วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี

ให้เป็นงานอัลกอริทึม (อาจเป็นปัญหาการตัดสินใจหรือปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพหรืองานอื่น ๆ ) ให้เราเรียกX "ทางด้านพหุนาม" ถ้าสมมติว่าXเป็น NP-hard เป็นที่รู้กันว่าบ่งบอกว่าพหุนาม hieararchy พังทลายลงมา ให้เราเรียกX "บน NP-side" ถ้าสมมติว่าXยอมรับว่าอัลกอริธึมแบบพหุนามเป็นที่รู้กันว่าบ่งบอกว่าลำดับชั้นพหุนามลดลงXXXXXXXXXXXXXXX แน่นอนว่าทุกปัญหาใน P อยู่ที่ด้านพหุนามและทุกปัญหาที่ NP-hard อยู่ใน NP-side ยกตัวอย่างเช่นแฟคตอริ่ง (หรืออะไรก็ตามใน NP intersection coNP) อยู่ทางด้านพหุนาม กราฟมอร์ฟิซึมอยู่ที่ด้านพหุนาม QUANTUM-SAMPLING อยู่ใน NP-side 1) ฉันสนใจตัวอย่างมากขึ้น (โดยธรรมชาติที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้) ของงาน Algoritmic ในด้านพหุนามและ (โดยเฉพาะ) ในตัวอย่างเพิ่มเติมในด้าน NP 2) ไร้เดียงสาดูเหมือนว่าด้าน NP เป็นปัญหาของ "เพื่อนบ้าน" ของปัญหา NP-hard และ P-side เป็น …

40 cc.complexity-theory 

ฉันต้องการที่จะเข้าใจApplicativeในแง่ของทฤษฎีหมวดหมู่ เอกสารสำหรับการApplicativeบอกว่ามันเป็นเรื่องที่มีความแข็งแกร่ง functor ครั้งแรกที่วิกิพีเดียหน้าเกี่ยวกับfunctors monoidalบอกว่า functor monoidal เป็นทั้งหละหลวมหรือที่แข็งแกร่ง ดังนั้นสำหรับฉันดูเหมือนว่าแหล่งใดแหล่งหนึ่งผิดหรือใช้เงื่อนไขต่างกัน มีใครอธิบายได้บ้าง ประการที่สองประเภท monoidal ซึ่งApplicativeเป็น function monoidal คืออะไร? ฉันสมมติว่า functors เป็น endo-functors ในหมวดหมู่ Haskell มาตรฐาน (object = types, morphisms = ฟังก์ชั่น) แต่ฉันไม่รู้ว่าโครงสร้าง monoidal ของหมวดนี้คืออะไร ขอบคุณที่ช่วยเหลือ.

40 lo.logic  type-theory  functional-programming  ct.category-theory 

ฉันกำลังจะไปดูรายละเอียดหลักสูตรที่CIS 500: ฐานรากซอฟต์แวร์และแบบฝึกหัดสนุกมาก ฉันเป็นแค่ชุดออกกำลังกายชุดที่สาม แต่ฉันต้องการทราบเพิ่มเติมเกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อฉันใช้กลยุทธ์เพื่อพิสูจน์สิ่งต่าง ๆ เช่นforall (n m : nat), n + n = m + m -> n = m.

40 lo.logic  type-theory  proof-assistants  proof-theory  coq 

การปฏิเสธความรับผิด: นี่เป็นคำถามปลายเปิดและคนเจ้าระเบียบกองแลกเปลี่ยนอาจจะรู้สึกกระตุ้นพิเศษที่จะลงคะแนนให้การให้อภัย อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถนึกถึงฟอรัมอื่นที่เหมาะสมกว่าและสัญญาว่าจะตอบคำถามนี้ได้ ขณะที่การทำงานในการแก้ปัญหาการวิจัยสำหรับโครงการแน่นอนผมรู้ว่าถ้าผมรูปแบบปัญหาของฉันในทางหนึ่งฉันจะใช้เทคนิคจากผู้เชี่ยวชาญติดตาม [สำหรับกรณีที่ผ่านมา - ปาสคาลตระหนักถึงข้อความท้าทาย entailment ] หลังจากเริ่มต้นความปิติยินดีฉันมักจะงงกับเอกสารจำนวนมากที่มีทั้งหมดของพวกเขาตะโกนเงียบ ๆ "อ่านฉันอื่นคุณจะพลาดวิธีที่ดีที่สุดในการแก้ปัญหา!" เราเรียนรู้วิธีกรองกระดาษใบไหนที่จะอ่านและใบไหนที่จะทิ้งในหน้าสุดท้าย มีอะไรอื่นนอกจาก sort_by_citation นับ?

40 soft-question  advice-request 

สามารถทำงานได้ทุกนั่นคือคำนวณในเวลาทีที่เดียวเทปเครื่องทัวริงโดยใช้ตัวอักษรขนาดk = O ( 1 )คำนวณได้ในเวลาO ( T )บน เดียวเทปเครื่องทัวริงโดยใช้ตัวอักษรขนาด3 (พูด, 0 , 1 ,และที่ว่างเปล่า)?ฉ: { 0 , 1 }* * * *→ { 0 , 1 }f:{0,1}∗→{0,1}f : \{0,1\}^* \to \{0,1\}เสื้อttk = O ( 1 )k=O(1)k = O(1)O ( t )O(t)O(t)3330 , 1 ,0,1,0,1, (จากความคิดเห็นด้านล่างโดย OP) โปรดทราบว่าอินพุตถูกเขียนโดยใช้แต่เครื่องทัวริงที่ใช้ตัวอักษรขนาดkสามารถเขียนทับสัญลักษณ์อินพุตด้วยสัญลักษณ์จากตัวอักษรขนาดใหญ่ ฉันไม่เห็นวิธีการเข้ารหัสสัญลักษณ์ในอักษรขนาดใหญ่ในตัวอักษรที่มีขนาดเล็กได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนรอบการป้อนข้อมูลซึ่งจะเสียค่าใช้จ่ายเวลาn 20 …

40 computability  turing-machines 

นี่เป็นคำถามเกี่ยวกับความซับซ้อนของวงจร (คำจำกัดความอยู่ที่ด้านล่าง) Yao และ Beigel-Tarui แสดงให้เห็นว่าทุกตระกูลของขนาดsมีตระกูลวงจรเทียบเท่ากับขนาดs p o l y ( log s )ของความลึกสองที่ประตูเอาท์พุทเป็นฟังก์ชันสมมาตรและระดับที่สองประกอบด้วย ของN DประตูของP o L Y ( บันทึกs )CC0ACC0ACC^0ssssp o l y( บันทึกs )spoly(log⁡s)s^{poly(\log s)}A NDANDANDp o l y( บันทึกs )poly(log⁡s)poly(\log s)แฟนใน นี่คือ "การล่มสลายเชิงลึก" ที่น่าทึ่งอย่างมากของวงจร: จากวงจรความลึก 100 คุณสามารถลดความลึกเป็น 2 ได้โดยมีการระเบิดแบบกึ่งพหุนามเท่านั้น (และหนึ่งประตูแฟนซีที่ยัง จำกัด อยู่ที่ด้านบน) คำถามของฉัน: มีวิธีใดที่เป็นที่รู้จักกันในการแสดงความครอบครัววงจรเหมือนกัน? ยิ่งกว่านั้นมีความทะเยอทะยานแล้ววงจรครอบครัวN C …

40 cc.complexity-theory  circuit-complexity  upper-bounds 

คำถามของฉันง่าย: ที่เลวร้ายที่สุดกรณีที่เวลาการทำงานของอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับการคำนวณคืออะไรeigendecompositionของn×nn×nn \times nเมทริกซ์? eigendecomposition ลดการคูณเมทริกซ์หรือเป็นอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีO(n3)O(n3)O(n^3) (ผ่านSVD ) ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด? โปรดทราบว่าฉันขอการวิเคราะห์กรณีที่เลวร้ายที่สุด (เฉพาะในแง่ของnnn ) ไม่ใช่ขอบเขตที่มีค่าคงที่ที่ขึ้นกับปัญหาเช่นหมายเลขเงื่อนไข แก้ไข : ให้บางส่วนของคำตอบดังต่อไปนี้ให้ฉันปรับคำถาม: ฉันมีความสุขกับ -approximation การประมาณนั้นอาจเป็นแบบหลายแบบเพิ่มแบบเข้าทางหรือแบบใดก็ตามที่คุณต้องการ ฉันสนใจถ้ามีอัลกอริธึมที่รู้จักซึ่งพึ่งพาnได้ดีกว่าO ( p o l y ( 1 / ϵ ) n 3 ) ?ϵϵ\epsilonnnnO(poly(1/ϵ)n3)O(poly(1/ϵ)n3)O(\mathrm{poly}(1/\epsilon)n^3) แก้ไข 2 : ดูคำถามที่เกี่ยวข้องนี้บนเมทริกซ์สมมาตร

40 ds.algorithms  time-complexity  matrices  linear-algebra  na.numerical-analysis 

พื้นหลัง การคำนวณจำนวนจริงมีความซับซ้อนมากกว่าการคำนวณจำนวนธรรมชาติเนื่องจากจำนวนจริงเป็นวัตถุที่ไม่มีที่สิ้นสุดและมีจำนวนจริงมากมายนับไม่ถ้วนดังนั้นจำนวนจริงจึงไม่สามารถแสดงอย่างเป็นจริงได้ด้วยจำนวน จำกัด บนตัวอักษรที่ จำกัด ซึ่งแตกต่างจากความสามารถในการคำนวณแบบดั้งเดิมในขอบเขต จำกัด ที่รูปแบบการคำนวณที่แตกต่างกันเช่น: แลมบ์ดาแคลคูลัส, ทัวริงจักร, ฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำ, ... กลายเป็นสิ่งที่เท่าเทียมกัน (อย่างน้อยสำหรับการคำนวณ ตัวเลขจริงซึ่งไม่เข้ากัน ตัวอย่างเช่นในโมเดลTTE (ดู [Wei00]) ซึ่งเป็นรูปแบบเครื่องทัวริงคลาสสิกที่ใกล้เคียงที่สุดตัวเลขจริงจะแสดงโดยใช้เทปอินพุทที่ไม่มีที่สิ้นสุด (เช่นออริกาของทัวริง) และไม่สามารถตัดสินใจเปรียบเทียบและ ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันระหว่างตัวเลขทั้งสองให้เป็นจำนวนจริง (ในเวลา จำกัด ) ในทางกลับกันในรุ่น BBS / real-RAM ซึ่งคล้ายกับรุ่นของเครื่อง RAMเรามีตัวแปรที่สามารถเก็บจำนวนจริงโดยพลการและการเปรียบเทียบและความเท่าเทียมกันเป็นหนึ่งในการดำเนินงานปรมาณูของรูปแบบ ด้วยเหตุผลนี้และเหตุผลที่คล้ายคลึงกันผู้เชี่ยวชาญหลายคนบอกว่าแบบจำลอง BSS / real-RAM ไม่เหมือนจริง (ไม่สามารถนำไปใช้ได้อย่างน้อยก็ไม่ได้อยู่ในคอมพิวเตอร์ดิจิทัลปัจจุบัน) และพวกเขาชอบ TTE หรือโมเดลอื่น ๆ ที่เทียบเท่ากับ TTE โมเดล Ko-Friedman ฯลฯ ถ้าฉันเข้าใจถูกต้องโมเดลการคำนวณเริ่มต้นที่ใช้ในComputational GeometryคือโมเดลBSS (aka real-RAM …

40 cc.complexity-theory  cg.comp-geom  computing-over-reals  computable-analysis 

ในปี 1980 Razborov มีชื่อเสียงแสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชั่นบูลีนเสียงเดียวที่ชัดเจน (เช่นฟังก์ชั่น CLIQUE) ที่ต้องการประตู AND และ OR จำนวนมากเพื่อการคำนวณ อย่างไรก็ตามพื้นฐาน {AND, OR} เหนือโดเมนบูลีน {0,1} เป็นเพียงตัวอย่างหนึ่งของชุดเกทที่น่าสนใจซึ่งขาดความเป็นสากล สิ่งนี้นำไปสู่คำถามของฉัน: มีชุดประตูอื่น ๆ ที่น่าสนใจแตกต่างไปจากประตูโมโนโทนซึ่งเป็นที่รู้จักกันในขอบเขตล่างที่อธิบายขนาดของวงจร (ไม่มีความลึกหรือข้อ จำกัด อื่น ๆ ในวงจร)? ถ้าไม่มีมีชุดประตูอื่น ๆ ที่มีความน่าเชื่อถือสำหรับขอบเขตที่ต่ำกว่านั้น --- ขอบเขตที่ไม่จำเป็นต้องทำลายกำแพง Natural Proofs ในขณะที่ผลการทดสอบเสียงโมโนโทนวงจรเดียวของ Razborov ไม่? หากชุดประตูมีอยู่แน่นอนว่ามันจะเป็นตัวอักษร k-ary สำหรับk≥3 เหตุผลก็คือเพราะตัวอักษรเลขฐานสองนั้น (1) ประตูเสียงเดียว ({AND, OR}) (2) ประตูเชิงเส้น ({NOT, XOR}) และ (3) …

40 lower-bounds  circuit-complexity  circuit-families 

ในบทความคลาสสิกปี 1979 ของ Andrew Chi-Chih Yao เขาอ้างถึง "MO Rabin และ AC Yao ในการเตรียมการ" นี่คือผลที่ซับซ้อนการสื่อสารทางทิศข้อผิดพลาดการทำงานของความเสมอภาค EQ (ไม่ว่าจะจำนวนเต็มในช่วงเพื่อมีค่าเท่ากัน) จะN)NN_N000N−1N−1N-1O(loglogN)O(log⁡log⁡N)O(\log\log N) แอนดรูว์ Chi-Chih Yao คำถามซับซ้อนที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณแบบกระจาย (รายงานเบื้องต้น) , STOC 1979, pp. 209-213. ดอย: 10.1145 / 800135.804414 การสำรวจเบื้องต้นของ Alexander Razborov เกี่ยวกับความซับซ้อนของการสื่อสารได้พิสูจน์ผลลัพธ์นี้และระบุว่า "การก่อสร้างที่สวยงามดังต่อไปนี้มักเป็นของราบินและเย้า" ความคิดคือการพิจารณาบิตสตริงเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามกำหนดไว้; อลิซก็เลือกสุ่มจำนวนเต็มจาก 0 ถึงสำหรับนายก , โดยที่ , และส่ง(q, P (q) \ mod p)ถึงบ๊อบP(x)P(x)P(x)qqqp−1p−1p-1p∈[3n,6n]p∈[3n,6n]p …

40 ho.history-overview  communication-complexity 

นี่คือคำถามที่เกี่ยวข้องกับคนนี้ นำมาใส่ใหม่ในรูปแบบที่ง่ายกว่ามากหลังจากการพูดคุยกันที่นั่นทำให้รู้สึกเหมือนเป็นคำถามที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง หลักฐานดั้งเดิมของความลังเลของปัญหาการหยุดชะงักนั้นขึ้นอยู่กับการแสดงความขัดแย้งเมื่อพยายามใช้ HALT decider สมมุติกับตัวเอง ฉันคิดว่านี่เป็นเพียงการแสดงถึงความเป็นไปไม่ได้ที่จะมีผู้ตัดสิน HALT ที่ตัดสินใจว่าจะหยุดเองหรือไม่ แต่ไม่ได้ให้ข้อมูลใด ๆ นอกเหนือไปจากที่เกี่ยวกับความสามารถในการตัดสินใจยุติคดีอื่น ๆ ดังนั้นคำถามคือ มีหลักฐานว่าปัญหาการหยุดชะงักไม่สามารถตัดสินใจได้ซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับการแสดงว่า HALT ไม่สามารถตัดสินใจได้และไม่ได้ขึ้นอยู่กับการโต้แย้งในแนวทแยง แก้ไขเล็ก ๆ : ฉันจะยืนยันประโยคเดิมของคำถามซึ่งกำลังขอหลักฐานที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการทำให้เป็นเส้นทแยงมุมเลย (แทนที่จะเป็นแค่การกำหนดให้ไม่ต้องขึ้นอยู่กับเส้นทแยงมุมที่ขึ้นอยู่กับ HALT)

40 computability  lo.logic  proofs 

เป็นที่เชื่อกันโดยทั่วไปว่าทุกϵ > 0ϵ>0\epsilon > 0มันเป็นไปได้ที่จะคูณสองn × nn×nn \times nเมทริกซ์ในO ( n2 + ϵ)O(n2+ϵ)O(n^{2 + \epsilon})เวลา การอภิปรายเป็นที่นี่ ฉันได้ถามบางคนที่คุ้นเคยกับการวิจัยมากขึ้นว่าพวกเขาคิดว่ามีk > 0k>0k>0เป็นอิสระจากnnnเช่นนั้นมีอัลกอริทึมO(n2logkn)O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)สำหรับการคูณเมทริกซ์และพวกเขาดูเหมือนจะมีสัญชาตญาณว่า คำตอบคือ "ไม่" แต่ไม่สามารถอธิบายได้ว่าทำไม นั่นคือพวกเขาเชื่อว่าเราสามารถทำได้ในเวลาO(n2.001)O(n2.001)O(n^{2.001})แต่ไม่ใช่O(n2log100n)O(n2log100⁡n)O(n^2 \log^{100} n)เวลา มีเหตุผลอะไรที่จะเชื่อว่าไม่มีO(n2logkn)O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)ขั้นตอนวิธีการที่คงที่k>0k>0k>0 ?

39 cc.complexity-theory  linear-algebra  big-picture  matrices  matrix-product 

ข้อพิสูจน์ของ Adleman ว่ามีอยู่ในP / p o l yแสดงให้เห็นว่าหากมีอัลกอริทึมแบบสุ่มสำหรับปัญหาที่ทำงานในเวลาt ( n )ในอินพุตของขนาดnจากนั้นยังมีอัลกอริทึมที่กำหนดขึ้นสำหรับปัญหา ที่รันในเวลาΘ ( t ( n ) ⋅ n )บนอินพุตของขนาดn [อัลกอริทึมรันอัลกอริทึมแบบสุ่มบนΘ ( n )B PPBPPBPPP/ polyP/polyP/polyt ( n )t(n)t(n)nnnΘ ( t ( n ) ⋅ n )Θ(t(n)⋅n)\Theta(t(n)\cdot n)nnnΘ ( n )Θ(n)\Theta(n)สตริงการสุ่มแบบอิสระ จะต้องมีการสุ่มสำหรับอัลกอริทึมซ้ำที่ดีสำหรับอินพุตเป็นไปได้ทั้งหมด] อัลกอริธึมที่กำหนดขึ้นนั้นไม่เหมือนกัน - มันอาจทำงานแตกต่างกันไปตามขนาดอินพุตที่แตกต่างกัน ดังนั้นการโต้แย้งของ Adleman แสดงให้เห็นว่า - หากไม่มีใครสนใจเรื่องความเหมือนกัน …

39 randomized-algorithms 

ให้PRIMES ( การทดสอบเบื้องต้น ) เป็นปัญหา: รับจำนวนธรรมชาติเป็นnจำนวนเฉพาะ?nnnnnn ให้แฟจะมีปัญหา: เมื่อรับตัวเลขธรรมชาติ , mกับ1 ≤ m ≤ n , nมีปัจจัยdกับ1 &lt; d &lt; mหรือไม่?nnnmmm1≤m≤n1≤m≤n1 \leq m \leq nnnnddd1&lt;d&lt;m1&lt;d&lt;m1 < d < m เป็นที่รู้จักกันดีว่า PRIMES เป็น P-hard หรือไม่? ปัจจัยเกี่ยวกับปัจจัย ขอบเขตล่างที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับปัญหาเหล่านี้คืออะไร

39 cc.complexity-theory  lower-bounds  factoring  primes  p-hardness 

มีอัลกอริธึมการเรียงลำดับการเปรียบเทียบใด ๆ ที่รู้จักซึ่งไม่ลดการจัดเรียงเครือข่ายเช่นนั้นแต่ละองค์ประกอบถูกเปรียบเทียบครั้งหรือไม่O(logn)O(log⁡n)O(\log n) เท่าที่ฉันรู้วิธีเดียวที่จะเรียงลำดับด้วยการเปรียบเทียบในแต่ละองค์ประกอบคือการสร้างเครือข่ายการเรียงลำดับ AKS สำหรับอินพุตnและเรียกใช้อินพุตบนเครือข่ายการเรียงลำดับO(logn)O(log⁡n)O(\log n)nnn AKS นั้นไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะนำไปใช้และมีปัจจัยคงที่ที่ใช้ไม่ได้ดังนั้นจึงมีแรงจูงใจในการค้นหาอัลกอริธึมอื่น ๆ อัลกอริทึมที่มีการเปรียบเทียบต่อรายการซึ่งดูเหมือนจะไม่ได้บ่งบอกถึงเครือข่ายการเรียงลำดับที่จะนำเสนอที่นี่ (iirc นี่เป็นครั้งแรกที่นำเสนอโดยRob Johnsonในการสัมมนาอัลกอริทึมของ Stony Brook)O(log2n)O(log2⁡n)O(\log^2 n)

39 ds.algorithms  sorting  sorting-network