คำถามติดแท็ก co.combinatorics

ให้เป็นกราฟ ชุดยอดจะเรียกว่าที่สำคัญถ้าและจุดสุดยอดในไม่มีอยู่ติดกับตรงจุดสุดยอดหนึ่งในXปัญหาคือการหาจุดสุดยอดชุดขนาดขั้นต่ำดังกล่าวว่าทุกที่สำคัญชุดXG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)X⊆VX⊆VX\subseteq VX≠∅X≠∅X\neq\emptysetV∖XV∖XV\setminus XXXXS⊆VS⊆VS\subseteq VS∩X≠∅S∩X≠∅S\cap X\neq\emptysetXXX ปัญหามีการตีความแพร่กระจายข่าวลือดังต่อไปนี้: Vertexกระจายข่าวลือไปยังเพื่อนบ้านของถ้าหากว่าเพื่อนบ้านอื่น ๆ ทั้งหมดของได้รับแจ้งแล้ว คำถามคือฉันต้องแจ้งจุดเริ่มต้นกี่จุดเพื่อให้แน่ใจว่าทุกคนได้รับแจ้งในตอนท้ายiiijjjiii

9 cc.complexity-theory  graph-theory  co.combinatorics  optimization 

สมมติว่าเรามีฟังก์ชั่นบูลีน f:{−1,1}n→{−1,1}f:{−1,1}n→{−1,1}f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\} และเราใช้ δδ\delta- ข้อ จำกัด แบบสุ่มใน fff. นอกจากนี้บอกว่าต้นไม้ตัดสินใจTTT ที่คำนวณ fff ย่อขนาด O(1)O(1)O(1)เนื่องจากข้อ จำกัด แบบสุ่ม สิ่งนี้แปลว่าfff มีอิทธิพลรวมต่ำมาก?

9 cc.complexity-theory  co.combinatorics  circuit-complexity  boolean-functions 

พิจารณากราฟที่มีขอบทั้งหมดที่มีความจุหน่วย หนึ่งสามารถค้นหาตัดนาทีในเวลาพหุนาม สมมติว่าฉันได้รับอนุญาตให้เพิ่มความสามารถของ edge ใด ๆให้เป็นอนันต์ (เทียบเท่ากับการรวมโหนดในแต่ละด้านของ edge) อะไรคือวิธีที่เหมาะสมที่สุดในการเลือกชุด edge ที่เหมาะสม (ซึ่งความจุจะเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์) เพื่อเพิ่มการตัดขั้นต่ำkkkkkk

9 ds.algorithms  graph-theory  co.combinatorics  max-flow-min-cut 

ฉันเป็นนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาจากอินเดีย ฉันสนใจที่จะเข้าร่วมเวิร์กช็อปการประชุมและอาจารย์ที่ได้รับเชิญจากอาจารย์ที่มีชื่อเสียง ในตอนท้ายของการสนทนาตามปกติบางคนจะถามคำถามและผู้พูดจะตอบคำถามพวกเขา แต่ปัญหาของฉันคือฉันไม่เข้าใจคำถามและคำตอบส่วนใหญ่ แม้ว่าฉันจะถามคำถามใด ๆ ก็ตามฉันก็ไม่สามารถเข้าใจคำตอบที่ได้รับจากผู้บรรยาย ใครบางคนสามารถแบ่งปันประสบการณ์และข้อเสนอแนะให้กับปัญหาของฉัน

9 co.combinatorics  soft-question 

ฉันกำลังสอนหลักสูตรเกี่ยวกับเมตา - ฮิวริสติกและต้องการสร้างตัวอย่างที่น่าสนใจของปัญหา combinatorial แบบคลาสสิกสำหรับโครงการระยะ ให้ความสำคัญกับ TSP เราแก้ปัญหากราฟที่มีขนาดตั้งแต่ขึ้นไป ฉันพยายามสร้างกราฟที่มีเมทริกซ์ราคาด้วยค่าที่นำมาจากการสุ่มและพบว่า (ตามที่คาดไว้) ฮิสโตแกรมสำหรับต้นทุนเส้นทาง (วาดโดยการสุ่มเส้นทางสุ่มจำนวนมาก) ได้ การกระจายปกติที่แคบมาก (คือแต่อยู่ที่ ) ซึ่งหมายความว่าในความคิดของฉันว่าปัญหาเป็นเรื่องง่ายมากเนื่องจากเส้นทางแบบสุ่มส่วนใหญ่จะต่ำกว่าค่าเฉลี่ยและเส้นทางต้นทุนขั้นต่ำใกล้เคียงกับเส้นทางแบบสุ่ม200200200U(0,1)U(0,1)U(0,1)μμ\mu 100 100~100σσ\sigma444 ดังนั้นฉันจึงลองวิธีต่อไปนี้: หลังจากสร้าง -matrix แล้วให้เดินสุ่มรอบกราฟและสุ่ม (เบอร์นูลลีที่มี ) สองเท่าหรือลดค่าของขอบลงครึ่งหนึ่ง นี้มีแนวโน้มที่จะลดค่าทั้งหมดในที่สุดก็ถึงศูนย์ แต่ถ้าผมใช้เวลาเพียงตัวเลขทางขวาของขั้นตอนที่ผมจะได้รับการจัดจำหน่ายกับรอบและรอบ1U(0,1)U(0,1)U(0,1)p=0.5p=0.5p=0.5μμ\mu222σσ\sigma111 คำถามของฉันคือก่อนอื่นนี่เป็นคำนิยามที่ดีสำหรับปัญหาที่น่าสนใจหรือไม่? ในอุดมคติแล้วฉันต้องการอินสแตนซ์ที่มีหลายโมดอลสูง (สำหรับฟังก์ชั่นพื้นที่ใกล้เคียงทั่วไป) และมีเส้นทางน้อยมากที่อยู่ใกล้กับค่าต่ำสุดดังนั้นโซลูชันแบบสุ่มส่วนใหญ่จะอยู่ไกลจากจุดที่เหมาะสมที่สุด คำถามที่สองคือจากคำอธิบายนี้ฉันจะสร้างอินสแตนซ์ที่มีคุณสมบัติดังกล่าวได้อย่างไร

9 ds.algorithms  co.combinatorics  optimization  tsp  heuristics 

kkkคะแนนที่แตกต่างกันจะถูกสุ่มเลือกจากp×qp×qp\times qกริด (เห็นได้ชัดว่าk≤p×qk≤p×qk\leq p\times qและเป็นจำนวนคงที่ที่กำหนด) กราฟน้ำหนักที่สมบูรณ์ถูกสร้างขึ้นจากจุดkเหล่านี้kkkซึ่งน้ำหนักของขอบระหว่างจุดยอดiiiและจุดยอดjjjเท่ากับระยะทางแมนฮัตตันของสองจุดบนตารางดั้งเดิม . ฉันกำลังมองหาวิธีที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณความยาวที่คาดหวังของเส้นทาง hamiltonian ที่สั้นที่สุด (น้ำหนักรวมขั้นต่ำ) ผ่านโหนดkเหล่านี้ kkkแม่นยำยิ่งขึ้นไม่ต้องการแนวทางไร้เดียงสาต่อไปนี้: ∙∙\bulletการคำนวณความยาวพา ธ ที่แน่นอนสำหรับการรวมกันทั้งหมดของโหนด k และได้รับความยาวที่คาดหวัง ∙∙\bulletการคำนวณความยาวพา ธ โดยประมาณสำหรับการรวมกันทั้งหมดของโหนด k โดยใช้ฮิวริสติกขั้นพื้นฐานของการใช้แผนผังสแปนนิ่งขั้นต่ำซึ่งทำให้เกิดข้อผิดพลาดมากถึง 50% (ฮิวริสติกที่ดีขึ้นโดยมีข้อผิดพลาดน้อยกว่าอาจเป็นประโยชน์)

9 graph-theory  co.combinatorics  planar-graphs  hamiltonian-paths 

แก้ไข:ขณะนี้มีคำถามติดตามที่เกี่ยวข้องกับโพสต์นี้ คำนิยาม ปล่อย ccc และ kkkเป็นจำนวนเต็ม เราใช้สัญลักษณ์[i]={1,2,...,i}[i]={1,2,...,i}[i] = \{1,2,...,i\}. Aเมทริกซ์กล่าวกันว่าเป็นc×cc×cc \times cM=(mi,j)M=(mi,j)M = (m_{i,j})ccc-to- colouring matrixkkkหากการเก็บรักษาต่อไปนี้: เรามีสำหรับทั้งหมด ,mi,j∈[k]mi,j∈[k]m_{i,j} \in [k]i,j∈[c]i,j∈[c]i, j \in [c] สำหรับทุกกับและเรามีell}i,j,ℓ∈[c]i,j,ℓ∈[c]i,j,\ell \in [c]i≠ji≠ji \ne jj≠ℓj≠ℓj \ne \ellmi,j≠mj,ℓmi,j≠mj,ℓm_{i,j} \ne m_{j,\ell} เราเขียนถ้ามีอยู่ค -to- kสีเมทริกซ์c⇝kc⇝kc \leadsto kccckkk โปรดทราบว่าองค์ประกอบแนวทแยงนั้นไม่เกี่ยวข้อง เราสนใจ แต่องค์ประกอบที่ไม่ใช่แนวทแยงของMMMเท่านั้น มุมมองทางเลือกต่อไปนี้อาจเป็นประโยชน์ ปล่อยR(M,ℓ)={mℓ,i:i≠ℓ}R(M,ℓ)={mℓ,i:i≠ℓ}R(M,\ell) = \{ m_{\ell,i} : i \ne \ell \}เป็นเซตขององค์ประกอบที่ไม่เป็นแนวทแยงมุมในแถวℓℓ\ellและให้C(M,ℓ)={mi,ℓ:i≠ℓ}C(M,ℓ)={mi,ℓ:i≠ℓ}C(M,\ell) …

9 co.combinatorics  lower-bounds  dc.distributed-comp 

สมมติว่าเรามีกราฟบน nnnโหนด เราต้องการมอบหมายให้แต่ละโหนด+1+1+1หรือ-1เรียกสิ่งนี้ว่าการกำหนดค่า n จำนวนที่เราต้องกำหนดคือ (ดังนั้นจำนวนของคือ .) เนื่องจากการกำหนดค่าเราจะดูที่แต่ละโหนดและรวมค่าที่กำหนดให้กับเพื่อนบ้านเรียก นี้ซิก) จากนั้นเราจะนับจำนวนโหนดที่ไม่ใช่ค่าลบ: −1−1−1σ∈{+1,−1}nσ∈{+1,−1}n\sigma \in \{+1,−1\}^n+1+1+1sss−1−1−1n−sn−sn−sσσ\sigmaiiiξi(σ)ξi(σ)\xi_i(\sigma)ξi(σ)ξi(σ)\xi_i(\sigma)N(σ):=∑i=1n1{ξi(σ)≥0}.N(σ):=∑i=1n1{ξi(σ)≥0}.N(\sigma):=\sum_{i=1}^n 1\{\xi_i(\sigma) \ge 0\}. คำถามคือ: การกำหนดค่าคืออะไร σσ\sigma ที่ช่วยเพิ่ม N(σ)N(σ)N(\sigma)? ที่สำคัญเราสามารถ จำกัด ขอบเขต(maxN)/n(maxN)/n(\max N)/nในแง่ของ n ฉันสงสัยว่าปัญหานี้ดูจะเป็นเรื่องที่ทุกคนคุ้นเคยหรือว่าจะลดลงเป็นปัญหาที่ทราบในทฤษฎีกราฟ ถ้ามันช่วยได้กราฟสามารถสันนิษฐานได้ว่าเป็นการสุ่มของErdős-Renyi type (พูด, G (n, p) ด้วยความน่าจะเป็นที่ขอบ , นั่นคือระดับเฉลี่ยเพิ่มขึ้นเป็น ) instrest หลักคือในกรณีที่2)s/ns/ns/np (logn)/np (log⁡n)/np ~ (\log n)/nlognlog⁡n\log ns/n∈(0,1/2)s/n∈(0,1/2)s/n \in (0,1/2)

9 graph-theory  co.combinatorics  optimization 

ให้เป็นกราฟที่ฝังอยู่บนพื้นผิวที่กะทัดรัดของสกุลเพื่อให้การฝังเป็นเซลลูลาร์ พิจารณาคู่ของกราฟ * ให้และจะเคลื่อนรอบในที่มี homotopic กับแต่ละอื่น ๆ และให้และเป็นชุดขอบที่สอดคล้องกันในตามลำดับ คือกราฟตัดการเชื่อมต่อ?GGGgggG∗G∗G^*C1C1C_1C2C2C_2G∗G∗G^*E1E1E_1E2E2E_2GGGG∖(E1∪E2)G∖(E1∪E2)G \setminus (E_1 \cup E_2)

9 graph-theory  co.combinatorics  topological-graph-theory 

แก้ไขเพื่อเพิ่ม : คำถามนี้ได้ตอบเป็นหลักแล้ว โปรดดูรายการบล็อกนี้สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม ขอบคุณทุกคนที่โพสต์ความคิดเห็นและคำตอบได้ที่นี่ คำถามดั้งเดิม นี่เป็นคำถามที่ฉันถามใน MathOverflow เมื่อฉันถามคำถามนั้นฉันไม่รู้ด้วยซ้ำว่าชื่อของพื้นที่คณิตศาสตร์ของปัญหาของฉันคืออะไรตอนนี้ฉันค่อนข้างแน่ใจว่ามันอยู่ใน Algorithmic Combinatorics กับ Partial Words (หนังสือเล่มล่าสุดเกี่ยวกับเรื่องที่นี่ ) ฉันต้องการทำรายการคำ lllตัวอักษร แต่ละคำมีความยาวอย่างแน่นอนkkk. ข้อตกลงคือถ้าa◊jba◊jba \lozenge ^j b อยู่ในรายการที่ไหน ◊◊\lozenge เป็นสัญลักษณ์แทน / ไม่สนใจแล้ว a◊jba◊jba \lozenge ^j bไม่สามารถปรากฏอีกครั้งในรายการ (เช่นเดียวกันถือเป็นจริงถ้าa=ba=ba=b, หรือถ้า j=0j=0j=0 และด้วยเหตุนี้คำย่อยที่ต้องห้ามคือ ababab.) ตัวอย่างที่ k=4k=4k=4 และ l=5l=5l=5: abcdabcdabcd bdcebdcebdce dcbadcbadcba <- ต้องห้ามเพราะ dcdcdc ปรากฏในบรรทัดด้านบน aeedaeedaeed <- …

9 co.combinatorics 

หนึ่งในปัญหาหลักในการแจงนับกราฟคือการกำหนด 'รูปร่าง' ของกราฟเช่นคลาส isomorphism ของกราฟใด ๆ ฉันตระหนักดีว่ากราฟทุกเส้นสามารถแสดงเป็นเมทริกซ์สมมาตร อย่างไรก็ตามเพื่อให้ได้รูปร่างคุณต้องมีการเรียงสับเปลี่ยนแถว / คอลัมน์ซึ่งทำให้เมทริกซ์มีความเหมาะสมน้อยกว่าเล็กน้อย นอกจากนี้ยังยากขึ้นอีกเล็กน้อยในการ 'เห็น' กราฟเมื่ออยู่ในรูปแบบนั้น คำถามของฉันคือ: มี 'algebras' แบบกราฟิก 'ที่สามารถอธิบาย' รูปร่าง 'ของกราฟได้หรือไม่? สิ่งที่ฉันคิดคือระบบแบบทางการที่นัก topology เชิงพีชคณิตมักจะคิดขึ้นมา โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งต่าง ๆ เช่นพีชคณิตสำหรับปมค่าคงที่หรือระบบสัญกรณ์เช่นโอเปอเรเตอร์หรือโพลีกราฟส์ 'จีบราส์เส้นขยุกขยิก' แบบนี้ยังไม่พัฒนาเท่าที่ควรดังนั้นอาจมีเหตุผลที่เชื่อได้ว่าไม่มีพีชคณิตแบบนี้มีอยู่ในกราฟ แต่ฉันอยากถามก่อนสมมติว่าเป็นอย่างอื่น UPDATE: คำถามของฉันอาจจะแคบมากและไม่สามารถตอบได้ทันทีด้วย 'ใช่' ดังนั้นหากผู้ดูแลไม่เป็นไรฉันจะขยายให้กว้างขึ้นโดยถามว่า: มีระบบใด ๆ ที่มีอยู่ (แบบที่ฉันอธิบายด้านบน) ที่สามารถปรับเปลี่ยนได้ (อย่างง่ายดายหรืออย่างอื่น) เพื่อสร้างระบบดังกล่าวหรือไม่? หากมีมากกว่าหนึ่งอย่าลังเลที่จะพูดถึงพวกเขาทั้งหมด และโยนในสิ่งที่กล่าวมาแล้วเช่นกัน แรงจูงใจ แรงจูงใจของฉันสำหรับคำถามดังกล่าวเป็นจริงเกี่ยวกับการจำแนกกราฟแบบอสมมาตร ฉันเป็นเพียงปริญญาตรีดังนั้นการทบทวนสถานะปัจจุบันของทฤษฎีกราฟพีชคณิตจึงค่อนข้างบาง แต่ฉันยังไม่เห็นอะไรมากถ้ามีพยายามพยายามอธิบายกราฟทั้งหมดอย่างเป็นระบบด้วยวิธีเชิงพีชคณิตและโดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งหนึ่งที่ใช้อุปมาอุปมัยที่มองเห็นได้มากกว่าสัญลักษณ์เชิงสัญลักษณ์ ตัวอย่างการปฏิบัติที่ระบบดังกล่าวจะเป็นประโยชน์ สมมติว่าต้องการอธิบายข้อพิสูจน์ว่ากราฟ Eulerian ทั้งหมดต้องมีจุดยอดแม้แต่ …

9 graph-theory  co.combinatorics  algebra 

ฉันมีกราฟซึ่งประกอบด้วยเพียงกราฟดาว กราฟรูปดาวประกอบด้วยโหนดศูนย์กลางหนึ่งโหนดที่มีขอบกับโหนดอื่นทุกโหนด ให้เป็นกราฟดาวที่แตกต่างกันขนาดแตกต่างกันที่มีอยู่ในGเราเรียกชุดของโหนดทั้งหมดซึ่งเป็นศูนย์ในการใด ๆ ดาวกราฟRGGGH1,H2,…,HnH1,H2,...,HnH_1, H_2, \ldots, H_nGGGRRR ตอนนี้สมมติเหล่ากราฟดาวกำลังสร้างขอบดาวอื่น ๆ กราฟดังกล่าวที่ขอบไม่เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นระหว่างโหนดใด ๆ ในRจากนั้นมีจำนวนขอบที่สูงสุดระหว่างโหนดในและโหนดที่ไม่ได้อยู่ในถ้ากราฟควรอยู่ระนาบ?RRRRRRRRR ฉันต้องการขอบบนของจำนวนขอบนั้น หนึ่งผูกไว้บนที่ผมมีในใจคือพิจารณาให้เป็นกราฟระนาบฝ่ายที่เป็นหนึ่งในชุดของจุดและส่วนที่เหลือของจุดอีกแบบชุด เราสนใจขอบระหว่างชุดเหล่านี้ (และ ) เพราะมันเป็นฝ่ายภาพถ่ายจำนวนขอบดังกล่าวเป็นที่สิ้นสุดโดยสองเท่าของจำนวนของโหนดในGRRRAAARRRAAAGGG สิ่งที่ฉันรู้สึกว่าเป็นที่มีผูกพันที่ดีกว่าอาจจะเป็นครั้งที่สองโหนดในบวกจำนวนโหนดในRAAARRR ในกรณีที่คุณสามารถหักล้างสัญชาติญาณของฉันได้นั่นก็จะเป็นสิ่งที่ดีเช่นกัน หวังว่าพวกคุณบางคนสามารถสร้างความผูกพันที่ดีพร้อมกับข้อโต้แย้งที่เกี่ยวข้อง

9 graph-theory  co.combinatorics  puzzles 

ทฤษฎีบทของFáryกล่าวว่ากราฟระนาบที่เรียบง่ายสามารถวาดได้โดยไม่มีจุดตัดเพื่อให้แต่ละขอบเป็นส่วนของเส้นตรง คำถามของฉันคือว่ามีทฤษฎีบทแบบอะนาล็อกสำหรับกราฟของจำนวนข้ามที่มีขอบเขตหรือไม่ โดยเฉพาะเราสามารถพูดได้ว่ากราฟอย่างง่ายที่มีจำนวนข้าม k สามารถวาดเพื่อให้มีการข้าม k ในการวาดภาพและเพื่อให้แต่ละขอบเป็นเส้นโค้งของระดับที่มากที่สุด f (k) สำหรับฟังก์ชั่นบาง f? แก้ไข: ตามที่เดวิดเอปสไตน์กล่าวไว้มันเห็นได้อย่างง่ายดายว่าทฤษฎีบทของFáryแสดงถึงการวาดภาพกราฟที่มีหมายเลขไขว้ที่ k เพื่อให้แต่ละขอบเป็นโซ่รูปหลายเหลี่ยมที่มีโค้งงอมากที่สุด ฉันยังสงสัยอยู่ว่าแต่ละขอบสามารถวาดด้วยเส้นโค้งองศาที่มีขอบเขตได้หรือไม่ เซียน - ชีห์ช้างชี้ให้เห็นว่า f (k) = 1 ถ้า k คือ 0, 1, 2, 3 และ f (k)> 1 มิฉะนั้น

9 graph-theory  co.combinatorics  planar-graphs 

จากการติดตามคำถามก่อนหน้านี้ของฉันซึ่งได้รับการแก้ไขโดย Hsien-Chih Chang นี่คือความพยายามอีกครั้งในการหาข้อสรุปทั่วไปของทฤษฎีบทของแรมซีย์ (คุณไม่จำเป็นต้องอ่านคำถามก่อนหน้าโพสต์นี้อยู่ในตัวเอง) พารามิเตอร์: จำนวนเต็ม 1≪d≪k≪n1≪d≪k≪n1 \ll d \ll k \ll n จะได้รับแล้ว NNNถูกเลือกให้มีขนาดใหญ่พอสมควร คำศัพท์:mmm-subset เป็นเซ็ตย่อยของขนาด mmm. ปล่อย B={1,2,...,N}B={1,2,...,N}B = \{1,2,...,N\}. แต่ละkkk-subset S⊂BS⊂BS \subset Bกำหนดสี f(S)∈{0,1}f(S)∈{0,1}f(S) \in \{0,1\}. คำนิยาม: X⊂BX⊂BX \subset Bเป็นเอกรงค์ถ้าf(S)=f(S′)f(S)=f(S′)f(S) = f(S') เพื่อทุกสิ่ง kkk-subsets S⊂XS⊂XS \subset X และ S′⊂XS′⊂XS' \subset X. X⊂BX⊂BX \subset Bมีความหลากหลายถ้าX={x1,x2,...,xn}X={x1,x2,...,xn}X = \{ …

9 reference-request  co.combinatorics  ramsey-theory