คำถามติดแท็ก linear-algebra

เป็นไปได้ไหมที่จะทดสอบอัลกอริธึมว่าจำนวนที่คำนวณได้เป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนเต็ม? ในคำอื่น ๆ ก็จะมีความเป็นไปได้สำหรับห้องสมุดที่ใช้คำนวณตัวเลขเพื่อให้ฟังก์ชั่นisIntegerหรือisRational? ฉันเดาว่ามันเป็นไปไม่ได้และนี่ก็เกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทดสอบว่าตัวเลขสองตัวนั้นเท่ากัน แต่ฉันไม่เห็นวิธีที่จะพิสูจน์มัน แก้ไข: จำนวนที่คำนวณได้ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันที่สามารถส่งกลับค่าประมาณด้วยเหตุผลด้วยความแม่นยำ :สำหรับใด ๆ0 รับฟังก์ชั่นดังกล่าวเป็นไปได้หรือไม่ที่จะทดสอบว่าหรือ ?xxxfx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)xxxϵϵ\epsilon|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonϵ>0ϵ>0\epsilon > 0x∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}x∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}

18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 

สิ่งที่เป็นที่รู้จักกันเป็นกลไกที่มีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณปัจจัยของเมทริกซ์จำนวนเต็มมีค่าสัมประสิทธิ์ในแหวนของสารตกค้างแบบโมดูโลเมตร ตัวเลขmอาจไม่ได้เป็นจำนวนเฉพาะ แต่คอมโพสิต (ดังนั้นการคำนวณจะดำเนินการในวงแหวนไม่ใช่ฟิลด์)Zม.Zm\mathbb{Z}_mม.mmม.mm เท่าที่ฉันรู้ (อ่านด้านล่าง) อัลกอริธึมส่วนใหญ่เป็นการดัดแปลงการกำจัดแบบเกาส์เซียน คำถามเกี่ยวกับประสิทธิภาพการคำนวณของขั้นตอนเหล่านี้ หากเกิดขึ้นว่ามีวิธีการที่แตกต่างกันฉันก็อยากรู้เกี่ยวกับมัน ขอบคุณล่วงหน้า. ปรับปรุง: ฉันขออธิบายที่มาของคำถามนี้ สมมติว่าเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นZ mจึงเป็นสนาม และในกรณีนี้เราสามารถทำการคำนวณทั้งหมดโดยใช้ตัวเลขน้อยกว่าmดังนั้นเราจึงมีขอบเขตบนที่ดีในการดำเนินการทั้งหมดเกี่ยวกับตัวเลข: การเพิ่มการคูณและการผกผัน --- การดำเนินการที่จำเป็นทั้งหมดเพื่อเรียกใช้การกำจัดแบบเกาส์ม.mmZม.Zm\mathbb{Z}_mม.mm บนมืออื่น ๆ ที่เราไม่สามารถดำเนินการผกผันสำหรับตัวเลขบางอย่างในกรณีที่ไม่ได้เป็นนายก ดังนั้นเราจึงต้องการเทคนิคบางอย่างในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ม.mm และตอนนี้ฉันก็อยากรู้ว่ากลเม็ดที่รู้จักกันดีในการทำงานคืออะไร

18 ds.algorithms  reference-request  linear-algebra  comp-number-theory 

ในปี 1979 Freivaldsแสดงให้เห็นว่าการตรวจสอบผลิตภัณฑ์แมทริกซ์ที่สนามใด ๆ ที่สามารถทำได้ในการสุ่มเวลา เพิ่มเติมอย่างเป็นทางการให้สามเมทริกซ์ A, B และ C กับรายการจากสนาม F, ปัญหาของการตรวจสอบว่า AB = C มีอัลกอริทึมเวลาO ( n 2 )แบบสุ่มO(n2)O(n2)O(n^2)O(n2)O(n2)O(n^2) สิ่งนี้น่าสนใจเพราะอัลกอริทึมที่รู้จักกันเร็วที่สุดสำหรับเมทริกซ์การคูณนั้นช้ากว่านี้ดังนั้นการตรวจสอบว่า AB = C นั้นเร็วกว่าการคำนวณหรือไม่ ฉันต้องการที่จะรู้ว่าอะไรคือโครงสร้างพีชคณิตทั่วไปที่สุดที่การตรวจสอบผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ยังคงมีอัลกอริทึมเวลา (สุ่ม) เนื่องจากอัลกอริทึมดั้งเดิมทำงานได้กับทุกฟิลด์ฉันจึงเดาได้ว่ามันทำงานได้ดีบนโดเมนรวมทั้งหมดO(n2)O(n2)O(n^2) คำตอบที่ดีที่สุดที่ฉันสามารถหาได้สำหรับคำถามนี้คือSubcubic Equivalences ระหว่าง Path, Matrix และ Triangle Problemsโดยที่พวกเขาพูดว่า "การตรวจสอบผลิตภัณฑ์เมทริกซ์บนวงแหวนสามารถทำได้ในเวลาสุ่ม [BK95]" ([BK95]: M. Blum และ S. Kannan การออกแบบโปรแกรมที่ตรวจสอบงานของพวกเขา J. ACM, 42 (1): …

18 ds.algorithms  linear-algebra  matrix-product 

ฉันสนใจฟังก์ชั่นบูลีนที่ชัดเจนพร้อมด้วยคุณสมบัติต่อไปนี้: ถ้าคงที่ในบางพื้นที่ย่อยของเลียนแบบแล้วมิติของสเปซนี้คือ(n)ฉ:0 , 1n→0 , 1f:0,1n→0,1f \colon \\{0,1\\}^n \rightarrow \\{0,1\\}ฉff o ( n )0 , 1n0,1n\\{0,1\\}^no ( n )o(n)o(n) มันไม่ยากที่จะแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นสมมาตรไม่พอใจคุณสมบัตินี้โดยพิจารณาพื้นที่ย่อย\\} ใด ๆมีตรง 's และด้วยเหตุคือคงสเปซของมิติ 2A=x∈0,1n∣x1⊕x2=1,x3⊕x4=1,…,xn−1⊕xn=1A=x∈0,1n∣x1⊕x2=1,x3⊕x4=1,…,xn−1⊕xn=1A=\\{x \in \\{0,1\\}^n \mid x_1 \oplus x_2=1, x_3 \oplus x_4=1, \dots, x_{n-1} \oplus x_n=1\\}n / 2 1 f A n / 2x∈Ax∈Ax \in An / 2n/2n/2 …

18 cc.complexity-theory  circuit-complexity  derandomization  linear-algebra 

ในขั้นตอนวิธีการ Strassen, การคำนวณผลิตภัณฑ์สองเมทริกซ์และB , เมทริกซ์และBจะแบ่งออกเป็น2 × 2การฝึกอบรมป้องกันและขั้นตอนวิธีการดำเนินการซ้ำคอมพิวเตอร์7บล็อกผลิตภัณฑ์แมทริกซ์แมทริกซ์เมื่อเทียบกับไร้เดียงสา8 matrix- บล็อก ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์คือถ้าเราต้องการC = A Bโดยที่ A = [ A 1 , 1 A 1 , 2 A 2 , 1 A 2 , 2AA\mathbf{A}BB\mathbf{B}AA\mathbf{A}BB\mathbf{B}2 × 22×22 \times 2777888C = A Bค=AB\mathbf{C}=\mathbf{A} \mathbf{B} จากนั้นเรามี C 1 , 1 = A 1 , 1 …

17 ds.algorithms  linear-algebra  matrices  matrix-product 

ให้เมทริกซ์n × สองตัวกับAและBปัญหาในการตัดสินใจว่ามีเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงP อยู่หรือไม่นั่นคือB = P - 1 A Pเทียบเท่ากับ(กราฟ Isomorphism) แต่ถ้าเราผ่อนคลายPให้เป็นเมทริกซ์กลับด้านแล้วความซับซ้อนคืออะไร? มีข้อ จำกัด อื่น ๆ เกี่ยวกับเมทริกซ์P invertible นอกเหนือจากการเปลี่ยนแปลงซึ่งเกี่ยวข้องกับปัญหานี้หรือปัญหาที่ยากอื่น ๆ ?n×nn×nn \times nAAABBBPPPB=P−1APB=P−1APB = P^{-1}APGIPPPPPPGI

16 ds.algorithms  time-complexity  linear-algebra  matrices  graph-isomorphism 

ในปี 2012 ลิปตันเขียนรายการบล็อกเกี่ยวกับอัลกอริทึมใหม่สำหรับการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นบนฟิลด์ จำกัด โดย Prasad Raghavendra เชื่อมโยงไปยังกระดาษร่าง Raghavendra ในหัวข้อคือตอนนี้ตายไปแล้วและผมก็ไม่สามารถหาอะไรเกี่ยวกับเรื่องบนเว็บไซต์ Raghavendra ของ ผลลัพธ์ถูกต้องหรือไม่ สามารถเขียนบทความได้ทุกที่หรือไม่? ขอบคุณ!

15 linear-algebra  finite-fields 

ความซับซ้อนในการคำนวณของปัญหาต่อไปนี้คืออะไร: ได้รับสองซับซ้อนเมทริกซ์และBการตรวจสอบหากมีการเปลี่ยนแปลงเมทริกซ์Pดังกล่าวว่า: B = P P Tn × nn×nn\times nAAABBBPPPB = PA PT.B=PAPT.B = P A P^T. ถ้ามันช่วยได้เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าและBนั้นเป็นฤermษี (หรือแม้แต่AและBนั้นเป็นของจริงและสมมาตร)AAABBBAAABBB หมายเหตุ: ปัญหาเกิดจากการตรวจสอบถ้าสองชุดของเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องโดยการหมุนรวมกันให้ดูชุดของเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องโดยการหมุน - MathOverflow ในบริบทที่และBเป็นของพวกเขาการฝึกอบรม GramianAAABBB ปัญหาอย่างน้อยก็ยากเท่ากับปัญหากราฟมอร์ฟิซึ่ม - ใช้และBเป็นเมทริกซ์คำคุณศัพท์AAABBB

15 cc.complexity-theory  np-hardness  cg.comp-geom  linear-algebra  permutations 

เรียกขานนิยามของเมทริกซ์การคูณเลขยกกำลังωω\omegaเป็นค่าที่น้อยที่สุดที่มีเป็นที่รู้จักกันnωnωn^{\omega}ขั้นตอนวิธีการคูณเมทริกซ์ นี้ไม่ได้เป็นที่ยอมรับว่าเป็นความหมายทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการดังนั้นฉันเดาความหมายทางเทคนิคเป็นสิ่งที่ต้องการ infimum มากกว่าทุกtttดังกล่าวว่ามีขั้นตอนวิธีการคูณเมทริกซ์ในntntn^t T ในกรณีนี้เราไม่สามารถพูดมีขั้นตอนวิธีสำหรับเมทริกซ์ในการคูณnωnωn^{\omega}หรือแม้กระทั่งnω+o(1)nω+o(1)n^{\omega + o(1)}เพียงว่าทุกϵ>0ϵ>0\epsilon > 0มีอยู่ขั้นตอนวิธีการในnω+ϵnω+ϵn^{\omega + \epsilon} ε อย่างไรก็ตามบ่อยครั้งที่เอกสารและผลซึ่งใช้เมทริกซ์คูณจะรายงานค่าใช้จ่ายของพวกเขาเป็นเพียงแค่O(nω)O(nω)O(n^{\omega}) ) มีคำจำกัดความอื่นของที่อนุญาตให้ใช้นี้หรือไม่? มีผลลัพธ์ใด ๆ ที่รับประกันได้หรือไม่ว่าจะต้องมีอัลกอริทึมของเวลาn ωหรือn ω + o ( 1 ) ? หรือการใช้O ( n ω ) เป็นเพียงเลอะเทอะ?ωω\omeganωnωn^{\omega}nω+o(1)nω+o(1)n^{\omega + o(1)}O(nω)O(nω)O(n^{\omega})

15 ds.algorithms  linear-algebra 

พิจารณาปัญหาต่อไปนี้: อินพุต : ไฮเปอร์เพลนH={y∈Rn:aTy=b}H={y∈Rn:aTy=b}H = \{ \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n: \mathbf{a}^T\mathbf{y} = {b}\} , ที่กำหนดโดยเวกเตอร์a∈Zna∈Zn\mathbf{a} \in \mathbb{Z}^nและb∈Zb∈Zb \in \mathbb{Z}ในการแทนเลขฐานสองมาตรฐาน x∈Zn=argmind(x,H)x∈Zn=arg⁡mind(x,H)\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n = \arg \min d( \mathbf{x}, H) d(x,S)d(x,S)d(\mathbf{x}, S)x∈Rnx∈Rn\mathbf{x} \in \mathbb{R}^nS⊆RnS⊆RnS \subseteq \mathbb{R}^nd(x,S)=miny∈S∥x−y∥2d(x,S)=miny∈S‖x−y‖2d(\mathbf{x}, S) = \min_{\mathbf{y} \in S}{\|\mathbf{x} - \mathbf{y}}\|_2 ในคำพูดเราได้รับไฮเปอร์เพลนและเรากำลังมองหาจุดในโครงตาข่ายจำนวนเต็มที่ใกล้กับไฮเปอร์เพลนมากที่สุด คำถามคือ: ความซับซ้อนของปัญหานี้คืออะไร? โปรดทราบว่าเวลาพหุนามที่นี่จะหมายถึงพหุนามในบิตขนาดของอินพุต เท่าที่ฉันเห็นปัญหาน่าสนใจแม้ในสองมิติ ดังนั้นจึงไม่ยากที่จะเห็นว่าเพียงพอที่จะพิจารณาเฉพาะโซลูชันเหล่านั้น(x1,x2)(x1,x2)(x_1, x_2)ด้วย0≤x1≤|a1|/gcd(a1,a2)0≤x1≤|a1|/gcd(a1,a2)0\leq x_1 \leq |a_1|/\mathsf{gcd}(a_1, …

15 cc.complexity-theory  optimization  linear-algebra  integer-lattice 

วอลช์-Hadamard แปลง (WHT)เป็นลักษณะทั่วไปของฟูเรียร์และเป็นมุมฉากเปลี่ยนแปลงในเวกเตอร์ของตัวเลขจริงหรือซับซ้อนของมิติเมตร การแปลงรูปได้รับความนิยมในการคำนวณควอนตัม แต่ได้มีการศึกษาเมื่อไม่นานมานี้ว่าเป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับการคาดคะเนของเวกเตอร์มิติสูงเพื่อใช้ในการพิสูจน์ Johnson-Lindenstrauss Lemma คุณสมบัติหลักของมันคือแม้ว่ามันจะเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสd × dแต่มันสามารถนำไปใช้กับเวกเตอร์ในเวลาO ( d log d ) (แทนที่จะเป็นd=2md=2md = 2^md×dd×dd\times dO(dlogd)O(dlog⁡d)O(d \log d) ) โดยวิธีการแบบ FFTd2d2d^2 สมมติว่าเวกเตอร์ใส่เป็นป่าโปร่ง : มันมีเพียงไม่กี่รายการภัณฑ์ (พูด ) มีวิธีใดที่จะคำนวณ WHT ในเวลาf ( r , d )เช่นนั้นf ( d , d ) = O ( d log d )และ f …

15 ds.algorithms  linear-algebra 

ให้ matrix (สมมติว่า ) อัลกอริธึมที่เร็วที่สุดในการคำนวณอันดับและพื้นฐานของคอลัมน์คืออะไร?m×nm×nm \times nm≥nm≥nm \ge n ฉันรู้ว่ามันสามารถแก้ไขได้ผ่านการตัดกันเชิงเส้น matroid ซึ่งหมายถึงอัลกอริทึมกำหนดเวลาและอัลกอริธึมแบบสุ่ม มีอัลกอริธึมกำหนดเวลาที่ลดปัญหาโดยตรง (หรือการกำจัดแบบเกาส์เซียน) เพื่อการคูณเมทริกซ์หรือไม่O(mn1.62)O(mn1.62)O(mn^{1.62})O(mnω−1)O(mnω−1)O(mn^{\omega-1})O(mnω−1)O(mnω−1)O(mn^{\omega-1})

15 ds.algorithms  reference-request  time-complexity  linear-algebra  matrices 

มีงานใดบ้างในการค้นหาจำนวนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นต่ำที่จำเป็นในการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของโดยnเมทริกซ์สำหรับขนาดเล็กและคงที่n ? ยกตัวอย่างเช่นn = 5nnnnnnnnnn=5n=5n=5

14 cc.complexity-theory  linear-algebra  determinant 

พิจารณาเวกเตอร์ของตัวแปรและชุดของเส้นตรงข้อ จำกัด ที่ระบุโดย→ x ≤ขx⃗ x→\vec{x}Ax⃗ ≤bAx→≤bA\vec{x}\leq b นอกจากนี้ให้พิจารณา polytopes สองรายการ P1P2={(f1(x⃗ ),⋯,fm(x⃗ ))∣Ax⃗ ≤b}={(g1(x⃗ ),⋯,gm(x⃗ ))∣Ax⃗ ≤b}P1={(f1(x→),⋯,fm(x→))∣Ax→≤b}P2={(g1(x→),⋯,gm(x→))∣Ax→≤b}\begin{align*} P_1&=\{(f_1(\vec{x}), \cdots, f_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\}\\ P_2&=\{(g_1(\vec{x}), \cdots, g_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\} \end{align*} ที่ 's และg ' s เป็นเลียนแบบแมป กล่าวคือพวกเขามีรูปแบบ→ ค ⋅ → x + d (เราทราบว่าP 1และP 2เป็น polytopes เพราะเป็น "affine mappings" ของ …

14 cc.complexity-theory  linear-algebra  linear-programming  polytope 

ฉันกำลังมองหาข้อมูลเกี่ยวกับความซับซ้อนในการคำนวณของการคูณเมทริกซ์ของเมทริกซ์สี่เหลี่ยม วิกิพีเดียระบุว่าความซับซ้อนของการคูณโดยคือ (การคูณเรียน)A ∈ Rm × nA∈Rม.×nA \in \mathbb{R}^{m \times n}B ∈ Rn × pB∈Rn×พีB \in \mathbb{R}^{n \times p}O ( m n p )O(ม.nพี)O(mnp) ฉันมีกรณีที่และมีขนาดเล็กกว่ามากและฉันหวังว่าจะมีความซับซ้อนที่ดีกว่าเชิงเส้นในด้วยค่าใช้จ่ายในการพึ่งพาและแย่กว่าเชิงเส้นม.ม.mnnnพีพีpพีพีpม.ม.mnnn ความคิดใด ๆ ขอบคุณ หมายเหตุ: เหตุผลที่ฉันหวังว่าจะเป็นไปได้นั้นเป็นเพราะผลที่ทราบกันดีของการพึ่งพาลูกบาศก์น้อยกว่าในถ้า (เมื่อเมทริกซ์เป็นกำลังสองทั้งหมด)พีพีpm = n = pม.=n=พีm=n=p

14 cc.complexity-theory  time-complexity  linear-algebra  matrix-product