คำถามติดแท็ก reference-request

ฉันได้ยินผลลัพธ์ในการประมาณกราฟสี แต่ไม่พบแหล่งที่มา ผลลัพธ์คือ: สำหรับทุกค่าคงที่มีค่าk ที่มีขนาดใหญ่พอที่จะทำให้กราฟk -colorable ที่มีสีh kคือ NP-hardชั่วโมงชั่วโมงhkkkkkkเอชเคชั่วโมงkhk มีคนช่วยแนะนำฉันไปที่เอกสารที่เกี่ยวข้องได้ไหม

10 reference-request  approximation-hardness  graph-colouring 

ฉันเขียนวิทยานิพนธ์ปริญญาโทของฉันใน CS และฉันทำงานกับการวิเคราะห์นามแฝง สิ่งที่ฉันสนใจคือการวิเคราะห์ที่ละเอียดอ่อนที่จำเป็นต้องมี ฉันกำลังค้นหาข้อความที่อธิบายพื้นฐานของเรื่องนี้อย่างละเอียด แต่ไม่สามารถระบุสิ่งที่เหมาะสมได้ ฉันรอดชีวิตจากหนังสือตำราจำนวนหนึ่งเกี่ยวกับคอมไพเลอร์และการวิเคราะห์แบบคงที่ แต่ไม่พบสิ่งใดที่นั่น ฉันพบเอกสารจำนวนมากที่ใช้การวิเคราะห์นามแฝง แต่ส่วนใหญ่เน้นไปที่ปัญหาที่ใช้การวิเคราะห์นามแฝงและไม่ได้อธิบายขั้นตอนวิธีการวิเคราะห์นามแฝงโดยละเอียด บางคนมุ่งเน้นที่ C ซึ่งไม่เหมาะสมเนื่องจากความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้นของตัวชี้ทั่วไป ข้อความที่ดีที่สุดที่ฉันได้ค้นพบคือCompositional Pointer and Escape Analysis สำหรับโปรแกรม Javaโดย Whaley and Rinard มันเป็นกระดาษที่ยอดเยี่ยมและเป็นจุดเริ่มต้นที่ดี แต่มันไม่ได้กล่าวถึงการวิเคราะห์นามแฝงโดยเฉพาะ ปัญหาดูเหมือนทั่วไปดังนั้นฉันคาดหวังว่าจะมีอัลกอริทึมที่ยอมรับได้เพื่อแก้ปัญหา ไม่มีใครมีตัวชี้ไปยังข้อความในเรื่องนี้หรือไม่?

10 reference-request  pl.programming-languages  compilers  program-analysis 

ฉันกำลังมองหาการอ้างอิงเกี่ยวกับความซับซ้อนของปัญหาการปรับสมดุลสูตรบูลีน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, เป็นที่ทราบกันว่าสูตรบูลีนสามารถปรับสมดุลในหรือไม่?AC0AC0\mathsf{AC^0} มีหลักฐานที่เรียบง่ายของสูตรบูลีสมดุลอยู่ใน ?AC0AC0\mathsf{AC^0} โดย "ง่าย" ผมหมายถึงหลักฐานง่ายกว่าคนที่ผมกล่าวถึงข้างล่างนี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันกำลังมองหาหลักฐานที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการประเมินผลการบูลีนสูตรเป็นอยู่ใน1}NC1NC1\mathsf{NC^1} พื้นหลัง ที่นี่ทุกชั้นเรียนที่ซับซ้อนกล่าวถึงเป็นคนที่เหมือนกัน BFB (บูลีนสูตรสมดุล): กำหนดสูตรบูลีน , ค้นหาเทียบเท่าสูตรบูลีนที่สมดุลφφ\varphi ฉันสนใจความซับซ้อนของปัญหานี้โดยเฉพาะการพิสูจน์อย่างง่าย ๆ ที่แสดงปัญหาอยู่ใน (หรือแม้แต่หรือ ) ร่วมกันสร้างความสมดุลระหว่างการขัดแย้งเช่นผู้ที่อยู่บนพื้นฐานของแทรก Spira ฯ กำหนดซ้ำปรับเปลี่ยนโครงสร้างต้นไม้สูตรซึ่งดูเหมือนจะเพียง แต่ให้2}AC0AC0\mathsf{AC^0}TC0TC0\mathsf{TC^0}NC1NC1\mathsf{NC^1}BFB∈NC2BFB∈NC2BFB \in \mathsf{NC^2} ฉันมีหลักฐานสำหรับแต่หลักฐานไม่ง่ายและขึ้นอยู่กับหลักฐานของ1}BFB∈AC0BFB∈AC0BFB \in \mathsf{AC^0}BFE∈NC1BFE∈NC1BFE \in \mathsf{NC^1} BFE (การประเมินผลสูตรบูลีน) ได้รับการบูลีนสูตรและการกำหนดความจริงของตัวแปรใน , ไม่ Satisfy ( )?φφ\varphiττ\tauφφ\varphiττ\tauφφ\varphiτ⊨φτ⊨φ\tau \vDash \varphi มันเป็นที่รู้จักจากผลที่มีชื่อเสียงโด่งดังแซมบัสที่บูลีนสูตรการประเมินผล ( ) สามารถคำนวณได้ใน (ดู[Buss87]และ[BCGR92] )BFEBFEBFENC1=ALogTimeNC1=ALogTime\mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime} …

10 cc.complexity-theory  ds.algorithms  reference-request  lo.logic  boolean-formulas 

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันได้อ่านเอกสาร CoLT จำนวนมากแล้ว แม้ว่าฉันจะไม่ต่อสู้กับเอกสารส่วนตัว (อย่างน้อยก็ไม่เกินกว่าที่ฉันมักจะต่อสู้กับเอกสารทฤษฎีอื่น ๆ ) แต่ฉันไม่รู้สึกว่าฉันมีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับสาขาโดยรวม มีข้อความมาตรฐานแบบสำรวจหรือบันทึกการบรรยายเพื่อแนะนำ CoLT ในระดับบัณฑิตศึกษาหรือไม่? ฉันมีพื้นฐานทฤษฎีพื้นหลัง แต่ไม่มีความรู้เฉพาะด้านของการเรียนรู้ของเครื่องหรือสถิติ ฉันส่วนใหญ่สนใจในสิ่งต่าง ๆ เช่นการเรียนรู้ PAC และการเรียนรู้ออโตมาตาและไม่สนใจสิ่งต่าง ๆ เช่นการอนุมานแบบเบย์และทฤษฎี VC คำถามที่เกี่ยวข้อง ทรัพยากร / หนังสือสำหรับความก้าวหน้าล่าสุดในทฤษฎีการเรียนรู้ทางสถิติ

10 reference-request  machine-learning  lg.learning  survey  books 

การแทนค่าที่ง่ายที่สุดสำหรับกราฟใช้เมทริกซ์คำคุณศัพท์ / รายการซึ่งหมายความว่าแต่ละโหนดและขอบแสดงอย่างชัดเจน ความสำคัญของการเป็นตัวแทนโดยนัยสำหรับกราฟที่แสดงระเบียบที่แข็งแกร่งได้รับการยอมรับมานานแล้ว ตัวอย่างเช่น Galperin & Wigderson (1983), Papadimitriou & Yannakakis ( หมายเหตุเกี่ยวกับการเป็นตัวแทนของกราฟสั้น ๆ , 1986) สำรวจคำถามของกราฟที่มีเมทริกซ์ adjacency แทนด้วยสูตรบูลีนที่ตอบว่าใช่หรือไม่ (i, j) กำหนดแทนไบนารีของหมายเลขโหนด i และ j ภายใต้ข้อ จำกัด ที่น่าพึงพอใจบางประการเกี่ยวกับการลดปัญหา P-complete สำหรับกราฟที่ชัดเจนกลายเป็น PSPACE-complete สำหรับการแสดงนี้ปัญหา NP-complete กลายเป็น NEXPTIME-complete ฯลฯ วิธีธรรมชาติของกราฟปกติดังกล่าวคือการแสดงสูตรบูลีนโดยใช้ ROBDD; ความยากคือคลาสสิกอัลกอริธึมมีแนวโน้มที่จะแจกแจงโหนดทีละคนซึ่งต้องเสียค่าใช้จ่ายชี้แจงแทนเช่นนี้และจะต้องหลีกเลี่ยง มีการตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับปัญหาคลาสสิกที่ได้รับการแก้ไขโดยใช้การแสดงเช่น Gentilini และคณะ (การคำนวณส่วนประกอบที่เชื่อมต่ออย่างยิ่งในจำนวนเชิงเส้นของสัญลักษณ์เชิงเส้น ), Woelfel ( การจัดเรียงทอพอโลยีเชิงสัญลักษณ์ด้วย OBDDs ) …

10 ds.algorithms  reference-request  graph-theory  survey  binary-decision-diagrams 

Let 3 ฉันต้องการสร้างกราฟอย่างง่ายGของ girth gเช่นว่าชุดของg-ุทุกๆรูปแบบเป็นขอบสองชั้นของG (นั่นคือทุก ๆ ขอบจะถูกแบ่งปันโดยสองg -erc) และเพื่อให้จุดตัดของสองg -107 เป็นจุดยอดขอบหรือว่างเปล่า กราฟที่สร้างขึ้นควรมีขนาดใหญ่โดยพลการก.≥ 3g≥3g\geq 3GGGก.ggก.ggGGGก.ggก.gg วิธีการของรุ่นควรมีแบบแผนบางอย่าง แต่ไม่ในความหมายเล็กน้อย ฉันต้องการได้กราฟที่ซับซ้อนพอสมควร ตัวอย่างเช่นลองนึกภาพกริดสี่เหลี่ยมในระนาบ ถ้าเราระบุด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยม bounding เราได้กราฟที่ตอบสนองทุกความต้องการดังกล่าวข้างต้นสำหรับกรัม= 4 ฉันจะทำให้กราฟนี้เป็นเรื่องง่ายn × mn×mn\times mก.= 4g=4g=4 มีวิธีการดังกล่าวหรือไม่? การอ้างอิงถึงปัญหาที่คล้ายคลึงกันใด ๆ ก็ชื่นชมเช่นกัน

10 ds.algorithms  reference-request  graph-theory  co.combinatorics  pseudorandom-generators 

ไม่กี่ปีก่อนฉันวิ่งข้ามกฎซ้ายต่อไปนี้เพื่อความเท่าเทียมกันในแคลคูลัสตามลำดับ: s ≐ t ⇝θθ ( Γ ) ⊢ θ ( C)Γ, s ≐ เสื้อ⊢ Cs≐t⇝θθ(Γ)⊢θ(C)Γ,s≐t⊢C \frac{s \doteq t \leadsto \theta \qquad \theta(\Gamma) \vdash \theta(C)} {\Gamma, s \doteq t \vdash C} นี่คำนวณ unifier ทั่วไปมากที่สุดสำหรับและแล้วใช้ substition เพื่อสรุปและสมมติฐานทั้งหมดในบริบท\θ s T C Γs ≐ เสื้อ⇝ θs≐t⇝θs \doteq t \leadsto \thetaθθ\thetasssเสื้อttคCCΓΓ\Gamma สิ่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับการรวมนี้คือมันเท่ากับพบการทดแทนสำหรับตัวแปรสากล (เช่น skolem) …

10 reference-request  lo.logic  pl.programming-languages  proof-theory  sequent-calculus 

JBV แนะนำให้ฉันเปลี่ยนความคิดเห็นให้เป็นคำถาม คำถามอื่น [1] ถามเกี่ยวกับแอปพลิเคชันของการคำนวณ QM คำตอบเดียว [2] คือ "การจำลองกลศาสตร์ควอนตัมอย่างมีประสิทธิภาพ" เห็นได้ชัดว่าความคิดนี้มีมาตั้งแต่สมัยที่เขียนเรื่องของไฟน์แมน แม้ว่าฉันจะไม่มีการอ้างอิง ดังนั้น: คำถาม. อะไรคือข้อพิสูจน์ว่าคอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถจำลองระบบกลไกควอนตัมโดยพลการได้อย่างมีประสิทธิภาพ? ในระดับหนึ่งดูเหมือนว่าพื้นฐาน อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ดูเหมือนจะไม่สำคัญกับเหตุผลดังต่อไปนี้: วรรณคดีการคำนวณควอนตัมส่วนใหญ่ดูเหมือนว่าจะลดการดำเนินการบนประตูที่ทำหน้าที่ในสองอนุภาคหรือระบบย่อยขนาดเล็กอื่น ๆ (ใช่ประตู Toffoli ทำหน้าที่ 3 อินพุต แต่อย่างไรก็ตามมักจะถูกลดเหลือสองประตู CNOT) แน่นอนว่าไม่มีคำถามเนื่องจากความสมบูรณ์ของทัวริงคอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถจำลองฟิสิกส์ควอนตัมแบบดั้งเดิมหรือแบบควอนตัมตามอำเภอใจ (แม้ว่าอาจจะมีผู้ปฏิบัติงานบางคนเนื่องจากความไม่แน่นอนหลักเป็นต้น - ฉันอยากรู้เรื่องนี้ด้วย) แต่สำหรับผมแล้วการจำลองฟิสิกส์ควอนตัมของ Arbitary อย่างมีประสิทธิภาพอย่างน้อยก็ต้องการวิธีในการจำลองการปฏิสัมพันธ์n-wayโดยพลการในส่วนใหญ่ / เกือบ2ประตู เราอาจโต้แย้งได้ว่าเราสามารถสร้างประตูn-wayโดยใช้หลักฐานได้ แต่หลักฐานที่ชัดเจนหลังจากการวิจัยทดลองมาหลายปีก็คือแม้แต่ประตูสองทางที่ยากต่อการสร้างและประตูn-wayจะยากกว่ามาก (มีการทดลองควอนตัมแบบ 3 ทางบางอย่างเช่นความไม่เท่าเทียมกันของระฆังอนุภาค 3 อัน แต่มันยากที่จะสร้าง) [1] การใช้งาน จริงของการคำนวณควอนตัม (ยกเว้นเพื่อความปลอดภัย) [2] https://cstheory.stackexchange.com/a/10241/248

10 reference-request  quantum-computing  application-of-theory 

ปล่อยเป็นชุดของฐานที่ไม่ฝักใฝ่ฝ่ายใดฝ่ายหนึ่ง (MUB) ใน , นั่นคือแต่ละคนเป็นพื้นฐาน orthonormal และสำหรับเรามี{n}} เรามีความสนใจในการแบ่งแยกระหว่างเวกเตอร์โดยพลการจาก{B} การวัด POVM ที่เหมาะสมที่สุด (กรณีที่เลวร้ายที่สุดหรือโดยเฉลี่ยก่อนหน้านี้เหมือนกัน) ระบุไว้อย่างชัดเจนที่ใดก็ได้ในวรรณคดี (เช่นใช้เกณฑ์ Holevo) อย่างน้อยก็สำหรับการสร้าง MUB เฉพาะบางอย่าง?C n B ฉัน v ∈ B i , w ∈ B j , i ≠ j | ⟨ v | w ⟩ | = 1B={B1,…,Bk}B={B1,…,Bk}\mathcal{B} = \{B_1, \dots, B_k\}CnCn\mathbb{C}^nBiBiB_iv∈Bi,w∈Bj,i≠jv∈Bi,w∈Bj,i≠jv \in B_i, w …

10 reference-request  quantum-information 

ในบทความปัญหาสองประการของทฤษฎีสารสนเทศ ErdõsและRényiให้ขอบเขตที่ต่ำกว่าในการชั่งน้ำหนักขั้นต่ำที่เราต้องทำเพื่อกำหนดจำนวนเหรียญปลอมในชุดของเหรียญเหรียญnnn เป็นทางการมากขึ้น: เหรียญปลอมมีน้ำหนักน้อยกว่าเหรียญที่ถูกต้อง จะรู้ว่าน้ำหนักและทั้งเหรียญถูกและเหรียญปลอม เครื่องชั่งจะได้รับโดยวิธีการใด ๆ ที่จำนวนเหรียญสามารถชั่งน้ำหนักด้วยกัน ดังนั้นหากเราเลือกส่วนย่อยของเหรียญและนำมารวมกันบนเครื่องชั่งเครื่องชั่งก็จะแสดงน้ำหนักรวมของเหรียญเหล่านี้ซึ่งทำให้ง่ายต่อการคำนวณจำนวนเหรียญปลอมในหมู่ผู้ชั่งน้ำหนัก คำถามคือจำนวนน้อยที่สุดคืออะไรของการชั่งน้ำหนักโดยวิธีการแยกเหรียญที่ถูกและผิดออก?aaab &lt; aข&lt;ab < a≤ n≤n\leq nA ( n )A(n)A(n) ขอบเขตล่างที่ไม่สำคัญที่พวกเขาให้ไว้ในตอนแรกคือ: n / บันทึก2( n + 1 )n/เข้าสู่ระบบ2⁡(n+1)n / \log_2 (n + 1)1) นี่ไม่ใช่เรื่องยากที่จะดูว่าทำไมผ่านข้อโต้แย้งข้อมูล - ทฤษฎีหรือ combinatorial ปัญหาคือวิธีการสร้างชุดดังกล่าวเพื่อทำการชั่งน้ำหนักเหล่านี้? มีอัลกอริทึมที่ใช้การพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์เพื่อให้บรรลุขอบเขตที่ต่ำกว่านี้โดยไม่ต้องอาศัยการสุ่ม มีอัลกอริทึมแบบสุ่มที่บรรลุขอบเขตเหล่านี้หรือไม่?

10 ds.algorithms  reference-request  co.combinatorics  it.information-theory  randomized-algorithms 

อะไรคือขอบเขตที่ดีที่สุดในปัจจุบันสำหรับการดำเนินการค้นหาช่วงครึ่งสเปซบนชุดของจุด -dimensional ที่แสดงในรูปแบบของการแลกเปลี่ยนเวลา / พื้นที่ ตาม Matousek น้ำเชื้อ 1993 กระดาษ (ทฤษฎีบท 6.2 ขอบเขตการค้นหาที่มีประสิทธิภาพตามลำดับชั้นการปักชำ) เราสามารถทำนับช่วงสำหรับการค้นหาที่มีจุดตัดของพี halfspaces สำหรับ1 ≤ P ≤ d + 1โดยใช้โครงสร้างข้อมูลขนาดO ( m )สำหรับn ≤ m ≤ n dในO ( ndddพีpp1 ≤ p ≤ d+ 11≤p≤d+11 \le p \le d+1O ( m )O(m)O(m)n ≤ m ≤ ndn≤m≤ndn \le m …

10 reference-request  ds.data-structures  cg.comp-geom 

ให้เป็นกราฟที่มีขอบถ่วงน้ำหนัก (บวก) ฉันต้องการที่จะกำหนดแผนภาพ Voronoi สำหรับชุดของโหนด / เว็บไซต์Sเพื่อเชื่อมโยงกับโหนดวี∈ S subgraph R ( วี)ของGที่เกิดจากโหนดทั้งหมดอย่างเคร่งครัดใกล้ชิดกับวีกว่าไปยังโหนดอื่น ๆ ในS , วัด ความยาวของเส้นทางด้วยผลรวมของน้ำหนักบนส่วนโค้ง R ( วี)คือวี 's ภูมิภาค Voronoi ตัวอย่างเช่นโหนดสีเขียวด้านล่างอยู่ในR ( v 1 )GGGSSSv ∈ Sv∈Sv \in SR ( v )R(v)R(v)GGGโวลต์vvSSSR ( v )R(v)R(v)โวลต์vvR ( v1)R(v1)R(v_1)และต่อมน้ำเหลืองที่อยู่ใน ) ฉันต้องการที่จะเข้าใจโครงสร้างของแผนภาพ Voronoi เมื่อเริ่มต้นไดอะแกรมของสองไซต์v 1และv 2มีลักษณะอย่างไรเช่นbisectorแบบ 2 ไซต์มีลักษณะอย่างไร (สีน้ำเงินในตัวอย่างด้านบน) ผมคิดว่าของเส้นแบ่งครึ่งB …

10 reference-request  graph-theory  cg.comp-geom 

ในการค้นหาเอกสารวิจัยเกี่ยวกับระบบการพิมพ์สำหรับภาษาที่จำเป็นฉันจะหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับภาษาที่มีการอ้างอิงที่ไม่แน่นอน แต่ไม่มีโครงสร้างการควบคุมที่จำเป็นอย่างแท้จริงเช่นตัวดำเนินการผสมลูปหรือเงื่อนไข ดังนั้นจึงไม่มีความชัดเจนว่าภาษาที่จำเป็นกับการอนุมานบางส่วนเช่นhttp://rust-lang.orgสามารถนำไปใช้ได้อย่างไร เอกสารไม่ได้กล่าวถึงประเภท parametrized เช่นList of aเนื่องจากประเภท parametrized เป็นส่วนขยายเล็กน้อยของระบบประเภท Hindley-Milner - อัลกอริทึมการรวมควรจะขยายและการอนุมานที่เหลือทำงานตามที่เป็นอยู่ อย่างไรก็ตามไม่สามารถเพิ่มงานที่มอบหมายได้เนื่องจากความขัดแย้งเกิดขึ้นดังนั้นต้องใช้เทคนิคพิเศษเช่นข้อ จำกัด ค่า ML คุณสามารถแนะนำเอกสารหรือหนังสือที่อธิบายถึงระบบการพิมพ์สำหรับภาษาที่มีลูปคำสั่งเงื่อนไขเงื่อนไข IO และคำสั่งผสมได้หรือไม่?

10 reference-request  pl.programming-languages  type-theory  type-inference  imperative-programming 

อัลกอริทึม Deutsch เป็นที่รู้จักกันดีควอนตัมคอมพิวเตอร์f(0)+f(1)mod2f(0)+f(1)mod2f(0) + f(1)\mod{2} มีเพียงหนึ่งหนึ่งในการประเมินผลของฉfffหากเราแทนที่+++ด้วย⋅⋅\cdotปัญหาดูเหมือนจะค่อนข้างแตกต่างกัน คำถามของฉันคือ: มีอัลกอริทึมควอนตัมที่คำนวณค่าf(0)⋅f(1)f(0)⋅f(1)f(0)\cdot f(1) (หรือและถ้าคุณต้องการ) โดยใช้การประเมินfเพียงหนึ่งครั้งfffหรือไม่ มิฉะนั้น: เป็นที่รู้จักกันว่าอัลกอริทึมดังกล่าวไม่อยู่? อัปเดต:ตอนนี้ฉันได้ตระหนักถึงขั้นตอนที่ให้คำตอบที่ถูกต้องพร้อมความน่าจะเป็นที่มากกว่ากระบวนการแบบดั้งเดิมใด ๆ ที่สามารถทำได้ "ข้อผิดพลาด" เป็นหนึ่งด้านในแง่ที่ว่ามันก็ก่อให้คำตอบที่ถูกต้องเมื่อf(0)∧f(1)=1f(0)∧f(1)=1f(0)\wedge f(1)=1 1 สิ่งนี้ทำให้ฉันมีคำถามเพิ่มเติม: มีอัลกอริทึม quentum (อาจคล้ายกับที่กล่าวถึงด้านล่าง) กับคุณสมบัติที่ผลลัพธ์เป็น111ต่อเมื่อf(0)∧f(1)=1f(0)∧f(1)=1f(0)\wedge f(1)=1หรือไม่ แน่นอน "กรณีสถานการณ์ที่ดีที่สุด" จะเป็นขั้นตอนวิธีการที่จะช่วยให้คำตอบที่ถูกต้องกับความน่าจะเป็น1111

10 reference-request  quantum-computing 

มีอัลกอริธึมเวลาพหุนามในการค้นหา - ถ้ามี - แมงมุมที่ครอบคลุมของกราฟที่กำหนด ? แมงมุมเป็นต้นไม้ที่มีอย่างน้อยที่สุดหนึ่งโหนดที่มีระดับมากกว่า 2: ฉันรู้ว่าเงื่อนไขระดับต่างๆของG (โดยปกติคือขนาดของโหนดที่ใหญ่พอสมควร) รับประกันการมีอยู่ของแมงมุมที่ครอบคลุม แต่ฉันสงสัยว่ามีอัลกอริทึมสำหรับGโดยพลการหรือไม่ ขอบคุณ!GGG GGGGGG

10 ds.algorithms  reference-request  graph-theory  graph-algorithms