คาดว่าอิทธิพลขั้นต่ำของฟังก์ชันบูลีนแบบสุ่ม
f:{−1,1}n→{−1,1}f:{−1,1}n→{−1,1}f\colon\{-1,1\}^n \to \{-1,1\}iiiInfi[f]=defPrx∼{−1,1}n[f(x)≠f(x⊕i)]Infi[f]=defPrx∼{−1,1}n[f(x)≠f(x⊕i)] \operatorname{Inf}_i[f] \stackrel{\rm def}{=} \Pr_{x\sim\{-1,1\}^n}[ f(x) \neq f(x^{\oplus i})] x⊕ix⊕ix^{\oplus i}iiixxxfffMinInf[f]=defmini∈[n]Infi[f].MinInf[f]=defmini∈[n]Infi[f].\operatorname{MinInf}[f] \stackrel{\rm def}{=} \min_{i\in[n]}\operatorname{Inf}_i[f]. กำหนดพารามิเตอร์ , เราเลือกสุ่มฟังก์ชั่นโดยเลือกความคุ้มค่าในแต่ละปัจจัยการผลิตที่เป็นอิสระที่สุ่มจะเป็นด้วยความน่าจะและกับความน่าจะเป็น . จากนั้นมันก็ง่ายที่จะเห็นว่าสำหรับทุก ๆ และfortiorip∈[0,1]p∈[0,1]p\in[0,1]pppfff2n2n2^n111ppp−1−1-11−p1−p1-pi∈[n]i∈[n]i\in[n] Ef[Infi[f]]=2p(1−p)Ef[Infi[f]]=2p(1−p) \mathbb{E}_{f}[\operatorname{Inf}_i[f]] = 2p(1-p) In(p)=defEf[MinInf[f]]≤2p(1−p).In(p)=defEf[MinInf[f]]≤2p(1−p). I_n(p) \stackrel{\rm def}{=}\mathbb{E}_{f}[\operatorname{MinInf}[f]] \leq 2p(1-p). คำถามของฉันคือ: มี asymptotically (เกี่ยวกับnnn ) การแสดงออกที่แน่นสำหรับIn(p)In(p)I_n(p) ? แม้แต่สำหรับp=12p=12p=\frac{1}{2}เราสามารถรับนิพจน์เช่นนี้ได้หรือไม่? โดยเฉพาะฉันจะดูแลเกี่ยวกับข้อตกลงการสั่งซื้อต่ำเช่นฉันจะสนใจในเทียบเท่า asymptotic สำหรับปริมาณ2p(1−p)−In(p)2p(1−p)−In(p)2p(1-p)-I_n(p)(P) (คำถามถัดไป แต่คำถามที่รองลงมาคือคำถามที่ว่าใครจะได้รับความเข้มข้นที่ดีรอบ ๆ ความคาดหวังนี้) โดยขอบเขตของเชอร์อฟเราสามารถแสดงให้เห็นว่ามีสมาธิที่ดีดังนั้นเราจึงได้รับการรวมกลุ่ม (ถ้าฉันไม่ได้ยุ่งเกินไป) …