราสามารถสร้างข้อมูลที่เป็นปฏิปักษ์"

10 cg.comp-geom  lower-bounds  algebraic-complexity 

ปล่อย f∈Q[x1,x2,…,xn]f∈Q[x1,x2,…,xn]f\in\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}] เป็นพหุนามที่กำหนดโดยวงจรคณิตศาสตร์ CCC ขนาด sss. ป.ร. ให้ไว้CCC เป็นอินพุตมีอัลกอริทึมที่กำหนดขึ้นเพื่อตรวจสอบว่าปัจจัยลดลงทั้งหมดของ fff ใน Q[x1,x2,…,xn]Q[x1,x2,…,xn]\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]รูปแบบเชิงเส้นคืออะไร? ในบันทึกที่เกี่ยวข้องกำหนดรูปแบบเชิงเส้นl=∑ni=1li⋅xil=∑i=1nli⋅xil=\sum_{i=1}^{n}l_{i}\cdot x_{i}เราสามารถตรวจสอบได้อย่างแม่นยำว่า lll เป็นปัจจัยของ fff. แน่นอนเราต้องการให้เวลาเป็นพหุนามในทั้งสองกรณี ตามขนาดเราหมายถึงขนาดบิตทั้งหมด นอกจากนี้ยังสามารถสันนิษฐานได้ว่าระดับของfff คือพหุนามใน nnn.

9 ds.algorithms  algebraic-complexity  arithmetic-circuits 

อัลกอริธึม Berkowitz เป็นวงจรขนาดพหุนามที่มีความลึกลอการิทึมสำหรับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสโดยใช้พลังเมทริกซ์ อัลกอริทึมโดยนัยใช้การยกเลิก การยกเลิกเป็นสิ่งจำเป็นหรือไม่สำหรับการบรรลุวงจรขนาดพหุนามด้วยลอการิทึมหรือความลึกเชิงเส้นเพื่อคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ (และวงจรที่ดีที่สุดเท่าที่เป็นไปได้สำหรับการถาวร)? มีเอกซ์โพแนนเชียลอย่างเต็มที่ (ไม่ใช่แค่พหุนามสูงหรือเลขชี้กำลังย่อย) ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับปัญหาเหล่านี้โดยใช้วงจรโดยไม่มีการยกเลิก?

9 circuit-complexity  algebraic-complexity  permanent  arithmetic-circuits  determinant 

สมมติว่าเราทำงานในสนาม จำกัด เราได้รับค่าคงที่พหุนามขนาดใหญ่ p (x) (จาก, พูด, องศา 1,000) บนฟิลด์นี้ พหุนามนี้รู้จักกันมาก่อนและเราได้รับอนุญาตให้ทำการคำนวณโดยใช้ทรัพยากรจำนวนมากใน "ช่วงเริ่มต้น" ผลลัพธ์เหล่านี้อาจถูกจัดเก็บในตารางการค้นหาขนาดเล็กพอสมควร ในตอนท้ายของ "ระยะเริ่มต้น" เราจะได้รับพหุนาม Q (x) ที่ไม่รู้จักจำนวนเล็กน้อย (จาก, พูด, ระดับ 5 หรือน้อยกว่า) มีวิธีที่รวดเร็วในการคำนวณ p (x) mod q (x) หรือไม่เนื่องจากเราได้รับอนุญาตให้ทำการคำนวณที่ซับซ้อนบางอย่างใน "ระยะเริ่มต้น"? วิธีหนึ่งที่ชัดเจนคือการคำนวณ p (x) mod q (x) สำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ q (x) มีวิธีที่ดีกว่าในการทำเช่นนี้?

9 cc.complexity-theory  ds.algorithms  algebra  algebraic-complexity  polynomials 

ในกระดาษจาก Adi Shamir [1] จาก 1,979 เขาแสดงให้เห็นว่าการแฟสามารถทำได้ในจำนวนพหุนามขั้นตอนทางคณิตศาสตร์ . ความจริงเรื่องนี้ได้รับการปรับปรุงใหม่และทำให้ฉันได้รับความสนใจในบทความล่าสุดของ Borwein and Hobart [2] ในบริบทของโปรแกรมเส้นตรง (SLP) เนื่องจากฉันค่อนข้างประหลาดใจที่ได้อ่านสิ่งนี้ฉันมีคำถามต่อไปนี้: มีปัญหาการเข้ารหัสอื่น ๆ หรืออาจเป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องอื่น ๆ ที่สามารถแก้ไขได้ด้วยจำนวนขั้นตอนพหุนามด้วย SLP และที่ปัจจุบันยังไม่ทราบว่าจะแก้ไขได้ อย่างมีประสิทธิภาพบนคอมพิวเตอร์คลาสสิค "ปกติ" หรือไม่? [1] Adi Shamir หมายเลขแฟคตอริ่งในO ( บันทึกn )O(log⁡n)O(\log n)ขั้นตอนการทางคณิตศาสตร์ ตัวประมวลผลข้อมูล 8 (1979) S. 28–31 [2] Peter Borwein, Joe Hobart, พลังพิเศษของแผนกในโปรแกรมแบบตรง , The American Mathematical Vol. …

9 cc.complexity-theory  cr.crypto-security  algebraic-complexity 

ปล่อย AAA เป็น 3×33×33 \times 3 หรือ 4×44×44 \times 4 เมทริกซ์ที่มีรายการ aijaija_{ij}. ใครช่วยจัดหาเมทริกซ์ให้ฉันได้บ้างBBB ดังนั้น per(A)=det(B)per⁡(A)=det(B)\operatorname{per}(A) = \det(B)? อะไรคือชัดเจนที่สุดที่เล็กที่สุดที่รู้จักกันว่า ? การอ้างอิงใด ๆ เกี่ยวกับเรื่องนี้พร้อมตัวอย่างชัดเจน?BBBper(A)=det(B)per⁡(A)=det(B)\operatorname{per}(A) = \det(B) ข้อ จำกัด บางประการอาจเป็นกรณีต่อไปนี้: กรณี functionals เชิงเส้นเท่านั้นจะได้รับอนุญาตเป็นรายการของB(1)(1)(1)BBB กรณีอนุญาตให้ฟังก์ชันที่ไม่ใช่เชิงเส้นแต่ละเทอมมีระดับ (ระดับคือผลรวมของระดับของตัวแปร) โดยที่คือขนาดของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง ในกรณีของเรา, ระดับไม่เกิน2(2)(2)(2)O(log(n))O(log(n))O(log(n))nnn222

9 cc.complexity-theory  algebraic-complexity  permanent 

การคูณเมทริกซ์โดยใช้เทคนิคปกติ (ผลิตภัณฑ์ภายในแถว - คอลัมน์) ใช้เวลา โอ(n3)O(n3)O(n^{3}) การคูณและ โอ(n3)O(n3)O(n^{3})เพิ่มเติม อย่างไรก็ตามสมมติว่ารายการมีขนาดเท่ากัน (จำนวนบิตในแต่ละรายการของเมทริกซ์ทั้งสองที่ถูกคูณ) ของขนาดม.ม.m บิตการดำเนินการเพิ่มเติมเกิดขึ้นจริง โอ(n3n m ) = O (n4ม. )O(n3nม.)=O(n4ม.)O(n^{3}nm) = O(n^{4}m) เกร็ด ดังนั้นจึงดูเหมือนว่าความซับซ้อนที่แท้จริงของการคูณเมทริกซ์ถ้าวัดด้วยความซับซ้อนบิตควรเป็น โอ(n4)O(n4)O(n^{4}). ( 1 )(1)(1)ถูกต้องหรือไม่ หากว่ามีใครสร้างอัลกอริทึมที่ช่วยลดความซับซ้อนของบิตให้ โอ(n3 + ϵ)O(n3+ε)O(n^{3+\epsilon}) มากกว่าการคูณและการเพิ่มทั้งหมดนี่อาจเป็นวิธีที่ทำให้เกิดเสียงมากกว่าพูดว่าการลดการคูณและการเพิ่มทั้งหมดลงใน โอ(n2 + ϵ)O(n2+ε)O(n^{2+\epsilon}) ตามที่นักวิจัยพยายามเช่น Coppersmith และ Cohn ( 2 )(2)(2) นี่เป็นอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องหรือไม่?

9 cc.complexity-theory  algebraic-complexity