การประยุกต์ทฤษฎีการเป็นตัวแทนของกลุ่มสมมาตร
ได้รับแรงบันดาลใจจากคำถามนี้และโดยเฉพาะอย่างยิ่งย่อหน้าสุดท้ายของคำตอบของ Or ฉันมีคำถามต่อไปนี้: คุณรู้เกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีการเป็นตัวแทนของกลุ่มสมมาตรใน TCS หรือไม่? กลุ่มสมมาตรSnSnS_nคือกลุ่มของพีชคณิตทั้งหมดของ{ 1 , … , n }{1,…,n}\{1, \ldots, n\}มีองค์ประกอบการทำงานเป็นกลุ่ม เป็นตัวแทนของSnSnS_nเป็น homomorphism จากSnSnS_nเพื่อให้ตรงกลุ่มทั่วไปของ invertible n × nn×nn \times nเมทริกซ์ที่ซับซ้อน การเป็นตัวแทนกระทำบนCnCn\mathbb{C}^nโดยการคูณเมทริกซ์ การเป็นตัวแทนลดลงของSnSnS_nคือการกระทำที่ทำให้ไม่มีช่องว่างที่เหมาะสมของCnCn\mathbb{C}^nไม่แปรเปลี่ยน การเป็นตัวแทนที่ไม่ลดทอนของกลุ่ม จำกัด อนุญาตให้กลุ่มหนึ่งนิยามฟูเรียร์มากกว่ากลุ่มที่ไม่ใช่ศาสนาคริสต์ ฟูริเยร์นี้แปลงคุณสมบัติที่ดีบางส่วนของฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องที่แปลงเป็นกลุ่มวงจร / abelian ยกตัวอย่างเช่นการบิดกลายเป็นการคูณแบบพอยต์ในพื้นฐานฟูริเยร์ ทฤษฎีการแสดงของกลุ่มสมมาตรคือรวมกันอย่างสวยงาม แต่ละแทนที่ลดลงของSnSnS_nสอดคล้องกับพาร์ทิชันจำนวนเต็มของnโครงสร้างนี้และ / หรือการแปลงฟูริเยร์เหนือกลุ่มสมมาตรพบการใช้งานใด ๆ ใน TCS หรือไม่?nnn