วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี

ฉันรู้ว่าความซับซ้อนของแลมบ์ดาชนิดที่มีการพิมพ์ส่วนใหญ่โดยไม่มีแบบดั้งเดิม combinator Y ถูก จำกัด ขอบเขตนั่นคือสามารถแสดงเฉพาะฟังก์ชันของความซับซ้อนที่มีขอบเขต จำกัด ด้วยขอบเขตที่ใหญ่ขึ้นเมื่อการแสดงออกของระบบประเภทเติบโตขึ้น ฉันจำได้ว่าเช่นแคลคูลัสของสิ่งก่อสร้างสามารถแสดงความซับซ้อนที่ทวีคูณมากที่สุดเป็นสองเท่า คำถามของฉันเกี่ยวข้องกับแลมบ์ดาที่พิมพ์ได้สามารถแสดงอัลกอริทึมทั้งหมดด้านล่างความซับซ้อนที่ถูกผูกไว้หรือมีเพียงบางส่วนเท่านั้น? ยกตัวอย่างเช่นมีอัลกอริธึมแบบเอกซ์โปเนนเชียลไทม์ที่ไม่สามารถแสดงออกได้อย่างเป็นทางการในแลมบ์ดาคิวบ์หรือไม่? "รูปร่าง" ของพื้นที่ความซับซ้อนซึ่งครอบคลุมโดยจุดยอดต่าง ๆ ของ Cube คืออะไร

21 cc.complexity-theory  complexity-classes  lambda-calculus  typed-lambda-calculus 

เมื่อฉันสอนขอบเขตหางฉันใช้ความก้าวหน้าตามปกติ: หาก rv ของคุณเป็นค่าบวกคุณสามารถใช้ความไม่เท่าเทียมกันของมาร์คอฟ ถ้าคุณมีความเป็นอิสระและยังมีความแปรปรวนทางทิศคุณสามารถใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev ถ้าแต่ละ RV อิสระนอกจากนี้ยังมีช่วงเวลาทั้งหมดที่สิ้นสุดแล้วคุณสามารถใช้ขอบเขตเชอร์นอฟ หลังจากสิ่งนี้ทำความสะอาดน้อยลงเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น หากตัวแปรของคุณมีค่าเฉลี่ยศูนย์ความไม่เท่าเทียมกันของเบิร์นสไตน์จะสะดวกกว่า หากคุณรู้ว่าฟังก์ชั่นการรวมเป็น Lipschitz แสดงว่ามีความไม่เท่าเทียมกันของสไตล์ McDiarmid หากคุณมีความอ่อนแอในการพึ่งพาอาศัยกันก็มีขอบเขตแบบซีเกล (และถ้าคุณมีการพึ่งพาเชิงลบความไม่เท่าเทียมของ Jansson อาจเป็นเพื่อนของคุณได้) มีการอ้างอิงใด ๆ ไปยังผังงานที่สะดวกหรือต้นไม้ตัดสินใจที่อธิบายวิธีการเลือกหาง "ถูกต้อง" (หรือแม้กระทั่งเมื่อคุณต้องดำดิ่งลงสู่ทะเล Talagrand)? ฉันขอบางส่วนเพื่อให้มีการอ้างอิงส่วนหนึ่งเพื่อให้ฉันสามารถชี้ไปที่นักเรียนของฉันและส่วนหนึ่งเพราะถ้าฉันรำคาญพอและไม่มีหนึ่งฉันอาจพยายามทำให้ตัวเอง

21 reference-request  pr.probability  randomized-algorithms 

อัลกอริทึมของ Karatsubaสำหรับการคูณที่รวดเร็วถูกตีพิมพ์ครั้งแรกใน A. Karatsuba และ Yu Ofman (1962), "การคูณตัวเลขดิจิตอลจำนวนมากโดยคอมพิวเตอร์อัตโนมัติ", การดำเนินการของสถาบันวิทยาศาสตร์ของสหภาพโซเวียตที่ 145: 293–294 ตามKaratsuba (1995, "ความซับซ้อนของการคำนวณ", Proc. Steklov สถาบันคณิตศาสตร์ 211: 169-183) , กระดาษนี้ถูกเขียนจริงโดย Kolmogorov (และอาจ Ofman) โดยไม่รู้ Karatsuba ตามมาตรฐานที่ทันสมัยนี่ดูเหมือนจะเป็นการฝ่าฝืนจรรยาบรรณที่แปลกและน่ากลัว ทำไม Kolmogorov ถึงทำเช่นนี้? เขาได้อะไร

21 ho.history-overview 

สำหรับอัลกอริธึมแบบสุ่มการรับค่าที่แท้จริง "เคล็ดลับมัธยฐาน" เป็นวิธีที่ง่ายในการลดความน่าจะเป็นที่จะเกิดความล้มเหลวในธรณีประตูใด ๆในราคาเพียง multiplicativeค่าใช้จ่าย กล่าวคือถ้าผลลัพธ์ของตกลงไปใน "ช่วงที่ดี"มีความน่าจะเป็น (อย่างน้อย)จากนั้นเรียกใช้สำเนาอิสระและรับค่ามัธยฐานของเอาท์พุทจะส่งผลให้ค่าลดลงในด้วยความน่าจะเป็นอย่างน้อยโดย Chernoff / HoeffdingAA\mathcal{A}δ>0δ>0\delta > 0ฉัน=[,ข]2/31,...,เสื้อ1,...,ทีผม1-δt=O(log1δ)t=O(log⁡1δ)t=O(\log\frac{1}{\delta})AA\mathcal{A}I=[a,b]I=[a,b]I=[a,b]2/32/32/3A1, … , Aเสื้อA1,…,At\mathcal{A}_1,\dots,\mathcal{A}_ta1, … , aเสื้อa1,…,ata_1,\dots,a_tผมII1 - δ1−δ1-\delta มีการวางนัยของ "กลอุบาย" นี้ในมิติที่สูงกว่าหรือไม่พูดซึ่งช่วงที่ดีนั้นเป็นเซตนูน (หรือลูกบอลหรือชุดที่ดีและมีโครงสร้างเพียงพอ) หรือไม่? นั่นคือให้อัลกอริธึมแบบสุ่มเอาท์พุทค่าใน\ mathbb {R} ^ dและ "ดีเซต" S \ subseteq \ mathbb {R} ^ dเช่นนั้น\ mathbb {P} _r \ {\ mathcal {A} (x, r) \ …

21 ds.algorithms  randomized-algorithms 

ขอให้เราเรียกฟังก์ชัน superpolynomialถ้าถือสำหรับทุกค> 0f(n)f(n)f(n) limn→∞nc/f(n)=0limn→∞nc/f(n)=0\lim_{n\rightarrow\infty} n^c/f(n)=0c>0c>0c>0 เป็นที่ชัดเจนว่าสำหรับภาษาใดL∈PL∈PL\in {\mathsf P}ก็ถือได้ว่าL∈DTIME(f(n))L∈DTIME(f(n))L\in {\mathsf {DTIME}}(f(n))สำหรับทุกครั้ง superpolynomial ผูกพันf(n)f(n)f(n)(n) ฉันสงสัยว่าการสนทนาของแถลงการณ์นี้เป็นจริงหรือไม่? นั่นคือถ้าเรารู้ว่าL∈DTIME(f(n))L∈DTIME(f(n))L\in {\mathsf {DTIME}}(f(n))สำหรับทุกเวลา superpolynomial f (n)ผูกพันf(n)f(n)f(n)มันหมายความว่าL∈PL∈PL\in {\mathsf P}หรือไม่ ในคำอื่น ๆ มันเป็นความจริงว่า P=∩fDTIME(f(n))P=∩fDTIME(f(n)){\mathsf P} = \cap_f {\mathsf {DTIME}}(f(n)) ที่สี่แยกที่มีการดำเนินการมากกว่าทุก superpolynomial f(n)f(n)f(n)(n)

21 cc.complexity-theory  ds.algorithms  complexity-classes 

ชอร์กล่าวในความคิดเห็นของเขาต่อคำตอบของมูซนิรนามสำหรับคำถามนี้คุณสามารถระบุผลรวมของการเปลี่ยนลำดับสองครั้งในเวลาพหุนาม มันเป็นสมบูรณ์เพื่อระบุความแตกต่างของสองวิธีเรียงสับเปลี่ยน น่าเสียดายที่ฉันไม่เห็นการลดลงอย่างตรงไปตรงมาจากปัญหาผลรวมการเปลี่ยนแปลงและเป็นประโยชน์ที่จะมีการลดความสมบูรณ์ของสำหรับปัญหาความแตกต่างของการเปลี่ยนแปลงN Pยังไม่มีข้อความPNPNPยังไม่มีข้อความPNPNP การเปลี่ยนแปลงความแตกต่าง: INSTANCE: อาร์เรย์ของจำนวนเต็มบวกA [ 1 ... n ]A[1...n]A[1...n] คำถาม: มีพีชคณิตสองชนิดและของจำนวนเต็มบวกเช่นนั้นสำหรับ ?σ 1 , 2 , . . , n | π ( i ) - σ ( i ) | = A [ i ] 1 ≤ i ≤ nππ\piσσ\sigma1 , 2 , . . , …

21 cc.complexity-theory  co.combinatorics  np-hardness  permutations 

มันเป็นผลลัพธ์แบบคลาสสิกที่ทุกวงจรพัดลมใน 2 และ - หรือ - ไม่ใช่ที่คำนวณ PARITY จากตัวแปรอินพุตมีขนาดอย่างน้อย3(n−1)3(n−1)3(n-1)และนี่คือชาร์ป (เรากำหนดขนาดเป็นจำนวนของ AND และ OR หรือ) การพิสูจน์นั้นเกิดจากการกำจัดประตูและดูเหมือนว่าจะล้มเหลวหากเรายอมให้มีการเข้าพัดลม กรณีนี้เป็นที่รู้จักกันอย่างไร ไม่มีใครรู้ตัวอย่างเมื่อมีการช่วยเหลือแฟนมากกว่าเช่นเราต้องการประตูน้อยกว่า3(n−1)3(n−1)3(n-1) อัปเดตวันที่ 18 ต.ค. Marzio แสดงให้เห็นว่าสำหรับn=3n=3n=3ถึง555ประตูที่เพียงพอโดยใช้รูปแบบ CNF ของ PARITY นี่แสดงถึงขอบเขตของ⌊52n⌋−2⌊52n⌋-2\lfloor \frac 52 n \rfloor-2ทั่วไปnคุณทำได้ดีกว่านี้ไหมnnn

21 cc.complexity-theory  circuit-complexity  parity 

พิจารณาปัญหาในการหาชุด disjoint สูงสุด - ชุดสูงสุดของรูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ทับซ้อนกันจากชุดของผู้สมัครที่กำหนด นี่เป็นปัญหาที่ทำให้เกิดปัญหาสมบูรณ์ แต่ในหลายกรณีอัลกอริทึมโลภต่อไปนี้ให้การประมาณค่าคงที่: สำหรับผู้สมัครทุกคนรูปร่างxคำนวณของจำนวนเคลื่อนสี่แยก DIN(x)DIN(x)DIN(x) = จำนวนมากที่สุดของเคล็ดรูปร่างที่ตัดx argminxDIN(x)arg⁡minxDIN(x)\arg \min_{x} DIN(x) ดำเนินการต่อไปจนกว่าจะไม่มีผู้สมัครเพิ่ม ตัวอย่างเช่นพิจารณารูปต่อไปนี้จากหน้า Wikipedia: ดิสก์สีเขียวตัดเป็นดิสก์ 5 แผ่น แต่ DIN คือ 3 (ดิสก์สีแดงทั้ง 3 ตัวแยกกัน) ดิสก์สีแดงที่สูงที่สุดและต่ำสุดตัดกัน 2 ดิสก์อื่น แต่พวกมันตัดกันดังนั้น DIN ของพวกเขาคือ 1 ดิสก์สีเหลืองมี DIN เท่ากับ 2 อัลกอริทึมโลภจึงเลือกดิสก์สีแดงสูงสุดหรือดิสก์ล่างสุด หากค่า DIN ต่ำสุดสามารถถูก จำกัด ด้วยค่าคงที่ได้ดังนั้นอัลกอริทึมโลภก็คือการประมาณพหุนามคงที่แบบพหุนาม ตัวอย่างเช่นถ้ารูปร่างของผู้สมัครทั้งหมดเป็นดิสก์ยูนิตMarathe et al (1995)แสดงว่าดิสก์ที่มี DIN สูงสุดอย่างน้อย …

21 cg.comp-geom 

มีวิธี (สมเหตุสมผล) ในการสุ่มฟังก์ชั่นบูลีนสุ่มอย่างสม่ำเสมอf:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}ซึ่งระดับของพหุนามเป็นจริงมากที่สุดddd ? แก้ไข: นิสันและ Szegedyได้แสดงให้เห็นว่าการทำงานของการศึกษาระดับปริญญาdddขึ้นอยู่กับที่มากที่สุดd2dd2dd2^dพิกัดดังนั้นเราอาจคิดว่าn≤d2dn≤d2dn \leq d2^d d ปัญหาที่ผมเห็นเป็นดังต่อไปนี้: 1) หนึ่งในมือถ้าเราเลือกฟังก์ชั่นบูลสุ่มd2dd2dd2^dพิกัดแล้วองศาจะใกล้เคียงกับd2dd2dd2^dสูงกว่าdddd2) ในทางกลับกันถ้าเราเลือกค่าสัมประสิทธิ์แต่ละระดับที่ส่วนใหญ่dddแล้วฟังก์ชันจะไม่บูลีน ดังนั้นคำถามคือ: มีวิธีตัวอย่างฟังก์ชั่นบูลีนระดับต่ำที่หลีกเลี่ยงปัญหาทั้งสองนี้หรือไม่?

21 randomness  boolean-functions  bounded-degree 

พิจารณาภาษาEQUALITY={anbn∣n≥0}EQUALITY={anbn∣n≥0} \mathtt{EQUALITY} = \{ a^nb^n \mid n \geq 0 \} } เป็นที่รู้จักกันว่าEQUALITYEQUALITY \mathtt{EQUALITY} ไม่สามารถได้รับการยอมรับโดยใด ๆ sublogarithmic พื้นที่สลับทัวริงเครื่อง (ATM) (Szepietowski, 1994) (มี ATM ที่ใช้พื้นที่ sublogarithmic สำหรับสมาชิก แต่ไม่ใช่สำหรับสมาชิกที่ไม่ใช่สมาชิก!) ในทางตรงกันข้าม Freivalds (1981)แสดงให้เห็นว่าข้อผิดพลาดคงที่ - พื้นที่คงที่เครื่องจักรทัวริงทัวริง (PTMs) สามารถรับรู้แต่ในเวลาที่คาดหวังชี้แจง ( กรีนเบิร์กและไวส์ 2529 ) ต่อมาก็แสดงให้เห็นว่าไม่มีข้อผิดพลาด - ขอบเขต -space PTM สามารถรับรู้ภาษาที่ไม่ปกติในเวลาพหุนามที่คาดหวัง ( Dwork และ Stockmeyer, 1990 ) คำถามของฉันคือ …

21 space-bounded  polynomial-time 

ตกลงนี่อาจดูเหมือนคำถามการบ้านและในแง่หนึ่งก็คือ ในฐานะที่เป็นงานบ้านในชั้นเรียนระดับปริญญาตรีฉันได้เรียนคลาสสิกต่อไปนี้: รับกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)ให้อัลกอริทึมที่พบการตัด(S,S¯)(S,S¯)(S,\bar{S})เช่นนั้นδ( S, S¯) ≥ | E| / 2δ(S,S¯)≥|E|/2\delta(S,\bar{S})\geq |E|/2 , ที่δ( S, S¯)δ(S,S¯)\delta(S,\bar{S})คือจำนวนของขอบที่ตัด ความซับซ้อนจะต้องเป็นO ( V+ E)O(V+E)O(V+E) ) ด้วยเหตุผลบางอย่างฉันได้โซลูชันต่อไปนี้มากมาย ตอนนี้มันใช้เวลามากเกินไปดังนั้นมันไม่ใช่เรื่องของการให้คะแนน แต่ฉันอยากรู้ มันไม่ "ดูเหมือน" ถูกต้อง แต่ความพยายามทั้งหมดของฉันในการโต้แย้งกลับล้มเหลว นี่มันคือ: ชุดS← ∅S←∅S\leftarrow \emptyset ให้โวลต์vvเป็นจุดยอดสูงสุดในกราฟ เพิ่มโวลต์vvไปยังSSS ลบขอบทั้งหมดที่อยู่ติดกับโวลต์vv ถ้าδ( S, S¯) &lt; | E| / 2δ(S,S¯)&lt;|E|/2\delta(S,\bar{S}) < |E|/2กลับไปที่ 2 โปรดทราบว่าEEEในขั้นตอนที่ 5 หมายถึงกราฟต้นฉบับ โปรดทราบด้วยว่าหากเราข้ามขั้นตอนที่ 4 …

21 graph-algorithms  max-cut  greedy-algorithms 

ตามบทความของ KW Regan ว่า "เชื่อมต่อดวงดาว"เขากล่าวในตอนท้ายว่ามันยังคงเป็นปัญหาที่เปิดกว้างเพื่อค้นหาการแสดงจำนวนเต็มเช่นการดำเนินการเพิ่มการคูณและการเปรียบเทียบในเวลาเชิงเส้น: มีการแสดงจำนวนเต็มเพื่อให้การบวกการคูณและการเปรียบเทียบทั้งหมดทำได้ในเวลาเชิงเส้นหรือไม่? โดยทั่วไปมีเวลาเชิงเส้นสั่งซื้อเป็นแหวน discretely? (1) เราจะเข้าใกล้การคูณเวลาเชิงเส้นและการบวกโดยไม่เปรียบเทียบได้อย่างไร ที่นี่ฉันคิดว่าขนาดของปัญหาอาจแตกต่างกันไปดังนั้นเราอาจต้องการโครงสร้างข้อมูล / อัลกอริทึมที่ช่วยให้การเปลี่ยนขนาดจำนวนเต็ม (2) สำหรับปัญหาที่สมบูรณ์เราสามารถสรุปได้ว่าเราจะหารูปแบบที่เหมาะสมสำหรับการคูณเพิ่มและเปรียบเทียบจำนวนเต็ม เราจะสามารถทำให้การดำเนินการทั้งสามนี้ช้าที่สุด (ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด) ในเวลาเชิงเส้นได้อย่างไร และในบันทึกนั้นการปฏิบัติการอื่นจะรวดเร็วแค่ไหน? งบปัญหาอย่างเป็นทางการ ในฐานะที่เอมิลJeřábekกล่าวถึงเราต้องการแยกแยะกรณีเล็ก ๆ น้อย ๆ และมุ่งเน้นไปที่พฤติกรรมกรณีที่เลวร้ายที่สุดสำหรับคำถามนี้ ดังนั้นเราจึงถามว่าสำหรับจำนวนเต็มไม่เป็นลบและ∀ yโดยที่0 ≤ x &lt; nและ0 ≤ y &lt; nเราสามารถหาโครงสร้างข้อมูล / อัลกอริทึมที่สามารถทำการบวกการคูณและเปรียบเทียบกับ \ ระหว่างxและyในเวลาO ( n log ( n ) )และพื้นที่O ( log 2 ( …

21 ds.algorithms  ds.data-structures  worst-case 

พื้นหลัง: Let จะมีสองจุดของกราฟไม่มีทิศทางG = ( V , E ) จุดยอดชุดเป็น -separator ถ้าและ เป็นของชิ้นส่วนเชื่อมต่อที่แตกต่างกันของGSหากไม่มีเซตย่อยที่เหมาะสมของ -separatorคือ -separator ดังนั้นคือน้อยที่สุด -separator จุดสุดยอดชุดเป็นตัวคั่น (น้อยที่สุด) ถ้ามีจุดยอดเช่นนั้นu,vu,vu, vG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)S⊆VS⊆VS\subseteq Vu,vu,vu,vuuuvvvจี- เอสG-SG-SU , Vยู,โวลต์u,vSSSU , Vยู,โวลต์u,vSSSU , Vยู,โวลต์u,vS⊆ VS⊆VS\subseteq VU , Vยู,โวลต์u, vSSSคือ (น้อยที่สุด) -separatorU , Vยู,โวลต์u,v ทฤษฎีบทที่รู้จักกันดีของ G. Dirac กล่าวว่ากราฟไม่มีวัฏจักรของความยาวอย่างน้อยสี่ (เรียกว่า triangulated หรือ chordal graph) ถ้าหากตัวแยกขั้นต่ำสุดแต่ละตัวเป็น clique เป็นที่ทราบกันดีว่ากราฟสามเหลี่ยมสามารถรับรู้ได้ในเวลาพหุนาม …

21 reference-request  graph-theory  graph-algorithms 

ฉันจะสอนชั้นเรียนระดับปริญญาตรีมาตรฐานเกี่ยวกับภาษาและออโตมาตาในภาคการศึกษาถัดไปและต้องการใช้ข้อความฟรีหรือต้นทุนต่ำที่ถูกกฎหมาย ข้อเสนอแนะใด ๆ ฉันชอบข้อความ Sipser แต่รุ่นล่าสุดมีราคา $ 196 ซึ่งยากที่จะบอกด้วยหน้าตรงในยุคของหลักสูตรฟรี

21 soft-question  teaching  books 

ขอบเขตบนที่ดีที่สุดที่รู้จักกันในความซับซ้อนของเวลาของการคูณคือ Martin fürer's bound ซึ่งมากกว่าความซับซ้อนเชิงเส้นเวลาของการบวก เรามีหลักฐานว่าการเติมนั้นง่ายกว่าการคูณหรือเปล่าไม่มีบันทึกไม่มี2O ( บันทึก* * * *n)nlog⁡n2O(log∗⁡n)n\log n2^{O(\log^* n)}

21 cc.complexity-theory  time-complexity